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新解放学校初中部2025—2026学年下学期九年级数学学科活动四
满分：90分 时间：95分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图，桌面上放着一只一次性纸杯，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，将一把含角的三角尺的直角顶点放在一张矩形纸条的一边上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 在函数的图象上有三点，，，则函数值的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在矩形中，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ）
A. 6米 B. 米 C. 米 D. 4米
8. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 最简二次根式与可以合并，则________．
10. 2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位．
11. 如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点．
12. 如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____．
13. 如图，分别与相切于点A，B，点D在上（不与点A，B重合），若，则__________°．
14. 如图，在中，，，，将绕点B旋转得到，直线交于点F，点G为的中点，则下列说法中正确的有______．
①；②；③的最小值为；④的最小值为2．
三、解答题（本大题共7小题，共48分）
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 如图，在三个完全相同的小球上依次写有三个实数，将小球置于暗箱中，摇匀后随机摸取两个小球，求摸取的两个小球上的数字都是有理数的概率．
17. 今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度．
18. 如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中，以为边画一个面积为5的，使点C在格点上；
（2）在图②中，以为边画一个面积为5的钝角，使点D在网格线上；
（3）在图③中，以为边画一个面积为14的，使点E、F均在格点上．
19. 某学校与山区学生开展“手拉手”活动，该校一部分学生捐献自己的书籍给山区的学生，将捐书情况制成了如图所示尚不完整的统计图．
（1）求的值和的度数，并补全条形统计图；
（2）直接写出这些学生捐书数量的中位数与众数；
（3）若统计人员在统计时漏掉1名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是______本．
20. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以、为边作矩形．
（1）的长为_____；
（2）当点在边上时，连接．若，则_____；
（3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长；
（4）当矩形是正方形时，直接写出的长．
21. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）与y轴交于点A，且经过点．点M、N是抛物线上两点（点M在点N左侧，点M不与点A重合），横坐标分别为m、n，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M落在x轴上时，求的值；
（3）作直线相交于点P．
①当面积是面积的2倍时，直接写出m的值；
②当的面积大于面积的时，直接写出m的取值范围．
新解放学校初中部2025—2026学年下学期九年级数学学科活动四
满分：90分 时间：95分钟
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
2. 如图，桌面上放着一只一次性纸杯，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
3. 如图，将一把含角的三角尺的直角顶点放在一张矩形纸条的一边上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
4. 在函数的图象上有三点，，，则函数值的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. 如图，在矩形中，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6. 如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ）
A. 6米 B. 米 C. 米 D. 4米
【答案】B
8. 如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，交轴于点，连接，取的中点，连接，则的面积为（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】D
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 最简二次根式与可以合并，则________．
【答案】
10. 2025年9月27日，在第13轮“苏超”联赛中，连云港队主场与镇江队的比赛中观众人数约为万人，近似数“万”精确到______位．
【答案】百
11. 如图，桌球的桌面上有M，N两个球，若要将M球射向桌面的一边，反弹一次后击中N球，则A，B，C，D，4个点中，可以反弹击中N球的是 __点．
【答案】D
12. 如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____．
【答案】5
13. 如图，分别与相切于点A，B，点D在上（不与点A，B重合），若，则__________°．
【答案】40
14. 如图，在中，，，，将绕点B旋转得到，直线交于点F，点G为的中点，则下列说法中正确的有______．
①；②；③的最小值为；④的最小值为2．
【答案】①②③
三、解答题（本大题共7小题，共48分）
15. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
，
解：原式

；
当时，原式．
16. 如图，在三个完全相同的小球上依次写有三个实数，将小球置于暗箱中，摇匀后随机摸取两个小球，求摸取的两个小球上的数字都是有理数的概率．
【答案】
解：设用A表示，有理数用B表示，有理数用C表示，
根据题意，画树状图如下：
一共有6种等可能的，摸取的两个小球上的数字都是有理数的有2种等可能性，
故摸取的两个小球上的数字都是有理数的概率是．
17. 今年年初，新民大街历史文化街区保护提升活化利用工程启动，新民大街历史文化街区全长1445米，施工团队在修建了80天后，为加快建设脚步，抢抓工期，施工团队决定提升修建速度，每天修建长度是原来的1.5倍，共用140天完成全部任务，求原来每天施工长度．
【答案】
解：设原来每天施工长度为x米，
则提升修建速度后每天修建长度为米，
∴，
即，解得，
∴原来每天施工长度为8.5米．
18. 如图在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．保留适当的作图痕迹．
（1）在图①中，以为边画一个面积为5的，使点C在格点上；
（2）在图②中，以为边画一个面积为5的钝角，使点D在网格线上；
（3）在图③中，以为边画一个面积为14的，使点E、F均在格点上．
【答案】
【1】
解：构造，高为2的，如图所示：
则即为所求；
【2】
解：根据正方形的性质，构造，高为4的
则即为所求；
【3】
解：构造上底为1，下底为4，高5的梯形，
此时的面积为，
构造平行四边形，
则平行四边形即为所求．
19. 某学校与山区学生开展“手拉手”活动，该校一部分学生捐献自己的书籍给山区的学生，将捐书情况制成了如图所示尚不完整的统计图．
（1）求的值和的度数，并补全条形统计图；
（2）直接写出这些学生捐书数量的中位数与众数；
（3）若统计人员在统计时漏掉1名学生捐书的数量，现将他捐书的本数和原统计的捐书数量合并成一组新数据后，发现平均数增大了，则漏掉的那个学生捐书数量最少是______本．
【答案】
【1】
解：总人数为，
则，解得：，
，
补全条形统计图：
【2】
这人捐书的本数，第和第个数据都是6，
∴这些学生捐书数量的中位数为（本），众数为5本；
【3】
这名学生捐书数量的平均数为，
∵平均数增大了，
∴漏掉的那个学生捐书数量最少是7本，
故答案为：7．
20. 如图，在中，，，．点在边上，当点不与点重合时，连接，取的中点，过点在左侧作交折线于点，以、为边作矩形．
（1）的长为_____；
（2）当点在边上时，连接．若，则_____；
（3）当点在边上，且与的某一个锐角相等时，求的长；
（4）当矩形是正方形时，直接写出的长．
【答案】
【1】
解：在中，，，
由勾股定理得：；
【2】
解：如图，连接，
四边形是矩形，
， ，
是的中点，
是的垂直平分线，
，
；
【3】
解：分两种情况： ，如图，
，
四边形是矩形，
，，
，
， 即，
，
是的中点，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
；
，如图，
，
四边形是矩形，
，，即，
，
，
，
，
，，
，
，
，
是的中点，
，
，
在中，；
综上，的长是或；
【4】
解：当点在上时，如图，连接，设，
矩形是正方形，
，，，
在中，，
是的中点，
垂直平分，
，
，，
，
，
在中，，
解得，
即；
当点在上时，如图，
矩形是正方形，
，，
是的中点，
垂直平分，
，
，
，
，即为边的高，
由（3）可知，边上的高为，
，
在中，；
综上，的长为或．
21. 在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，抛物线（b是常数）与y轴交于点A，且经过点．点M、N是抛物线上两点（点M在点N左侧，点M不与点A重合），横坐标分别为m、n，且．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点M落在x轴上时，求的值；
（3）作直线相交于点P．
①当面积是面积的2倍时，直接写出m的值；
②当的面积大于面积的时，直接写出m的取值范围．
【答案】
【1】
解：把点代入得：，解得，
∴抛物线的解析式为．
【2】
解：∵点M、N是抛物线上两点，横坐标分别为m、n，
∴，，
∵点M落在x轴上，
∴，解得或，
∵点M在点N左侧，，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴交于点A，
∴，
设直线的解析式为，把和代入得，
，解得，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，把代入得，解得：，
∴直线的解析式为，
由，解得或，
∴，
∴．
【3】
解：①如图，
∵由是面积的2倍，
∴，
∴A是的点，
∴，
设直线的解析式为，把和代入得，
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵直线的解析式为，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把和代入得，
，解得，
∴直线的解析式为，
∴
把代入得：，整理得，，解得，
∵点P在第一象限，
∴，
∴；
②如图：当直线在下方，
由①知，当时，面积是面积的2倍，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当直线向上移动时，的长度减小，
∵，
∴大于，即，
∴，
∵点不与点A重合，
∴，
∴；
如图：当直线在上方，显然，即，
如图：当点重合时，，
由①可得，即，即，此时不成三角形，
∴．
综上，当的面积大于面积的时，m的取值范围为或．

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