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初三年级数学学科综合练习四 8．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（I 单位：A）与电阻 R（单位： ）是反比例关
2026年 4月 8日 系，它的图象如图所示．下列说法错误的是 （ ）
一、选择题（每题 3分，共 24分） 36A．函数解析式为 I B．当 R = 6Ω 时， I 4A
R
1．下列各数中，是无理数的 （ ）
C．当 I 1 0A 时， R 3.6 D．当电压一定时，电流 I随电阻 R的增大而减小

A． 2 355B． 31 . 01 C． 8 D． 二、填空题（每题 3分，共 18分）
113
2．2026年米兰冬奧会共投入 2 300 000 000欧元用于赛事筹备与场馆建设，其中数 2 300 000 9．已知 x的一个平方根是 8 ，则 x是 ．
000用科学记数法表示为 （ ） 10． 2已知二次三项式 x ax 4 含有一个因式 x 2 ，则 a的值 ．
A．23×108 B．0.23×1010 C．2.3×1010 D．2.3×109
11．一次函数 y ( a 2 ) x 3 a 的图象经过第一、三、四象限，则 a的取值可以是 ．（填一
3．下列计算正确的是 （ ）
个符合要求的值即可）
3
A． 2 2 B． 3 2 C． 2 43a 2a 1 a a a a a 8 3a D． 2a 6a
12．如图，在 Rt△ABC中， C 90 ， A 30 ， BC 2．以点 C为圆心，CB长为半径画弧，
4．不等式 4 3x 1 的最大整数解为 （ ）
分别交 AC、AB于点 D、E，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
A． 2 B． 1 C．0 D．2
5．伪满皇宫博物院位于吉林省长春市宽城区，是一座在溥仪宫廷旧址建筑群基础上建立而成的宫
廷遗址型博物馆．其中辑熙楼二楼屋顶为等腰三角形，经测量腰长 AB = a 米，底角 B ，则等
腰三角形的高 AD 为 （ ）
a （第 12题） （第 13题） （第 14题）
A． a sin 米 B． 米 C． a cos 米 D． 米
sin cos 13．公园的一段甬路是用型号相同的五边形地砖拼铺面成的，如图是拼铺图案的一部分，如果每个
6．已知一次函数 y 3x m 的图象经过点 A(m，y1)，B(m+3，y2)，则 y1与 y2的大小关系为（ ） 五边形有 3个内角相等，那么这 3个内角都等于 ．
A．y1＞y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．不确定 14．如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E、F分别在边 AD、CD上，且 AE=DF，BE与 AF相交
7．将四边形纸片 ABCD（ D 90 ）按照如图所示的方法折叠，展开后结论不一定对的是（ ） 于点 G，连结 CG．给出下列四个结论：
①AF=BE；
② E BC AF D ；
③C、G两点之间的最小值为 5 1 ；
④当 BCG 最大时， AF 2 5 ．
A．AF∥BC B．AF⊥DE C．△ADG∽△DCE D．AB=FC
上述结论中，正确结论的序号有 ．
三、解答题（共 10小题，满分 78分） 19（．7分）如图，已知 BD是□ABCD的对角线，将□ABCD沿某条直线翻折，使点 D与点 B重合，
15．（6分）先化简，再求值： 2( a 2b ) ( a 2b ) ( a 2b ) 2b ，其中 a 3 ， b 2 ． 该折痕与边 AB相交于点 E，与边 CD相交于点 F，与 BD相交于点 O，连结 DE、BF．
（1）求证：四边形 EDFB是菱形；
（2）若□ABCD的面积是 24，则四边形 ADFE的面积为 ．
16．（6分）一个不透明的口袋里装有四张卡片，卡片上分别标有汉字“冰”、“雪”、“长”、“春”，除汉
字不同之外，卡片没有任何区别．若从中随机取一张卡片，不放回，再从中随机取一张卡片，请用
20．（7分）某校“π节科技创意”比赛分为初赛和决赛两个阶段．
画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的汉字恰好能组成“长春”的概率．
（1）初赛由 10名教师评委和 50名学生评委给每位选手打分(百分制).对评委给某位选手的打分进行
整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
17．（6分）图①，图②、图③均是 5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，每个小正方形
a.教师评委打分：86 88 90 91 91 91 91 92 92 98
的顶点叫作格点，△ABC的顶点 A、B、C和点 D均在格点上，只用无刻度的直尺按下列要求画图，
b.学生评委打分的频数分布直方图如图(数据分 4组：第 1组 80 ≤ x < 85，第 2组 85 ≤ x < 90，
保留作图痕迹．
第 3组 90 ≤ x < 95，第 4组 95 ≤ x < 100)：
（1）在图①中的边 BC上找一格点 E，连结 DE，使 2DE=AB；
c.评委打分的平均数、中位数、众数如下：
（2）在图②中的△ABC外部找一个格点 F，画四边形 BFCD，使该四边形只有一组对角为直角；
根据以上信息，回答下列问题：
（3）在图③中的△ABC外部找一个格点 G，画四边形 ADCG，使该四边形被对角线 DG分得的两
平均数 中位数 众数
个三角形均是等腰三角形．
教师评委 91 91 m
学生评委 90.2 n 93
①m的值为______，n的值位于学生评委打分数据分组的第______组；
-
②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余 8名教师评委打分的平均数为x，则
-
x______91(填“>”“=”或“<”)；
（2）决赛由 5名专业评委给每位选手打分(百分制).对每位选手，计算 5名专业评委给其打分的平
3 均数和方差，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业18．（7分）一张方桌由 1个桌面、4条桌腿组成．如果 1m 木料可以做方桌的桌面 50个或做桌腿
3 评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下：300条，现有 5m 木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和
评委 1 评委 2 评委 3 评委 4 评委 5
桌腿能恰好配成方桌？能配成多少张方桌？
甲 90 92 90 89 91
乙 90 91 89 90 91
丙 92 89 91 91 k
若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中 k（k为整
数）的值为______．
21．（8分）某单位准备印制一批证书．当地有甲、乙两个印刷厂，它们的印制质量都很好．甲厂收 23．（12分）如图，在等边△ABC中，AC=4，点 D为边 AC的中点，点 E为边 AB上一动点，连

费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不收制版费，直接按印刷数量收费，当印刷证书超过 2千本时 结 DE，将线段 DE绕点 E顺时针旋转60得到线段 EF．
单价有优惠．甲、乙两厂的收费 y(千元)关于印制的证书数量 x(千本)的函数图象如图所示． （1）当 EF∥AC时，线段 AE的长为______；
（1）根据图象回答： （2）当点 F在边 BC上时，求证：△ADE≌△BEF；
①甲厂的制版费是 千元，其印刷费单价是 元， （3）当点 E到 BC的距离是点 F到 BC距离的 3倍时，求 AE的长；
y 甲与 x的函数关系式 ； （4）直接写出 BF的最小值.
②当印制证书 8千本时，选择 印刷厂比较划算；
（2）当 x≥2时，求 y 乙与 x的函数关系式；
（3）如果甲厂想把 8千本证书印制的订单争取到手，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单 2补充练习：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线 y x bx （3 b是常数）经过点 A (2， 3) ，
价至少应降低多少？
点 P、Q在该抛物线上，点 P的横坐标为m（m＜0），点 Q的横坐标为 3 m ，点 N的横坐标为 3m ，
点 N的纵坐标与点 P的纵坐标相同，连结 PQ、PN．
22．（9分）【模型呈现】某兴趣小组从赵爽弦图（图①）中提炼出三角形全等的模型（图②），由图
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
中 BCA BAD AE D 90 可以通过推理得到△ABC≌△DAE，进而得到 AC=______，
（2）当点 N在该抛物线上时，求m的值及点 Q的坐标；
BC=______．我们可以把这个数学模型称为“一线三等角”模型；
（3）点 P、Q的坐标分别为 P（m，______）、Q（ 3 m ，______）（用含m的代数式表示），
【类比应用】如图③，在△ABC中，AB=AC，点 D、A、E都在直线 l上，并且 BD A AE C BAC
tan∠QPN的值为______；
若 BD=4，CE=5，求 DE的长；
（4）以 PQ、PN为边构造平行四边形 PQMN，连结 OP、OQ、OM、ON，若△OPQ与△OMN面
【拓展探究】如图④，正方形 ABCD中， AE D E ，DE=5，直接写出△CDE的面积______．
积的和等于 PQMN面积的一半，直接写出m的取值范围．
图① 图② 图③ 图④
初三年级数学学科综合练习四 参考答案 19．（7分）（1）证明：∵EF垂直平分 BD，
一、选择题（每题 3分，共 24分） ∴OB=OD，EB=ED
1．A 2．D 3．B 4．A 5．A 6．C 7．D 8．B ∵四边形 ABCD是平行四边形
二、填空题（每题 3分，共 18分） ∴AB∥CD
2
9．64 10． 4 11．满足 2 a 3即可 12． 3 13．120° 14．①②④ ∴∠EBO=∠FDO，∠BEO=∠DFO
3
∴△EBO≌△FDO（AAS）
三、解答题（共 10小题，满分 78分）
∴EB=FD
15．（6分）解：原式= 2a 4b ，…………（4分）
∵EB∥FD
当 a 3 ， b 2 时，原式= 2 3 4 2= 2 …………（6分）
∴四边形 BEDF是平行四边形
1
16．（6分）解： ．
6 ∵EB=ED
17．（6分）
∴四边形 BEDF是菱形……（5分）
（2）12．……（7分）
20．（7分）（1）①91；3；……（2分）
②＜…………（4分）
1
（2）甲选手的平均数为： ×(90 + 92 + 90 + 89 + 91) = 90.4，
5
1
乙选手的平均数为： ×(90 + 91 + 89 + 90 + 91) = 90.2，
5
18．（7分）解：设用 x多少立方米木料做桌面、y立方米木料做桌腿．
∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，
x y 5
……（4分）
4 50x 300 y ∴丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数，
∵ 5名专业评委给乙选手的打分为 90，91，89，90，91，乙选手的方差s 2 = 0.56．
x 3
解得 ……（6分）
y 2 5名专业评委给丙选手的打分为 92，89，91，91，k
∴乙选手的方差小于丙选手的方差，
50 3 1 50 ……（7分）
∴丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数，
答：用 3立方米木料做桌面、2立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌，能配成 150
∴ 89 ≥ k > 88，
张方桌
∵ k为整数，
∴ k(k为整数)的值为 89 故答案为：甲，89…………（7分）
21．（8分）解：（1）①1，0.5，y 甲=0.5x+1；②乙；…………（4分） 25∴△ CDE的面积为 ．………………（9分）
2
（2）y=0.25x+2.5；…………（6分）
23．（12分）解：（1）2；………………（2分）
（3）0.0625元．…………（8分）
（2）证明：如图 2，由题意得 DE = EF，∠DEF = 60，
22．（9分）解：(1)DE，AE；…………（2分）
∵ ∠DEF + ∠BEF = ∠DEB = ∠A + ∠ADE，∠DEF = ∠A = 60，
(2) ∵ ∠BDA = ∠AEC = ∠BAC = α，∠BAE = ∠BDA + ∠DBA = ∠BAC + ∠CAE，
∴ ∠ADE = ∠BEF，
∴∠DBA = ∠CAE．
在△ ADE和△ BEF中，
∵∠BDA = ∠AEC，AB = CA，
∠ADE=∠BEF
∴△ ADB≌△ CEA(AAS)． { ∠A=∠B ，
DE=EF
∴ AD = CE，BD = AE．
∴△ ADE≌△ BEF(AAS)；………………（6分）
∵ BD = 4，CE = 5， 5
（3）AE的长为 1或 ；………………（10分）
2
∴ AE = 4，AD = 5．
（4）解：BF的最小值为 3 .………………（12分）
∴ DE = AD + AE = 4 + 5 = 9；………………（7分）
（3）解：如图，过 C作 CH ⊥ DE，交 DE延长线于点 H，
∵ AE ⊥ DE，∴ ∠AED = ∠DHC = 90°，
∵四边形 ABCD是正方形，∴ AD = DC，∠ADC = 90°，
∴ ∠ADC = ∠AED = 90°，
∴ ∠ADE + ∠DAE = ∠ADE + ∠CDH = 90°，
∴ ∠DAE = ∠CDH，
在△ DAE和△ CDH中， 24（. 10分）解：(1)把点 A(2, - 3)代入抛物线 y = x 2 + bx - 3中，得 4 + 2b - 3 = -3，
{∠ADC=∠AED=90° 解得 b = -2，即抛物线的表达式为∠DAE=∠CDH ， 2
AD=DC y = x - 2x - 3；…………………………（2分）
2
∴△ DAE≌△ CDH(AAS)， (2)由题意可得点 P坐标为(m,m - 2m - 3)，
∴ DE = CH， 把 x = 3 -m代入 y = x 2 - 2x - 3中，可得 y = m 2 - 4m，
∵ DE = 5， 故点 Q(3 -m,m 2 - 4m )，N( - 3m,m 2 - 2m - 3)，
∴ CH = 5， 当点 N在抛物线上时，把点 N坐标代入 y = x 2 - 2x - 3中，
1 1 25 2 2
∴ S = DE×CH = ×5×5 = ． 得m - 2m - 3 = ( - 3m) - 2( - 3m) - 3，解得m = -1，m = 0(舍1 2
△CDE 2 2 2
去)，
故m的值为-1，点 Q坐标为(4,5)；…………………………（4分）
(3)由(2)可得 P(m,m 2 - 2m - 3)，Q(3 -m,m 2 - 4m ).
∵点 N与点 P纵坐标相同，∴ PN//x轴，
y -y m 2-4m-m 2+2m+3
∴ tan∠QPN = Q P = = -1，…………………………（8分）
x -x 3-m-m
Q P
(4)如图 1所示，∵△ OPQ与△ OMN面积的和等于 PQMN面积的一半，
∴ S + S = S ，
△OPQ △OMN PQMN
设点 O到直线 PQ的距离为h，点 O到直线MN的距离为h ，直线 PQ与MN之间的距离为 h，即
1 2
1 1 1PQ h + MN h = PQ h，
2 1 2 2 2
整理可得 PQ(h + h ) = PQ h，故h + h = h，
1 2 1 2
则当且仅当点 O在直线 PQ和直线MN之间的区域内(包括在直线 PQ和直线MN上)时，
上述结论成立，由待定系数法可得直线 PQ的表达式为 y = x + m 2 - 3m - 3，同理可得直线MN的
表达式为 y = x + m 2 + m - 3，
当直线 PQ过原点时，可得m 2 - 3m - 3 = 0，
3± 21 3- 21
解得m = (舍去正值)，故m = ；
2 2
-1± 13
当直线MN过原点时，可得m 2 + m - 3 = 0，解得m = (舍去正值)，
2
-1- 13 -1- 13 3- 21
故m = ，综上，m的取值范围为 ≤ m ≤ .………………………………（10分）
2 2 2

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