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贵州省黔南州2025年九年级中考一模考试数学试题
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂.）
1．（2025·黔南模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·黔南模拟）如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·黔南模拟）的值是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·黔南模拟）在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2025·黔南模拟）我国独立自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为．将数据250000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·黔南模拟）将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·黔南模拟）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
8．（2025·黔南模拟）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·黔南模拟）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025·黔南模拟）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·黔南模拟）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为
C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到
12．（2025·黔南模拟）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2025·黔南模拟）函数 中，自变量x的取值范围是　 　．
14．（2025·黔南模拟）七（1）班将在3月5日开展“学雷锋”活动，需将全班同学分为“社区服务”“雷锋精神宣传”“爱心义卖”“线上公益”四个小组．每位同学被分到每个小组的可能性相等，则小星被分到“爱心义卖”小组的概率是　 　．
15．（2025·黔南模拟）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则　 　．
16．（2025·黔南模拟）如图，在中，，，是边上的任意一点，连接，是上一点，连接，使得，连接，则的最小值是　 　．
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·黔南模拟）（1）计算：；
（2）解方程：．
18．（2025·黔南模拟）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格，其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试成绩的相关情况，便于精准找出差距，进行合理的训练规划，特整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a.本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
b.本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228
c.本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求的值；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩；
（3）请你结合该校所在区县的测试成绩，为该校提出一条合理化建议．
19．（2025·黔南模拟）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
（1）填空：___________；（直接写出结果）
（2）已知，求的取值范围．
20．（2025·黔南模拟）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点（点恰好在格点上），反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求出此时点的坐标．
21．（2025·黔南模拟）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
22．（2025·黔南模拟）如图①，在中，，是上两定点，是上一动点，且，的平分线交于点．
（1）求证：为上一定点；
（2）如图②，当弦经过圆心时，过点作的切线，交的延长线于点，求证：．
23．（2025·黔南模拟）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1　正　148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
24．（2025·黔南模拟）小星利用一次函数和二次函数的知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示．当输入的值为时，输出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出的值为6．
（1）写出的值是__________．
（2）如图②，小星在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象.
①当随的增大而增大时，求的取值范围；
②若关于的方程（为实数）在时无解，直接写出的取值范围．
25．（2025·黔南模拟）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，点D、E在边上，且，求DE的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结． 由旋转的特征得． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ， ∴①_____． ∴． 又∵， ∴在中，②_____． ∵， ∴③_____．
【问题解决】
（1）上述问题情境中，“①”处应填：_________；“②”处应填：_________；“③”处应填：_________．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
（2）如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：_________（直接写出结论，不必证明）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的平面图形是，
故选：C ．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】直接根据单项式乘法法则进行计算，即可得出，即可得出正确答案.
4．【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为点的横坐标是正数，纵坐标也是正数，所以点P在平面直角坐标系的第一象限．
故选：A．
【分析】根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，，
根据题意，，
在中，，
∴，
故答案为：C ．
【分析】根据对顶角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵一组数据“12，12，28，35，■”，“■” 在30～40之间，
∴这几个数据的和随“■”的变化而变化，
∴平均数是变化的，此选项不符合题意；
B、若“■”是35，则众数发生变化，此选项不符合题意；
C、∵一组数据“12，12，28，35，■”，“■” 在30～40之间，
∴这几个数据的中位数不会随“■”的变化而变化，
∴中位数不会变化，此选项符合题意；
D、由A可知，平均数发生了变化，
∴方差随着改变，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数；根据定义即可判断求解.
8．【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；不等式的性质；有理数的大小比较-数轴比较法；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项正确，符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
∵，
∴，故D选项错误，不符合题意；
故选：B ．
【分析】根据数轴上点的位置关系可得，再根据有理数的乘法，绝对值性质，不等式性质逐项进行判断即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意可知：，
，
实数的值可能是1，
故选A．
【分析】根据二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
又，
∵
∴，
∴的长度为，
故选：C．
【分析】连接，，根据等边对等角可得，，根据直线平行判定定理可得，根据三角形内角和定理可得∠A，根据直线平行性质可得，再根据弧长公式即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；
B、未加入絮凝剂时，净水率为，故不符合题意，选项错误；
C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为；故絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；
D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，符合题意，选项正确；
故选：D
【分析】先理解题意，再结合图象，对选项逐个判断即可．
12．【答案】D
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设折断处离地面x尺，可得另一段为尺，
根据题意可得：，
故选：D．
【分析】 若设折断处离地面x尺， 可得另一段为尺，利用勾股定理求解即可．
13．【答案】x≥-3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得，
解得
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，即可得到x的取值范围。
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：小星被分到“爱心义卖”小组的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
15．【答案】6
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】由题意可得平分，再根据角平分线的性质可得，根据即可求解．
16．【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取中点，连接、，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵中，当在上时，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】取中点，连接、，则，根据勾股定理可得CF，根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
方程两边都乘，得：
，
解得：
检验，把代入得：，
∴是原方程的根．
【知识点】零指数幂；解分式方程；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据绝对值性质，0指数幂，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
（2）去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：；
（2）解：设乙同学的测试成绩是，
中位数为228，
，
解得，
答：乙同学的测试成绩是；
（3）解：从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩高于全县的平均数：从优秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩低于全县的优秀率，所以要加强训练强度，努力提高优秀率，（写出一条合理化建议即可给分）．
【知识点】全面调查与抽样调查；频数与频率；频数（率）分布表；中位数
【解析】【分析】（1）根据优秀的人数除以总人数即可求出p的值.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的定义进行判断即可求出答案.
（1）解：；
（2）解：设乙同学的测试成绩是，
中位数为228，
，
解得，
答：乙同学的测试成绩是；
（3）解：从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩高于全县的平均数：从优秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩低于全县的优秀率，所以要加强训练强度，努力提高优秀率，（写出一条合理化建议即可给分）．
19．【答案】（1）
（2）解：由题意，知，①或，②
由①，得；
由②，得该不等式组无解；
的取值范围为

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
故答案为：
【分析】（1）根据新定义列式计算，结合有理数的乘法，减法即可求出答案.
（2）根据新定义建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（1）解：由题意可得，，
故答案为：
（2）由题意，知，①或，②
由①，得；
由②，得该不等式组无解；
的取值范围为
20．【答案】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
解得，
这个反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，
点向左平移后在反比例函数的图象上，
平移后点的纵坐标为4，
，即，
矩形向左平移了个单位长度，
点平移后的坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据点的平移即可求出答案.
（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
解得，
这个反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，
点向左平移后在反比例函数的图象上，
平移后点的纵坐标为4，
，即，
矩形向左平移了个单位长度，
点平移后的坐标为．
21．【答案】（1）解：选择①，
证明：因为，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形；
选择②，
证明：因为，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形.
（2）解：由（1）得，
因为，，由勾股定理，得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）选择①或②，结合两组对边相互平行，对边平行且相等，进而证得四边形为平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质，得出，结合勾股定理，即可求解.
（1）解：选择①，
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
选择②，
证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴．
22．【答案】（1）证明：如图，连接，．
，为的平分线，
，
，
、是上两定点，
点为的中点，是一定点；
（2）证明：如图，连接，，交于点
由题意，得，
，
是的切线，为半径，
，
，
是的直径，，
，
，
，
，
．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，，根据角平分线定义可得，则，即可求出答案.
（2）连接，，交于点，由题意，得，根据垂径定理可得，根据切线性质可得，再根据直线平行判定定理可得，根据圆周角定理的推论，结合直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，．
，为的平分线，
，
，
、是上两定点，
点为的中点，是一定点；
（2）如图，连接，，交于点
由题意，得，
，
是的切线，为半径，
，
，
是的直径，，
，
，
，
，
．
23．【答案】解：任务1：∵现安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，且服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，
∴安排人加工”正“服装，
根据题意，得，
∴之间的数量关系为；
任务2：根据题意，得”雅“服装每天获利为：，
∴，
∴关于的函数表达式为；
任务3：由任务2，得，
∵，
∴当时，获得最大利润为，
∴，
∵开口向下，
∴或，
当时，有，不符合题意，舍去；
当时，有，符合题意；
∴，
∴安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：先求出安排加工”正“服装的人数，然后根据”正“服装总件数和”风“服装相等即可求解；
任务2：根据雅”服装每天加工10件时，每件获利100元，若每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元得到“雅”服装每天获利，然后将3种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：将任务2中的函数表达式化为顶点式，结合二次函数的最值知识以及题意即可求解.
24．【答案】（1）1
（2）解：①，且，，
将，；，代入，
得，
解得，
一次函数的解析式为，二次函数的解析式为，
当时，，对称轴为直线，开口向上，
时，随的增大而增大；
当时，，，
且当时，，
时，随的增大而增大，
综上，的取值范围为或；
②或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）解：当输入的值为时，输出的值为1，即，此时，，解析式为，
∴，
解得，，
故答案为：；
（2）②或，
在时无解，即在时无解，
问题转化为抛物线与直线在时无交点，
如图，对于，当时，，
顶点坐标为，
当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，
当时，抛物线与直线在时没有交点，
当时，，
当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，
当时，抛物线与直线在时没有交点，
当或时，抛物线与直线在时没有交点，
故答案为：或．
【分析】（1）当输入的值为时，输出的值为1，即，此时，，根据待定系数法将点代入即可求出答案.
（2）①根据待定系数法将，；，代入解析式可得一次函数的解析式为，二次函数的解析式为，再根据函数图象即可求出答案.
②根据题意可得，问题转化为抛物线与直线在时无交点，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：当输入的值为时，输出的值为1，即，此时，，解析式为，
∴，
解得，，
故答案为：；
（2）解：①，且，，
将，；，代入，
得，
解得，
一次函数的解析式为，二次函数的解析式为，
当时，，对称轴为直线，开口向上，
时，随的增大而增大；
当时，，，
且当时，，
时，随的增大而增大，
综上，的取值范围为或；
②或，
在时无解，即在时无解，
问题转化为抛物线与直线在时无交点，
如图，对于，当时，，
顶点坐标为，
当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，
当时，抛物线与直线在时没有交点，
当时，，
当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，
当时，抛物线与直线在时没有交点，
当或时，抛物线与直线在时没有交点，
故答案为：或．
25．【答案】（1），，5；
（2），证明如下：
如图3，将绕点A逆时针旋转，得到，过点D作交边于点H，连接．
由旋转得：．
由题意得：，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
又∵为正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在中，，
∴；
（3）
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；半角模型
【解析】【解答】解：（1）如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．
由旋转的特征得．
∵，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
又∵，
∴在中，．
∵，
∴．
故答案为：，，5．
（3），证明如下：
如图4所示，延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转得到，连接．过点H作直线与O，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由（2）知，则，
则由勾股定理有：，即
又∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）结合题意，理解上下文的含义，利用旋转的性质得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，最后由勾股定理求解即可；
（2）由题意可得：，从而得到，即，再通过ASA得到，从而得到，易证可得，最后在中运用勾股定理即可解答；
（3）如图4所示，延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转得到，连接．过点H作直线与O，则可得，再说明是等腰直角三角形，即；由（2）知，则；再根据勾股定理可得，最后运用等量代换即可证明结论．
1 / 1贵州省黔南州2025年九年级中考一模考试数学试题
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂.）
1．（2025·黔南模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．（2025·黔南模拟）如图所示的几何体，从正面看到的平面图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看到的平面图形是，
故选：C ．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
3．（2025·黔南模拟）的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】直接根据单项式乘法法则进行计算，即可得出，即可得出正确答案.
4．（2025·黔南模拟）在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：因为点的横坐标是正数，纵坐标也是正数，所以点P在平面直角坐标系的第一象限．
故选：A．
【分析】根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
5．（2025·黔南模拟）我国独立自主研发的口径球面射电望远镜（）有“中国天眼”之称，它的反射面面积约为．将数据250000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
6．（2025·黔南模拟）将一个含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图所示，，
根据题意，，
在中，，
∴，
故答案为：C ．
【分析】根据对顶角相等可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
7．（2025·黔南模拟）小明在处理一组数据“12，12，28，35，■”时，不小心将其中一个数据污染了，只记得该数据在30～40之间，则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的（　　）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵一组数据“12，12，28，35，■”，“■” 在30～40之间，
∴这几个数据的和随“■”的变化而变化，
∴平均数是变化的，此选项不符合题意；
B、若“■”是35，则众数发生变化，此选项不符合题意；
C、∵一组数据“12，12，28，35，■”，“■” 在30～40之间，
∴这几个数据的中位数不会随“■”的变化而变化，
∴中位数不会变化，此选项符合题意；
D、由A可知，平均数发生了变化，
∴方差随着改变，此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；方差是指每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数；根据定义即可判断求解.
8．（2025·黔南模拟）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的减法法则；不等式的性质；有理数的大小比较-数轴比较法；有理数的加法法则；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：由数轴可知，
∴，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项正确，符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
∵，
∴，故D选项错误，不符合题意；
故选：B ．
【分析】根据数轴上点的位置关系可得，再根据有理数的乘法，绝对值性质，不等式性质逐项进行判断即可求出答案.
9．（2025·黔南模拟）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：由题意可知：，
，
实数的值可能是1，
故选A．
【分析】根据二次方程有两个实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
10．（2025·黔南模拟）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
又，
∵
∴，
∴的长度为，
故选：C．
【分析】连接，，根据等边对等角可得，，根据直线平行判定定理可得，根据三角形内角和定理可得∠A，根据直线平行性质可得，再根据弧长公式即可求出答案.
11．（2025·黔南模拟）化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高
B．未加入絮凝剂时，净水率为
C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等
D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、从图像上可以看到，加入絮凝剂的体积在达到最大净水率，之后净水率开始降低，不符合题意，选项错误；
B、未加入絮凝剂时，净水率为，故不符合题意，选项错误；
C、当絮凝剂的体积为时，净水率增加量为，絮凝剂的体积为时，净水率增加量为；故絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量不相等，不符合题意，选项错误；
D、根据图像可得，加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，符合题意，选项正确；
故选：D
【分析】先理解题意，再结合图象，对选项逐个判断即可．
12．（2025·黔南模拟）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：如图，一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】风吹树折模型；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设折断处离地面x尺，可得另一段为尺，
根据题意可得：，
故选：D．
【分析】 若设折断处离地面x尺， 可得另一段为尺，利用勾股定理求解即可．
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2025·黔南模拟）函数 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x≥-3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得，
解得
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0，即可得到x的取值范围。
14．（2025·黔南模拟）七（1）班将在3月5日开展“学雷锋”活动，需将全班同学分为“社区服务”“雷锋精神宣传”“爱心义卖”“线上公益”四个小组．每位同学被分到每个小组的可能性相等，则小星被分到“爱心义卖”小组的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：小星被分到“爱心义卖”小组的概率是．
故答案为：．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
15．（2025·黔南模拟）如图，在锐角三角形中，是边上的高，在，上分别截取线段，，使；分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，在内，两弧交于点P，作射线，交于点M，过点M作于点N．若，，则　 　．
【答案】6
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：作图可知平分，
∵是边上的高，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】由题意可得平分，再根据角平分线的性质可得，根据即可求解．
16．（2025·黔南模拟）如图，在中，，，是边上的任意一点，连接，是上一点，连接，使得，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：取中点，连接、，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵中，当在上时，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
【分析】取中点，连接、，则，根据勾股定理可得CF，根据角之间的关系可得，根据直角三角形斜边上的中线可得EF，再根据边之间的关系即可求出答案.
三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·黔南模拟）（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1）
；
（2）
方程两边都乘，得：
，
解得：
检验，把代入得：，
∴是原方程的根．
【知识点】零指数幂；解分式方程；有理数的乘方法则；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】（1）根据绝对值性质，0指数幂，有理数的乘方化简，再计算加减即可求出答案.
（2）去分母转换为整式方程，再解方程即可求出答案.
18．（2025·黔南模拟）《国家学生体质健康标准（2014年修订）》将九年级男生的立定跳远测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格，其中表示测试成绩（单位：）．某校为了解本校九年级全体男生立定跳远测试成绩的相关情况，便于精准找出差距，进行合理的训练规划，特整理了本校及所在区县九年级全体男生近期一次测试成绩的相关数据，信息如下：
a.本校测试成绩频数（人数）分布表：
等级 优秀 良好 及格 不及格
频数（人数） 40 70 60 30
b.本校测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
222.5 228
c.本校所在区县测试成绩统计表：
平均数 中位数 优秀率 及格率
218.7 223
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）求的值；
（2）本校甲、乙两名同学本次测试成绩在本校排名（从高到低）分别是第100名、第101名，甲同学的测试成绩是，请你计算出乙同学的测试成绩；
（3）请你结合该校所在区县的测试成绩，为该校提出一条合理化建议．
【答案】（1）解：；
（2）解：设乙同学的测试成绩是，
中位数为228，
，
解得，
答：乙同学的测试成绩是；
（3）解：从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩高于全县的平均数：从优秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩低于全县的优秀率，所以要加强训练强度，努力提高优秀率，（写出一条合理化建议即可给分）．
【知识点】全面调查与抽样调查；频数与频率；频数（率）分布表；中位数
【解析】【分析】（1）根据优秀的人数除以总人数即可求出p的值.
（2）根据中位数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的定义进行判断即可求出答案.
（1）解：；
（2）解：设乙同学的测试成绩是，
中位数为228，
，
解得，
答：乙同学的测试成绩是；
（3）解：从平均数来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩高于全县的平均数：从优秀率来看，该校九年级全体男生立定跳远测试成绩低于全县的优秀率，所以要加强训练强度，努力提高优秀率，（写出一条合理化建议即可给分）．
19．（2025·黔南模拟）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．
（1）填空：___________；（直接写出结果）
（2）已知，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：由题意，知，①或，②
由①，得；
由②，得该不等式组无解；
的取值范围为

【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；解一元一次不等式组
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
故答案为：
【分析】（1）根据新定义列式计算，结合有理数的乘法，减法即可求出答案.
（2）根据新定义建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
（1）解：由题意可得，，
故答案为：
（2）由题意，知，①或，②
由①，得；
由②，得该不等式组无解；
的取值范围为
20．（2025·黔南模拟）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点（点恰好在格点上），反比例函数的图象经过点．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求出此时点的坐标．
【答案】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
解得，
这个反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，
点向左平移后在反比例函数的图象上，
平移后点的纵坐标为4，
，即，
矩形向左平移了个单位长度，
点平移后的坐标为．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据点的平移即可求出答案.
（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
解得，
这个反比例函数的解析式为；
（2）解：如图，
点向左平移后在反比例函数的图象上，
平移后点的纵坐标为4，
，即，
矩形向左平移了个单位长度，
点平移后的坐标为．
21．（2025·黔南模拟）如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求线段的长．
【答案】（1）解：选择①，
证明：因为，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形；
选择②，
证明：因为，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形.
（2）解：由（1）得，
因为，，由勾股定理，得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）选择①或②，结合两组对边相互平行，对边平行且相等，进而证得四边形为平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质，得出，结合勾股定理，即可求解.
（1）解：选择①，
证明：∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
选择②，
证明：∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：由（1）得，
∵，，
∴．
22．（2025·黔南模拟）如图①，在中，，是上两定点，是上一动点，且，的平分线交于点．
（1）求证：为上一定点；
（2）如图②，当弦经过圆心时，过点作的切线，交的延长线于点，求证：．
【答案】（1）证明：如图，连接，．
，为的平分线，
，
，
、是上两定点，
点为的中点，是一定点；
（2）证明：如图，连接，，交于点
由题意，得，
，
是的切线，为半径，
，
，
是的直径，，
，
，
，
，
．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）连接，，根据角平分线定义可得，则，即可求出答案.
（2）连接，，交于点，由题意，得，根据垂径定理可得，根据切线性质可得，再根据直线平行判定定理可得，根据圆周角定理的推论，结合直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，．
，为的平分线，
，
，
、是上两定点，
点为的中点，是一定点；
（2）如图，连接，，交于点
由题意，得，
，
是的切线，为半径，
，
，
是的直径，，
，
，
，
，
．
23．（2025·黔南模拟）请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产背景 背景1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件数和“风”服装相等.
背景2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元．
信息整理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种类加工人数（人）每人每天加工量（件）平均每件获利（元）风y224雅x1　正　148
探究任务 任务1 探寻变量关系 求x、y之间的数量关系．
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w关于x的函数表达式．
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案．
【答案】解：任务1：∵现安排名工人加工“雅”服装，名工人加工“风”服装，且服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，
∴安排人加工”正“服装，
根据题意，得，
∴之间的数量关系为；
任务2：根据题意，得”雅“服装每天获利为：，
∴，
∴关于的函数表达式为；
任务3：由任务2，得，
∵，
∴当时，获得最大利润为，
∴，
∵开口向下，
∴或，
当时，有，不符合题意，舍去；
当时，有，符合题意；
∴，
∴安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：先求出安排加工”正“服装的人数，然后根据”正“服装总件数和”风“服装相等即可求解；
任务2：根据雅”服装每天加工10件时，每件获利100元，若每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元得到“雅”服装每天获利，然后将3种服装的获利求和即可得出结果；
任务3：将任务2中的函数表达式化为顶点式，结合二次函数的最值知识以及题意即可求解.
24．（2025·黔南模拟）小星利用一次函数和二次函数的知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图①所示．当输入的值为时，输出的值为1；输入的值为2时，输出的值为3；输入的值为3时，输出的值为6．
（1）写出的值是__________．
（2）如图②，小星在平面直角坐标系中画出了关于的函数图象.
①当随的增大而增大时，求的取值范围；
②若关于的方程（为实数）在时无解，直接写出的取值范围．
【答案】（1）1
（2）解：①，且，，
将，；，代入，
得，
解得，
一次函数的解析式为，二次函数的解析式为，
当时，，对称轴为直线，开口向上，
时，随的增大而增大；
当时，，，
且当时，，
时，随的增大而增大，
综上，的取值范围为或；
②或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）解：当输入的值为时，输出的值为1，即，此时，，解析式为，
∴，
解得，，
故答案为：；
（2）②或，
在时无解，即在时无解，
问题转化为抛物线与直线在时无交点，
如图，对于，当时，，
顶点坐标为，
当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，
当时，抛物线与直线在时没有交点，
当时，，
当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，
当时，抛物线与直线在时没有交点，
当或时，抛物线与直线在时没有交点，
故答案为：或．
【分析】（1）当输入的值为时，输出的值为1，即，此时，，根据待定系数法将点代入即可求出答案.
（2）①根据待定系数法将，；，代入解析式可得一次函数的解析式为，二次函数的解析式为，再根据函数图象即可求出答案.
②根据题意可得，问题转化为抛物线与直线在时无交点，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：当输入的值为时，输出的值为1，即，此时，，解析式为，
∴，
解得，，
故答案为：；
（2）解：①，且，，
将，；，代入，
得，
解得，
一次函数的解析式为，二次函数的解析式为，
当时，，对称轴为直线，开口向上，
时，随的增大而增大；
当时，，，
且当时，，
时，随的增大而增大，
综上，的取值范围为或；
②或，
在时无解，即在时无解，
问题转化为抛物线与直线在时无交点，
如图，对于，当时，，
顶点坐标为，
当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，
当时，抛物线与直线在时没有交点，
当时，，
当时，抛物线与直线在时正好有一个交点，
当时，抛物线与直线在时没有交点，
当或时，抛物线与直线在时没有交点，
故答案为：或．
25．（2025·黔南模拟）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在中，，点D、E在边上，且，求DE的长． 解：如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连结． 由旋转的特征得． ∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴． 在和中， ， ∴①_____． ∴． 又∵， ∴在中，②_____． ∵， ∴③_____．
【问题解决】
（1）上述问题情境中，“①”处应填：_________；“②”处应填：_________；“③”处应填：_________．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
【知识迁移】
（2）如图3，在正方形中，点E、F分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连接，分别与对角线交于M、N两点．探究的数量关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图4，在矩形中，点E、F分别在边上，且．探究的数量关系：_________（直接写出结论，不必证明）．
【答案】（1），，5；
（2），证明如下：
如图3，将绕点A逆时针旋转，得到，过点D作交边于点H，连接．
由旋转得：．
由题意得：，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
又∵为正方形的对角线，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
在中，，
∴；
（3）
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；半角模型
【解析】【解答】解：（1）如图2，将绕点A逆时针旋转得到，连接．
由旋转的特征得．
∵，
∴．
∵，
∴，即．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
又∵，
∴在中，．
∵，
∴．
故答案为：，，5．
（3），证明如下：
如图4所示，延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转得到，连接．过点H作直线与O，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由（2）知，则，
则由勾股定理有：，即
又∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）结合题意，理解上下文的含义，利用旋转的性质得到，再利用全等三角形的判定与性质得到，最后由勾股定理求解即可；
（2）由题意可得：，从而得到，即，再通过ASA得到，从而得到，易证可得，最后在中运用勾股定理即可解答；
（3）如图4所示，延长交延长线于M点，交延长线于N点，将绕着点A顺时针旋转得到，连接．过点H作直线与O，则可得，再说明是等腰直角三角形，即；由（2）知，则；再根据勾股定理可得，最后运用等量代换即可证明结论．
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