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【解答题期中真题汇编】第2章 一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）解下列方程：
(1)
(2)
2．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）解下列一元二次方程：
(1)；
(2)
3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）解方程：
(1)；
(2)．
4．（25-26九年级上·全国·期中）解方程．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
5．（25-26九年级上·福建福州·期中）解方程：．
6．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）解方程：
(1)
(2)
(3)（用配方法）
(4)
7．（25-26九年级上·云南昆明·期中）解下列方程
(1)
(2)
8．（24-25八年级下·山东烟台·期中）解方程：
(1)；（用配方法）
(2)（用公式法）
(3)（用因式分解法）
(4)（用适当的方法）
9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）解下列方程：
(1)
(2)．
10．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）按要求完成下列各题：
(1)求不等式组：的所有整数解；
(2)解一元二次方程：．
11．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一根为，求的值及方程的另一根．
12．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某品牌画册每本成本为40元，当售价为60元时，平均每天的销售量为100本．为了吸引消费者，商家决定采取降价措施．经试销统计发现，如果画册售价每降低1元时，那么平均每天就能多售出10本．设这种画册每本降价x元．
(1)平均每天的销售量为 本（用含x的代数式表示）；
(2)商家想要使这种画册的销售利润平均每天达到2210元，且要求每本售价不低于55元，求每本画册应降价多少元？
13．（25-26九年级上·四川成都·期中）2025年世运会将在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件．
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出4件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
14．（25-26九年级上·江西赣州·期中）近年赣南医科大等大学落户龙南，大大提升龙南医疗水平与社会活力，吸引师生消费，直接带动奶茶店客流与营收增长，促进本地服务业发展．某品牌奶茶店今年7月份外卖盈利4000元，9月份外卖盈利5760元，若从7月份到9月份，每月盈利的平均增长率都相同．求7月份到9月份每月盈利的平均增长率．
15．（25-26九年级上·四川眉山·期中）关于的一元二次方程．
(1)当方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)若方程有两个实数根，且满足，求的值．
16．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）用因式分解法解一元二次方程可以使解题过程变得更简单、快捷，但在解题过程中要考虑全面．王老师讲完用因式分解法求解一元二次方程后，在黑板上写了一道题：．下面是小睿的解题过程：
解方程：．
解：两边同时约去，得．（第一步）
移项，合并同类项，得．（第二步）
两边同时除以2，得．（第三步）
(1)小睿的解题方法是从第 步开始出现错误的；
(2)请你用因式分解法正确的解出这道题．
17．（25-26九年级上·全国·期中）已知关于的一元二次方程．
(1)当时，方程的根为 ；
(2)求证：无论为何值，方程总有实数根；
(3)若，是方程的两个实数根，且，求的值．
18．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知关于x的一元二次方程
(1)当方程有实数根时，求m的取值范围；
(2)设方程的两个实根分别是，，且满足，求m的值．
19．（25-26九年级上·陕西商洛·期中）全球七分之一的苹果来自陕西，主产区集中在渭北黄土高原，其果形高桩、色泽艳丽，酸甜适度，出口量常年稳居全国前列．佳乐水果超市以每箱65元的进价购进一批红富士苹果，当该水果售价为每箱85元时，八月销售300箱，九、十月该苹果十分畅销，销量持续上涨，在售价不变的基础上，十月的销量达到432箱．
(1)求九、十月两月销量的月平均增长率；
(2)十一月该水果超市为了减少库存，开始降价促销，经调查发现，该苹果每箱降价1元，月销量在十月销量的基础上增加6箱，当该苹果每箱降价多少元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6 930元？
20．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）【材料阅读】解方程：
第一步：设，则原方程化为①，解方程①得：．
第二步：求解x的方程，即②③，解②③得：，，，
第三步：所以原方程的解是：，，，
上述解题方法，我们称之为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法；在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化．
【初步应用】（1）解方程：
【提升应用】（2）若四个连续自然数的积为120，请按照材料的方法，求这四个连续自然数．
21．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，
把代入已知方程，得，
化简，得，故所求方程为，
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．
(2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根．
22．（25-26九年级上·四川成都·期中）成都文殊院糕点以物美价廉，品牌口碑好，质量稳定而闻名．某电商从年开始销售文殊院糕点，当年销售额为万元，到年的销售额达到万元．
(1)求该电商这两年销售额的平均年增长率；
(2)该电商市场调查发现，当某规格糕点的售价为元/件时，每天能售出件，售价每降价元，每天可多售出件．为了推广宣传，该电商决定对这个规格的糕点降价促销．同时尽量减少库存，已知该糕点的平均成本价为元/件，若要每天获利元，则每件售价应为多少元？
23．（25-26九年级上·河南平顶山·期中）体育是“五育并举”的重要组成部分，助力学生综合素质发展．如今跳绳成为中小学生必备的体育用品，某体育用品商店将进货价为30元的跳绳，以40元售出．经统计，1月份的销售量为256根，3月份的销售量为400根．
(1)求这款跳绳1月份到3月份销售量的月平均增长率；
(2)进入4月淡季后，商店为了减少库存，以3月份的销量为基础，采用降价促销方式．经调查发现，跳绳的销售价每降低1元，月销售量就会增加20根．该商店要想要使4月销售利润达到3520元，这款跳绳的销售价应为多少元？
24．（25-26九年级上·四川成都·期中）某店统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个．
(1)求该店该品牌头盔从4月份到6月份销售量的平均月增长率；
(2)若此种头盔的进价为300元每个，测算在市场中，当售价为400元每个时，月销售量为60个，若在此基础上售价每上涨2元每个，则月销售量将减少1个，为使月销售利润达到6032元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为每个多少元？
25．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）阅读材料，解答问题．
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程化为，
解得，．
或．
，．
以上方法就叫做“换元法”，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
(1)．
(2)．
26．（25-26九年级上·重庆·期中）列方程解应用题：
随着“绿色生态农业”理念的深入人心，万州区响水镇的生态红心猕猴桃供不应求，赢得了“金秋好时节，响水有奇珍”的市场美名．2025年国庆期间小江同学购买了若干千克响水红心猕猴桃，他发现用300元购买的大果猕猴桃的数量是用110元购买的中果猕猴桃的数量的2倍，且大果猕猴桃的单价比中果猕猴桃的单价每千克多8元．
(1)求大果、中果红心猕猴桃每千克分别为多少元？
(2)双十一临近，商家对老顾客让利，小江决定再次购买两种响水红心猕猴桃共25千克．其中中果猕猴桃价格不变；大果猕猴桃每千克降低了元，但购买的数量却比第一次购买大果猕猴桃的数量增加了千克，结果一共用了630元．求的值．
27．（25-26九年级上·四川内江·期中）某品牌衬衫，由于改进生产工艺和打开了销售市场，工厂每年的生产总量不断提升．据统计，2023年生产总量有20万件，2025年生产总量达到45万件．
(1)求2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率；
(2)某家商场正在销售这一批名牌衬衫，平均每天可售出40件，每件盈利40元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商品平均每天可多售出4件．若商场平均每天要盈利2400元，每件衬衫应降价多少元？
28．（25-26九年级上·广东茂名·期中）新定义：对于关于x的一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“美好方程”．
(1)判断下列方程一定是“美好方程”是______；（直接填序号）
①；②；③；
(2)若关于x的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为，（）
①证明：此方程一定是“美好方程”；
②若，，求m的取值范围；
③是否存在实数k，使得始终在函数的图象上？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
29．（25-26九年级上·广西南宁·期中）在中，，，，点从点开始向点以的速度运动，同时，点从点开始向点以的速度运动，当点运动到点后停止，点也随之停止运动，
(1)设的运动时间为，则的长度为_____（用含的式子表示）
(2)若的面积为，求的运动时间；
(3)的面积能否为？若能，请求出的运动时间；若不能，请说明理由
30．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）阅读材料：
法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“根与系数的关系”可表述为：，，借此结论，小明进行了对“倍根方程”和“方根方程”根的特征探究．定义：
①倍根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的3倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
②方根方程：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这样的方程为“方根方程”．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)判断方程是______（填“①倍根方程”或“②方根方程”）．
(2)若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求c的值．
(3)若关于x的一元二次方程既是“倍根方程”又是“方根方程”，求的值．
31．（25-26九年级上·山东青岛·期中）阅读材料：材料1：关于的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：，n是一元二次方程的两个实数根，
，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程的两个实数根为，，则______，______．
(2)已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
(3)已知实数s，t满足，且，求的值．
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《【解答题期中真题汇编】第2章 一元二次方程》参考答案
1．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程——直接开平方法，解题的关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）直接开平方法解一元二次方程；
（2）因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解：，
开平方，得，
即，；
（2），
移项，得，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，．
2．(1)
(2)
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟知解法是正确解答此题的关键．
（1）用因式分解法将方程变形成解方程即可．
（2）用因式分解法将方程变形成解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
解得 ；
（2）解：，
，
，
，
，
解得 ．
3．(1)，
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，运用因式分解思想，关键是通过提取公因式或平方差公式分解方程，易错点为因式分解时符号或公式应用错误；
（1）提取公因式分解方程求解；（2）利用平方差公式分解方程求解．
【详解】（1）解：
或
，．
（2）
或
，．
4．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）利用十字相乘法因式分解即可求解；
（2）利用求根公式即可求解；
（3）利用十字相乘法因式分解即可求解；
（4）利用直接开平方法即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
，
；
（3）
；
（4）
．
5．，
【分析】由于方程无法通过因式分解法求解，因此选用公式法．先确定一元二次方程一般形式中、、的取值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式即可得到方程的解．
【详解】解：对于方程，，，，
∴判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
即方程的解为，．
6．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）将一元二次方程化为一般形式，再用因式分解法解一元二次方程即可；
（3）用配方法解一元二次方程即可；
（4）先将一元二次方程变为一般形式，再用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：；
（2）解：，
原方程可变为：，
因式分解得：，
∴或，
解得：；
（3）解：，
移项得：，
方程两边同除以3得：，
配方得：，
开平方得：，
∴；
（4）解：，
变为一般形式得：，
，，，
，
∴，
即．
7．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）用配方法解一元二次方程即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
，
8．(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
∴或，
解得；
（2）解：
，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
解得；
（3）解：
，
，
，
，
∴或，
解得；
（4）解：
，
，
，
，
∴或，
解得．
9．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活运用是解答的关键．
（1）利用直接开平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【详解】（1）解：
可得或，
解得；
（2）解：
可得或，
解得．
10．(1)，
(2)
【分析】本题考查了求不等式组的整数解，解一元二次方程．
（1）分别解不等式①和②，找出它们的解集的交集，然后确定其中的整数解；
（2）使用求根公式解一元二次方程；
【详解】（1）解：解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
整数解为：，
（2）解：
∴，，
∴，
解得：
11．(1)见解析
(2)，方程的另一根为
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键．
（1）只需要证明即可；
（2）设方程的另一个根为n，由根与系数的关系可得，解之即可得到答案．
【详解】（1）证明：由题意得，，
∵，
∴，
∴不论为何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的另一个根为n，
则，
∴，
∴，方程的另一根为．
12．(1)
(2)每本画册应降价3元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出平均每天的销售量；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）利用平均每天的销售量这种画册每本降价的钱数，即可用含x的代数式表示出平均每天的销售量；
（2）利用总利润=每本的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合每本售价不低于55元，即可确定结论．
【详解】（1）解：依题意，当这种画册每本降价x元时，平均每天的销售量为本．
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，舍去．
答：每本画册应降价3元．
13．(1)月平均增长率是
(2)售价应降低20元
【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键．
（1）设月平均增长率是x，结合数量关系列式求解即可；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，由数量关系列式求解即可．
【详解】（1）解：设月平均增长率是x，
根据题意得：，
解：，（不合题意，舍去），
答：月平均增长率是；
（2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，每天的销售量为（件），
当时，每天的销售量为（件），
∵，
∴售价应降低20元，
答：售价应降低20元．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程-增长率问题，设7月份到9月份每月盈利的平均增长率为，根据增长前增长后列出方程，求解即可．
【详解】解：设7月份到9月份每月盈利的平均增长率为，
根据题意可得：，
解得：（负值舍去），
答：7月份到9月份每月盈利的平均增长率为．
15．(1)
(2)1
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，根的判别式和解一元二次方程，解题关键是明确一元二次方程根的判别式和根与系数关系，准确的解方程．
（1）根据根的判别式的意义得到，然后根据根的情况列出不等式，解不等式即可得到k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，整理得，然后解方程后通过k的范围确定k的值．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
即k的取值范围为；
（2）解：根据题意得，，
，
，
∴，
解得，，
由（1）可知，方程有两个实数根时，，
．
16．(1)一
(2)，
【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，等式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）第一步的变形不符合等式的性质，小睿在两边同时约去，没有考虑到的情况；
（2）先移项，再利用因式分解法即可求解．
【详解】（1）解：∵当时，不能两边同时约去，小睿没有考虑这个情况
∴小睿的解题方法是从第一步开始出现错误的．
故答案为：一．
（2）解：
∴或
∴，．
17．(1)或；
(2)见解析；
(3)或．
【分析】本题主要考查一元二次方程的相关知识，包括方程的求解、判别式的应用以及根与系数的关系的运用．解题的关键在于准确计算判别式并判断其正负性；熟练运用根与系数的关系对式子进行变形和计算．
（1）将代入原方程，得到一个具体的一元二次方程，然后求解该方程的根．
（2）计算原方程的根的判别式，通过对根的判别式进行化简变形，判断其取值范围，从而证明无论为何值，方程总有实数根．
（3）先根据根与系数的关系得出和的表达式，再对进行变形，将和代入变形后的式子，得到关于的方程，最后求解即可．
【详解】（1）解：当时，原式可化为
；．
（2）证明：
∴无论为何值，方程总有实数根．
（3）解：依题意，得，；
∵
∴
，
或，
经检验，或均符合题意．
18．(1)的取值范围为
(2)的值为
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
（1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数关系得到，由得到，再解方程，然后根据（1）中m的取值范围确定m的值．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得，
即m的取值范围为；
（2）解：根据根与系数关系得，，
，
∴，
解得：，，
，
的值为．
19．(1)九、十月两月销量的月平均增长率是
(2)当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元
【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，掌握知识点是解题的关键．
（1）设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，求出x的值即可；
（2）设该苹果每箱降价y元，根据题意 列出一元二次方程，求出y的值即可．
【详解】（1）解：设九、十月两月的月平均增长率为x，根据题意，得
，
解得
（舍去），
答：九、十月两月销量的月平均增长率是；
（2）解：设该苹果每箱降价y元，根据题意，得
，
整理，得
，
解得
（舍去）．
故当该苹果每箱降价5元时，该水果超市十一月售卖这种苹果可获利6930元．
20．（1）原方程的解为，，，；
（2）四个连续自然数是2，3，4，5．
【分析】本题考查了换元法的思想应用及一元二次方程的解法．
（1）利用换元法解方程即可；
（2）通过设第一个数，将乘积式转化为方程，再用换元法简化计算即可．
【详解】解：（1）设，
原方程可变为，
则，
∴或，
∴，
当时，，
解得，，
当时，，
解得，，
∴原方程的解为，，，；
（2）解：设四个连续自然数为n，，，，
由题意得，
整理得，即，
设，则方程化为，
即，
因式分解得，
（舍去），，
当时，，即，
因式分解得，，
∴，（舍去），
∴四个连续自然数是2，3，4，5．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法．
（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可；
（2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案；
（3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可．
【详解】（1）解：设所求方程的根是，则，
所以，
把代入，
得；
（2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025，
，
，
是方程的实数根．
故答案为：．
（3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，
，
，
方程
化为：方程，
整理得，
因式分解得，
解得．
22．(1)该电商这两年销售额的平均年增长率为
(2)每件售价应为元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该电商这两年销售额的平均年增长率，根据题意列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
（2）设每件售价应降低元，则每件售价为元，每天可售出件，根据要每天获利元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】（1）解：设该电商这两年销售额的平均年增长率为，
根据题意得：，
解得，（不符合题意，舍去），
答：该电商这两年销售额的平均年增长率为；
（2）解：设每件售价应降低元，则每件售价为元，每天可售出件，
根据题意得：，
整理得：，
解得，，
要尽量减少库存，
，
（元）．
答：每件售价应为元．
23．(1)
(2)38元
【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题；
（1）设这种跳绳销售量的月平均增长率为，根据1月份的销售量为256根，3月份的销售量为400根，可列出方程；
（2）设每根跳绳降价元，月销售量，而总利润月销售量一根跳绳的利润，据此可列出方程．
【详解】（1）解：设这种跳绳销售量的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：这种跳绳1月份到3月份销售量的月平均增长率为
（2）解：设每根跳绳降价元，由题意得：
，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
元，
答：这种跳绳销售价应为38元．
24．(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔的实际售价应定为每个元
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
设该品牌头盔的实际售价为每个元，依题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意得：，
，（不合题意，舍去），
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）设该品牌头盔的实际售价为元/个，
，，
尽可能让顾客得到实惠，
答：该品牌头盔的实际售价应定为每个元．
25．(1)
，，，
(2)
，，
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程的方法，熟练运用换元法降次是解题的关键．
（1）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程；
（2）设，将方程转化为关于的一元二次方程求解，再解关于的方程．
【详解】（1）解：设，则原方程化为，
，
或，
或，
或，
原方程的解为，，，；
（2）解：原方程为，
即，
设，则原方程化为，
，
或，
或，
或，
对于，即，
，
，
对于，即，
，
，
原方程的解为，，．
26．(1)中果红心猕猴桃每千克22元，大果红心猕猴桃每千克30元．
(2)的值为3．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键．
（1）设中果红心猕猴桃每千克元，大果红心猕猴桃每千克元，根据“他发现用300元购买的大果猕猴桃的数量是用110元购买的中果猕猴桃的数量的2倍”列出分式方程，解方程即可得解；
（2）根据总花费中果红心猕猴桃的花费大果红心猕猴桃的花费，列出关于的一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设中果红心猕猴桃每千克元，大果红心猕猴桃每千克元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意，
（元），
答：中果红心猕猴桃每千克22元，大果红心猕猴桃每千克30元．
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，（舍），
答：的值为3．
27．(1)2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率；
(2)每件衬衫应降价20元；
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意正确建立利润与价格的等式是解题关键；
（1）设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据商场平均每天盈利额每件的盈利售出件数；每件的盈利原来每件的盈利降价数．设每件衬衫应降价元，然后根据前面的关系式列出方程，解方程即可求出结果．
【详解】（1）解：设2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率x
由题意得：
解得：或（不合题意，舍去）
答：2023年到2025年这种衬衫生产总量的年平均增长率；
（2）解：设每件衬衫应降价m元
由题意得：
整理得：，即
解得：或
因为商场的目标是扩大销售，增加盈利，尽快减少库存
所以
答：每件衬衫应降价20元．
28．(1)①③
(2)①见解析；②；③存在，
【分析】（1）分别计算每个方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可判断；
（2）①计算方程的判别式，再根据“美好方程”的定义即可证明；
②根据公式法求解方程，得到，，再结合题意列出不等式组，即可求解；
③代入点到，即可求出k的值．
【详解】（1）解：①对于，
，，，
∴，
∴是“美好方程”；
②对于，
，，，
∴，
∵41不是整数的平方，
∴不是“美好方程”；
③对于，
，，，
∴，
∴是“美好方程”；
综上，一定是“美好方程”是①③；
（2）①证明：
，，，
∴，
∴此方程一定是“美好方程”；
②解：由①得，，
∴此方程的解为，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
解得；
③解：由②得，，，
∴，
代入点到，得，
整理得：，
∵不恒为0，
∴，
解得，
综上，存在实数，．
29．(1)
(2)
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了动点问题、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据题意即可解题；
（2）设运动时间为，用代数式表示出的面积，进而解方程即可；
（3）根据题意列出方程，发现无解，即可解题．
【详解】（1）解：由题意知，；
故答案为：；
（2）解：设运动时间为，由（1）得：，则，
列方程得：，
解得：，，
∵且，
∴，
∴；
的运动时间为；
（3）解：不能，理由如下：
若面积为，则可列方程得：，
解得：，
∵，
∴不合题意，
∴面积不能为．
30．(1)①倍根方程
(2)
(3)3或
【分析】本题考查了一元二次方程的根的求解、根与系数的关系（韦达定理）以及“倍根方程”“方根方程”的新定义应用，解题的关键是紧扣新定义，结合韦达定理建立方程，同时注意根不为0的限制条件．
（1） 求解方程 的两个根，验证其中一个根是否为另一个根的3倍，以此判断方程类型；
（2） 设倍根方程的两根为 ，根据韦达定理 求出两根的值，再代入 计算 ；
（3） 由方程既是倍根方程又是方根方程，得到两组等量关系 且 、 且 ，分别代入求解非零根，再根据韦达定理求出 、 的值，最后计算
【详解】（1）解：解方程
因式分解得 ，
∴ ，．
∵ ，且两根均不为0，
∴ 方程是①倍根方程．
（2）解：∵ 方程 是倍根方程
∴ 设两根为 （）
由韦达定理得 ，
∴ ，解得 ，．
又∵ ，
∴ ．
（3）解：∵ 方程 既是倍根方程又是方根方程，
∴ 有两种情况．
情况1：且 （），
代入得 ，解得 ，则 ．
由韦达定理：，，
∴ ，．
∴ ．
情况2： 且 （），
代入得 ，即 ，解得 ，则 ．
由韦达定理：，．
∴ ．
综上，的值为或．
答：的值为或．
31．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，掌握其运算规则是解题的关键．
（1）根据，计算即可；
（2）先根据一元二次方程根与系数的关系，求得，然后利用计算即可；
（3）由题意可知，，然后根据进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵的两个实数根为m，n，
∴，
∴；
（3）解：∵实数s，t满足，且，
∴是的两个根，
∴，
∴．
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