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贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县停洞中学2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2025·从江模拟）冰箱冷藏室的温度显示为零上，记作，冷冻室的温度显示为零下，应记作（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作，
故选：A．
【分析】根据正负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
2．（2025·从江模拟）下列图案是央视《2025年春节联欢晚会》主标识及相关纹样，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不项符合题意；
故答案为：A．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。；轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
3．（2025·从江模拟）2024年12月29日，动车组样车在北京正式发布，它的运营时速可达400公里，是全球运营时速最快的高铁列车，400这个数用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答．
4．（2025·从江模拟）如图是我国陆地地形分布统计图，下列说法中错误的是（　　）
A．我国陆地地形分为5类，其中山地面积最大
B．统计图中“高原”所占扇形的圆心角度数为
C．平原面积和丘陵面积相差约2万平方千米
D．丘陵和盆地的总面积占我国陆地总面积的
【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：A、我国陆地地形分为5类，其中山地面积最大，说法正确，故A不符合题意；
B、统计图中“高原”所占扇形的圆心角度数为，说法正确，故B不符合题意；
C、由扇形统计图无法得出平原面积和丘陵面积相差约2万平方千米，说法错误，故C符合题意；
D、丘陵和盆地的总面积占我国陆地总面积的，说法正确，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据扇形的百分比中山地的百分比最大，因而山地的面积最大，可判断A；根据“高原”所占扇形的圆心角=360百分比26%，计算可判断B；根据扇形统计图只能得出平原面积和丘陵面积百分比的差异，不能得出具体的差值，可判断C；根据扇形统计图计算丘陵和盆地的总面积占我国陆地总面积可判断D，逐一判断即可解答．
5．（2025·从江模拟）若不等式组有解，的位置如图所示，则表示的点可能为（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；有理数在数轴上的表示；一元一次不等式组的含参问题；数形结合
【解析】【解答】解：∵不等式组有解，
∴，
∴表示的点可能为点D．
故答案为：D．
【分析】
根据不等式组有解：可得，判断即可解答．
6．（2025·从江模拟）假期小星乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，相邻两个圆之间距离是（最小圆半径是）．若小艇，相对于游船的位置可分别表示为，，则小艇的位置可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：图中小艇的位置，正确的是小艇，
故答案为：D．
【分析】
根据小艇，相对于游船的位置可分别表示为，可得小艇在第二圈则纵坐标为2，逆时针旋转的角度为横坐标，由此写出的位置解答即可．
7．（2025·从江模拟）抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则下列选项中的说法正确的是（　　）
①全是正面；②一正一反；③全是反面．
A．事件①发生的可能性最大 B．事件②发生的可能性最大
C．事件③发生的可能性最大 D．事件①②③发生的可能性相等
【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，
∴全是正面的可能性：，
一正一反的可能性：，
全是反面可能性：，
∴“一正一反”发生的可能性大．
故选：B．
【分析】本题考查随机事件发生可能性的大小比较，核心是通过列举所有等可能结果来计算各事件的概率。先思考抛掷两枚均匀硬币的所有可能结果，由于硬币质地均匀，每一种结果出现的概率相等，可列出“正正”“正反”“反正”“反反”四种等可能情况；接着分别统计三个事件对应的结果数量：“全是正面”对应1种结果，“一正一反”对应2种结果，“全是反面”对应1种结果；再用各事件的结果数量除以总结果数，得到各自的可能性分别为1/4、1/2、1/4，最后通过比较这些可能性大小，得出“一正一反”发生可能性最大的结论。
8．（2025·从江模拟）《九章算术》中记载了这样一道题，大意为：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．问：合伙人数、物品的价格分别是多少？如果设合伙人数为，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：A．
【分析】
设合伙人数为， 根据题意若每人出8钱，则会多出3钱则物品的价格为8x-3；根据每人出7钱，则还少4钱则物品的价格为7x+4，根据物品价格相等列方程，解答即可．
9．（2025·从江模拟）如图，菱形中，，，点在延长线上，，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：连接交于点H，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，点E在的延长线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】连接交于点H，根据四边形是菱形，，，可得，，，由勾股定理求得，由，得，则，推出，利用三角函数的定义，即可求解．
10．（2025·从江模拟）已知一次函数的图象经过.若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过
∵
∴当 时，1＞a
即一次函数，y随x的增大而减小
故k＜0
一次函数的图象与x轴交于负半轴
故一次函数图象经过二、三、四象限
∴b＜0
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图象及性质，利用数形结合思想即可作答.
11．（2025·从江模拟）如图为一个竖直悬挂的圆形时钟，3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，如图①.3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，如图②，则时钟的半径为（　　）
A．10厘米 B．13厘米 C．15厘米 D．厘米
【答案】B
【知识点】解一元一次方程；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题；列一元一次方程；钟面角
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，由题意得：，
∴厘米，
∵钟面显示为3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，
∴半径为厘米，
∵当钟面显示为3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，
∴半径为厘米，
∴，解得，
∴半径为（厘米）．
故答案为：B．
【分析】
连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，利用角度的和差表示出，再根据角的性质得到，在两个图中分别表示出半径，根据半径相等，列出方程计算即可解答．
12．（2025·从江模拟）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示．
学生 A B C D E F
头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75
将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解∶由题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图∶
设抛物线解析式为，
由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为．
．
．
抛物线的函数表达式为．
将代入，得．
求出或．
此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶．
即，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧．
故答案为∶C
【分析】
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，再设抛物线解析式为，根据待定系数法求函数解析式把点，，代入计算可得a，b，c的值，再写出函数表达式为，将代入函数表达式求出或，由此可得此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧，则，判断即可解答．
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2025·从江模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式分解因式即可。
14．（2025·从江模拟）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；
②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点；
③过点作射线，若．
则　 　．（用含的代数式表示）．
【答案】
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：由作图可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
观察尺规作图属于到作一个角等于已知角得，从而得到，根据平角的定义得，求出即可求解．
15．（2025·从江模拟）若是方程的根，则的值为　 　．
【答案】2026
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2026．
【分析】
根据一元二次方程解的定义：将代入方程求出，再整体代值计算即可解答．
16．（2025·从江模拟）如图，在矩形中，，为边上一点，平分交于点，且，则的周长为　 　．
【答案】16
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴的周长为
．
故答案为：16．
【分析】
过点作交于点，根据角平分线的定义得到， 再结合已知条件利用ASA证明，根据全等三角形的性质得到，，再利用AAS证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的周长公式得到的周长为，计算即可解答．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·从江模拟）（1）在①，②，③中任选2个方程组成方程组，并解这个方程组；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）选①②得
由，得，
把代入①，得，解得；
∴原方程组的解是；
选①③得
将②代入①，得，解得，
把代入②得，
∴原方程组的解是；
选②③得
将②代入①，得，解得，
把代入②得，
∴原方程组的解是；
（2）原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）任意两两组上成方程组，根据加减消元法或代入消元法解二元一次方程组，计算即可解答；
（2）根据分式的混合运算：先通分算括号里的减法，再算除法，因式分解后约分化简即可得然后代入求值，解答即可．
18．（2025·从江模拟）当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作次，测试成绩（百分制）如下：
分析数据，得到下列表格．
平均数 中位数 众数 方差
机器人
人工
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______．
（2）根据表格中的数据，计算机器人操作次的方差？
（3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点．（写一条即可）
【答案】（1），
（2）解：根据题意得：机器人的方差

（3）解：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由题意得：机器人的中位数，
人工的众数，
故答案为：，；
【分析】（1）中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数值．
（2）根据方差的计算公式即可求解；
（3）结合方差和平均数的统计意义即可求解．
（1）解：由题意得：机器人的中位数，
人工的众数，
故答案为：，
（2）解：根据题意得：机器人的方差
（3）解：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定
19．（2025·从江模拟）如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，连接，，若，求证：．为了解决这个问题，两位同学分别给出了自己的方案：
（1）请你选择一位同学的方案，并进行证明；
（2）连接，，，，若．求四边形的面积．
【答案】（1）解：选小星的方案：
证明：如图①，过点作交于点，过点作分别交，，于点，，，设交于点，
四边形是正方形，
，，，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
选小红的方案：
证明：如图②，过点作交于点，过点作交于点，
四边形、四边形是矩形，
，，，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
；
（2）解：如图③，设交于点，
由（1）知，
又，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）选小星的方案：过点作交于点，过点作分别交，，于点，，，设交于点，根据正方形的性质得到，，，，从而判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到，，根据垂线的定义得到，再计算角度利用ASA证明，根据全等三角形的性质即可解答；
选小红的方案：过点作交于点，过点作交于点，根据矩形的判定得到四边形、四边形是矩形，再根据矩形的性质得到，，根据正方形的性质，得到，根据等角的余角相等得到，，再由，，得到，再利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）设交于点，根据（1）中结论，结合，再利用三角形的面积公式计算即可解答．
（1）解：选小星的方案：
证明：如图①，过点作交于点，过点作分别交，，于点，，，设交于点，
四边形是正方形，
，，，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
选小红的方案：
证明：如图②，过点作交于点，过点作交于点，
四边形、四边形是矩形，
，，，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
；
（2）解：如图③，设交于点，
由（1）知，
又，
，
，
．
20．（2025·从江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：过点作轴于点，
对于一次函数，
当时，，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
当时，，
∴，
将点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，解得或，
经检验，或都是原分式方程的根，
当时，，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
经检验，得或都是原分式方程的根，
∵点在直线下方的反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解分式方程；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）过点作轴于，令，得可表示出OC，再根据的面积为1，计算得出的长，即可得出点的坐标，再利用待定系数法求出k得值，解答即可；
（2）联立一次函数与反比例函数的解析式解得或，可得B的坐标，设，表示出，根据两点之间的距离公式表示出PD，PE，根据，建立方程计算可得或，再根据反比例函数图象上点的特征得到P的坐标，解答即可．
（1）解：过点作轴于点，
对于一次函数，
当时，，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
当时，，
∴，
将点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，解得或，
经检验，或都是原分式方程的根，
当时，，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
经检验，得或都是原分式方程的根，
∵点在直线下方的反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（2025·从江模拟）当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．“买新能源车到底划不划算？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，信息如表所示：
燃油车 新能源车
油箱容积50升 电池容量80千瓦时
油价8元/升 电价0.6元/千瓦时
续航里程千米 续航里程千米
据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元．
（1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少元？
（2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【答案】（1）解：依题意，得，
解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
．
答：燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元．
（2）解：设每年行驶的里程为m千米．
依题意，得，
解得．
答：当每年的行驶里程超过千米时，新能源车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）理解题意，根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元可列出分式方程，求解即可；
（2）设每年行驶的里程为m千米，根据题意列出一元一次不等式，求解即可．
（1）依题意，得，
解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
．
答：燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元．
（2）设每年行驶的里程为m千米．
依题意，得，
解得．
答：当每年的行驶里程超过千米时，新能源车的年费用更低．
22．（2025·从江模拟）舞狮文化源远流长，高台舞狮系仡佬族的一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①）．在舞狮表演中，高台，，垂直于地面，且，，在同一水平线上（如图②）．如果在台顶处测得台顶和台顶的仰角分别为和，且台与台的高度差为1米，两台的距离为2米．
（1）舞狮人从台顶跳跃到台顶，随后再跳跃至台顶，求的度数；
（2）求高台与高台的距离．（结果精确到米）
（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）解：如解图，过点作交于点，交于点，
由题意得，，
；
（2）解：，，，，，
四边形、是矩形，
，米，，
设米，则米，
在中，（米），
在中，（米），
，解得，
（米）．
答：高台与高台的距离约为米．
【知识点】解一元一次方程；三角形内角和定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）过点作交于点，交于点，由题意得到，，根据平角的定义计算角度可得即可得到的度数，解答即可；
（2）根据已知条件判定得到四边形、是矩形，再根据矩形的性质得到米，，设米，表示出米，再根据正切的定义解直角三角形得到CM，CN，再计算线段的和差，解答即可.
（1）解：如解图，过点作交于点，交于点，
由题意得，，设米，则米，解直角三角形即可得到答案．
；
（2）解：，，，，，
四边形、是矩形，
，米，，
设米，则米，
在中，（米），
在中，（米），
，解得，
（米）．
答：高台与高台的距离约为米．
23．（2025·从江模拟）某学校开设劳动课程，学生加工制作了某种零件，零件的截面如图所示．直线、都与相切，切点分别为、，，四边形为矩形，，，，到直线和直线的距离均为．
（1）求；
（2）求；
（3）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵到直线和直线的距离均为．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
（2）解：过点作，于点，连接，设交于点，
依题意，
∵是的切线，
∴，
∵是的切线，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
设的半径为，则，
，
又∵
∴
解得：，即
（3）解：图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积，
∵，则，
∴
．
【知识点】矩形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；正切的概念；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据矩形的的性质得到，，，由此推导得出是等腰直角三角形，再根据平行线的性质内错角相等可得，解答即可；
（2）过点作，于点，连接，设交于点，根据切线的性质得到，，由此可判断是等腰直角三角形，设的半径为，表示出IN，PN，ID，再根据列方程计算得出的值，从而可得BO的值，解答即可；
（3）根据图中阴影部分面积=扇形+直角的面积，再根据面积公式计算即可求解．
（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵到直线和直线的距离均为．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
（2）过点作，于点，连接，设交于点，
依题意，
∵是的切线，
∴，
∵是的切线，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵∵，，
设的半径为，则，
，
又∵
∴
解得：，即
（3）解：图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积，
∵，则，
∴
．
24．（2025·从江模拟）问题：将直线关于轴对称所得的直线记为，求的函数解析式．
解决办法：
①设点是直线上的点；
②点关于轴的对称点为；
③点在直线上，把点代入，得，则，∴直线的函数解析式为．
（1）结合上述解决方法，若的函数图象与函数的图象关于轴对称，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，当时，的最小值为1，求的值；
（3）在（1）的条件下，当时，直线与的函数图象有2个交点，求的取值范围．
【答案】（1）解：设在的函数图象上，则点关于轴对称的点在的图象上，把点代入中，得，则，
∴函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴函数图象的对称轴为直线，的最小值为，
∵当时，的最小值为1，
∴或，
①当时，在处取得最小值1，
∴，解得或，
∵，
∴；
②当，即时，在处取得最小值1，
∴，解得或，
∵，
∴．
综上所述，的值为或；
（3）解：当时，直线与的函数图象有2个交点；
令，整理，得，
令，，
在同一平面直角坐标系内与在的函数图象如解图，
当时，满足与图象有2个交点的的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）设在的函数图象上，则点关于轴对称的点在的图象上，将点代入，化简即可得函数的解析式，解答即可；
（2）将函数的解析式利用配方法转化为顶点式，根据二次函数的性质可得函数图象的对称轴为直线，的最小值为；分或，两种情况利用最小值为1解方程计算即可解答；
（3）根据当时，直线与的函数图象有2个交点联立函数解析式得到，整理得，可看成与的交点有2个，观察图形写出的范围即可解答．
（1）解：设在的函数图象上，则点关于轴对称的点在的图象上，
把点代入中，得，则，
∴函数的解析式为；
（2）∵，
∴函数图象的对称轴为直线，的最小值为，
∵当时，的最小值为1，
∴或，
①当时，在处取得最小值1，
∴，解得或，
∵，
∴；
②当，即时，在处取得最小值1，
∴，解得或，
∵，
∴．
综上所述，的值为或；
（3）当时，直线与的函数图象有2个交点；
令，整理，得，
令，，
在同一平面直角坐标系内与在的函数图象如解图，
当时，满足与图象有2个交点的的取值范围是．
25．（2025·从江模拟）综合与探究：在数学活动课上，老师给出如下问题：
【问题发现】
如图①，中，，，点在上，连接，探究，，之间的数量关系．小红思考片刻后，给出了解题思路：如图②，以为边作，使得，，连接，易证，得到，，在中，易得，由，进一步可以得到，，之间的数量关系．
（1）请根据小红的思路，直接写出，，之间的数量关系________；
【类比探究】
（2）如图③，当点在的延长线上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若点在射线上，且，，求的长．
【答案】解：（1）；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如解图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，
∵，，
∴，
由旋转性质可知，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）当点在线段上时，
∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴（负值已舍去）；
当点在延长线上时，如解图②，将线段顺时针旋转得到线段，连接，，
∵，，
∴，
由旋转性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴（负值已舍去）．
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（1）；
证明：如题图②，∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：；
【分析】
（1）根据同角的余角的余角相等得出，再利用SAS证明，得出，，根据全等三角形的性质得出，，从而得出，计算角度得，利用勾股定理得出，代换等线段得出，由此可得，解答即可．
（2）如解图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，根据等腰直角三角形的性质得出，由旋转性质得到，，由勾股定理得出，再利用SAS证明，根据全等三角形的性质得出得出，，计算角度得，在中由勾股定理得出，即可证明，解答即可．
（3）分两种情况讨论：当点在线段上时，计算得到CD，再用 （1） 中的结论计算得到 ；当点在延长线上时，类比（2）的方法得到，再计算可得 ，解答即可．
1 / 1贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县停洞中学2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分．每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂）
1．（2025·从江模拟）冰箱冷藏室的温度显示为零上，记作，冷冻室的温度显示为零下，应记作（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·从江模拟）下列图案是央视《2025年春节联欢晚会》主标识及相关纹样，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·从江模拟）2024年12月29日，动车组样车在北京正式发布，它的运营时速可达400公里，是全球运营时速最快的高铁列车，400这个数用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·从江模拟）如图是我国陆地地形分布统计图，下列说法中错误的是（　　）
A．我国陆地地形分为5类，其中山地面积最大
B．统计图中“高原”所占扇形的圆心角度数为
C．平原面积和丘陵面积相差约2万平方千米
D．丘陵和盆地的总面积占我国陆地总面积的
5．（2025·从江模拟）若不等式组有解，的位置如图所示，则表示的点可能为（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．（2025·从江模拟）假期小星乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，相邻两个圆之间距离是（最小圆半径是）．若小艇，相对于游船的位置可分别表示为，，则小艇的位置可表示为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·从江模拟）抛掷两枚均匀硬币，硬币落地后，朝上一面的情况如下，则下列选项中的说法正确的是（　　）
①全是正面；②一正一反；③全是反面．
A．事件①发生的可能性最大 B．事件②发生的可能性最大
C．事件③发生的可能性最大 D．事件①②③发生的可能性相等
8．（2025·从江模拟）《九章算术》中记载了这样一道题，大意为：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱．问：合伙人数、物品的价格分别是多少？如果设合伙人数为，则下列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·从江模拟）如图，菱形中，，，点在延长线上，，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
10．（2025·从江模拟）已知一次函数的图象经过.若，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·从江模拟）如图为一个竖直悬挂的圆形时钟，3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，如图①.3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，如图②，则时钟的半径为（　　）
A．10厘米 B．13厘米 C．15厘米 D．厘米
12．（2025·从江模拟）一个8人小组参加集体跳长绳比赛，其中2人负责摇绳．站立的位置相距，剩余6人跳绳，他们都站在同一直线上．如图所示，当绳子摇到最高处时，绳子的形状近似于一条抛物线，摇绳的手距离地面都是，绳子的最高点距离地面．根据平时训练的情况，当绳子摇到最高处时，这6名学生头顶离地高度（单位：m）的范围如表所示．
学生 A B C D E F
头顶离地高度的范围 1.51～1.72 1.36～1.64 1.68～1.84 1.56～1.75 1.36～1.64 1.56～1.75
将此次比赛中这6名学生站立的队列长度记为（单位：m），若比赛中绳子都不会碰到他们的头顶，根据表一的数据可求的范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分）
13．（2025·从江模拟）因式分解：　 　．
14．（2025·从江模拟）如图，点是直线上的一点，过点作射线，按下列步骤作图：
①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；
②以点为圆心，以的长为半径作弧，交前面的弧于点；
③过点作射线，若．
则　 　．（用含的代数式表示）．
15．（2025·从江模拟）若是方程的根，则的值为　 　．
16．（2025·从江模拟）如图，在矩形中，，为边上一点，平分交于点，且，则的周长为　 　．
三、解答题（本大题共9题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·从江模拟）（1）在①，②，③中任选2个方程组成方程组，并解这个方程组；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2025·从江模拟）当前各国都高度重视人工智能并视其为提升国家竞争力的重要力量，随着人工智能与各个垂直领域的不断深入融合，普通公民也越来越需要具备人工智能的基本知识和应用能力，人工智能逐步成为中小学重要教学内容之一，某同学设计了一款机器人，为了了解它的操作技能情况，对同一设计动作与人工进行了比赛，机器人和人工各操作次，测试成绩（百分制）如下：
分析数据，得到下列表格．
平均数 中位数 众数 方差
机器人
人工
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：______，______．
（2）根据表格中的数据，计算机器人操作次的方差？
（3）根据以上数据分析，请你写出机器人在操作技能方面的优点．（写一条即可）
19．（2025·从江模拟）如图，在正方形中，点，，，分别在边，，，上，连接，，若，求证：．为了解决这个问题，两位同学分别给出了自己的方案：
（1）请你选择一位同学的方案，并进行证明；
（2）连接，，，，若．求四边形的面积．
20．（2025·从江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，连接，的面积为1．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点作轴交直线于点，作轴于点，若，求点的坐标．
21．（2025·从江模拟）当前随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．“买新能源车到底划不划算？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，信息如表所示：
燃油车 新能源车
油箱容积50升 电池容量80千瓦时
油价8元/升 电价0.6元/千瓦时
续航里程千米 续航里程千米
据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元．
（1）这两款车每千米的行驶费用分别为多少元？
（2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
22．（2025·从江模拟）舞狮文化源远流长，高台舞狮系仡佬族的一项集体育与艺术于一体的竞技活动，也被广泛应用于各种庆典活动，成为传承中国传统文化的重要载体（如图①）．在舞狮表演中，高台，，垂直于地面，且，，在同一水平线上（如图②）．如果在台顶处测得台顶和台顶的仰角分别为和，且台与台的高度差为1米，两台的距离为2米．
（1）舞狮人从台顶跳跃到台顶，随后再跳跃至台顶，求的度数；
（2）求高台与高台的距离．（结果精确到米）
（参考数据：，，，，，）
23．（2025·从江模拟）某学校开设劳动课程，学生加工制作了某种零件，零件的截面如图所示．直线、都与相切，切点分别为、，，四边形为矩形，，，，到直线和直线的距离均为．
（1）求；
（2）求；
（3）求图中阴影部分的面积．
24．（2025·从江模拟）问题：将直线关于轴对称所得的直线记为，求的函数解析式．
解决办法：
①设点是直线上的点；
②点关于轴的对称点为；
③点在直线上，把点代入，得，则，∴直线的函数解析式为．
（1）结合上述解决方法，若的函数图象与函数的图象关于轴对称，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，当时，的最小值为1，求的值；
（3）在（1）的条件下，当时，直线与的函数图象有2个交点，求的取值范围．
25．（2025·从江模拟）综合与探究：在数学活动课上，老师给出如下问题：
【问题发现】
如图①，中，，，点在上，连接，探究，，之间的数量关系．小红思考片刻后，给出了解题思路：如图②，以为边作，使得，，连接，易证，得到，，在中，易得，由，进一步可以得到，，之间的数量关系．
（1）请根据小红的思路，直接写出，，之间的数量关系________；
【类比探究】
（2）如图③，当点在的延长线上，连接，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）若点在射线上，且，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：冰箱冷藏室的温度零上，记作，冷冻室的温度零下，应记作，
故选：A．
【分析】根据正负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不项符合题意；
故答案为：A．
【分析】
根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。；轴对称图形的定义：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；逐一判断即可解答.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：B．
【分析】
根据科学记数法，将一个大于10数据表示成为ax10n的形式，其中1≤a<10，n为正整数，n比原位数少1，计算即可解答．
4．【答案】C
【知识点】扇形统计图
【解析】【解答】解：A、我国陆地地形分为5类，其中山地面积最大，说法正确，故A不符合题意；
B、统计图中“高原”所占扇形的圆心角度数为，说法正确，故B不符合题意；
C、由扇形统计图无法得出平原面积和丘陵面积相差约2万平方千米，说法错误，故C符合题意；
D、丘陵和盆地的总面积占我国陆地总面积的，说法正确，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据扇形的百分比中山地的百分比最大，因而山地的面积最大，可判断A；根据“高原”所占扇形的圆心角=360百分比26%，计算可判断B；根据扇形统计图只能得出平原面积和丘陵面积百分比的差异，不能得出具体的差值，可判断C；根据扇形统计图计算丘陵和盆地的总面积占我国陆地总面积可判断D，逐一判断即可解答．
5．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组；有理数在数轴上的表示；一元一次不等式组的含参问题；数形结合
【解析】【解答】解：∵不等式组有解，
∴，
∴表示的点可能为点D．
故答案为：D．
【分析】
根据不等式组有解：可得，判断即可解答．
6．【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：图中小艇的位置，正确的是小艇，
故答案为：D．
【分析】
根据小艇，相对于游船的位置可分别表示为，可得小艇在第二圈则纵坐标为2，逆时针旋转的角度为横坐标，由此写出的位置解答即可．
7．【答案】B
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：抛掷两枚均匀的硬币，可能的结果为：正正，正反，反正，反反，
∴全是正面的可能性：，
一正一反的可能性：，
全是反面可能性：，
∴“一正一反”发生的可能性大．
故选：B．
【分析】本题考查随机事件发生可能性的大小比较，核心是通过列举所有等可能结果来计算各事件的概率。先思考抛掷两枚均匀硬币的所有可能结果，由于硬币质地均匀，每一种结果出现的概率相等，可列出“正正”“正反”“反正”“反反”四种等可能情况；接着分别统计三个事件对应的结果数量：“全是正面”对应1种结果，“一正一反”对应2种结果，“全是反面”对应1种结果；再用各事件的结果数量除以总结果数，得到各自的可能性分别为1/4、1/2、1/4，最后通过比较这些可能性大小，得出“一正一反”发生可能性最大的结论。
8．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得：，
故答案为：A．
【分析】
设合伙人数为， 根据题意若每人出8钱，则会多出3钱则物品的价格为8x-3；根据每人出7钱，则还少4钱则物品的价格为7x+4，根据物品价格相等列方程，解答即可．
9．【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：连接交于点H，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵垂直平分，点E在的延长线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】连接交于点H，根据四边形是菱形，，，可得，，，由勾股定理求得，由，得，则，推出，利用三角函数的定义，即可求解．
10．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数的图象经过
∵
∴当 时，1＞a
即一次函数，y随x的增大而减小
故k＜0
一次函数的图象与x轴交于负半轴
故一次函数图象经过二、三、四象限
∴b＜0
故答案为：B.
【分析】根据一次函数图象及性质，利用数形结合思想即可作答.
11．【答案】B
【知识点】解一元一次方程；含30°角的直角三角形；一元一次方程的实际应用-几何问题；列一元一次方程；钟面角
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，由题意得：，
∴厘米，
∵钟面显示为3点50分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为18厘米，
∴半径为厘米，
∵当钟面显示为3点30分时，分针尖端点与时钟最低点之间的竖直距离为3厘米，
∴半径为厘米，
∴，解得，
∴半径为（厘米）．
故答案为：B．
【分析】
连接，过点作，过点作，两线交于点，设厘米，利用角度的和差表示出，再根据角的性质得到，在两个图中分别表示出半径，根据半径相等，列出方程计算即可解答．
12．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解∶由题意，以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图∶
设抛物线解析式为，
由已知可得，在抛物线上，且抛物线顶点为．
．
．
抛物线的函数表达式为．
将代入，得．
求出或．
此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶．
即，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧．
故答案为∶C
【分析】
以左边摇绳人与地面的交点为原点，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系，再设抛物线解析式为，根据待定系数法求函数解析式把点，，代入计算可得a，b，c的值，再写出函数表达式为，将代入函数表达式求出或，由此可得此次比赛中这6名学生站立的队列长度为∶，即此时B、E两位学生分别站在队列两侧，则，判断即可解答．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】利用完全平方公式分解因式即可。
14．【答案】
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；角平分线的概念；补角
【解析】【解答】解：由作图可知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
观察尺规作图属于到作一个角等于已知角得，从而得到，根据平角的定义得，求出即可求解．
15．【答案】2026
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2026．
【分析】
根据一元二次方程解的定义：将代入方程求出，再整体代值计算即可解答．
16．【答案】16
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点作交于点，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴的周长为
．
故答案为：16．
【分析】
过点作交于点，根据角平分线的定义得到， 再结合已知条件利用ASA证明，根据全等三角形的性质得到，，再利用AAS证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的周长公式得到的周长为，计算即可解答．
17．【答案】解：（1）选①②得
由，得，
把代入①，得，解得；
∴原方程组的解是；
选①③得
将②代入①，得，解得，
把代入②得，
∴原方程组的解是；
选②③得
将②代入①，得，解得，
把代入②得，
∴原方程组的解是；
（2）原式
．
当时，原式．
【知识点】分式的混合运算；分式的化简求值；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
（1）任意两两组上成方程组，根据加减消元法或代入消元法解二元一次方程组，计算即可解答；
（2）根据分式的混合运算：先通分算括号里的减法，再算除法，因式分解后约分化简即可得然后代入求值，解答即可．
18．【答案】（1），
（2）解：根据题意得：机器人的方差

（3）解：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由题意得：机器人的中位数，
人工的众数，
故答案为：，；
【分析】（1）中位数，是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）．众数是一组数据中出现次数最多的数值．
（2）根据方差的计算公式即可求解；
（3）结合方差和平均数的统计意义即可求解．
（1）解：由题意得：机器人的中位数，
人工的众数，
故答案为：，
（2）解：根据题意得：机器人的方差
（3）解：机器人的样本数据的平均数高于人工，方差较小，可以推断其优势在于操作技能水平较高的同时还能保持稳定
19．【答案】（1）解：选小星的方案：
证明：如图①，过点作交于点，过点作分别交，，于点，，，设交于点，
四边形是正方形，
，，，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
选小红的方案：
证明：如图②，过点作交于点，过点作交于点，
四边形、四边形是矩形，
，，，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
；
（2）解：如图③，设交于点，
由（1）知，
又，
，
，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）选小星的方案：过点作交于点，过点作分别交，，于点，，，设交于点，根据正方形的性质得到，，，，从而判断四边形和四边形都是平行四边形，再根据平行四边形的性质得到，，根据垂线的定义得到，再计算角度利用ASA证明，根据全等三角形的性质即可解答；
选小红的方案：过点作交于点，过点作交于点，根据矩形的判定得到四边形、四边形是矩形，再根据矩形的性质得到，，根据正方形的性质，得到，根据等角的余角相等得到，，再由，，得到，再利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）设交于点，根据（1）中结论，结合，再利用三角形的面积公式计算即可解答．
（1）解：选小星的方案：
证明：如图①，过点作交于点，过点作分别交，，于点，，，设交于点，
四边形是正方形，
，，，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
选小红的方案：
证明：如图②，过点作交于点，过点作交于点，
四边形、四边形是矩形，
，，，
，
四边形是正方形，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
；
（2）解：如图③，设交于点，
由（1）知，
又，
，
，
．
20．【答案】（1）解：过点作轴于点，
对于一次函数，
当时，，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
当时，，
∴，
将点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，解得或，
经检验，或都是原分式方程的根，
当时，，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
经检验，得或都是原分式方程的根，
∵点在直线下方的反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】解分式方程；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）过点作轴于，令，得可表示出OC，再根据的面积为1，计算得出的长，即可得出点的坐标，再利用待定系数法求出k得值，解答即可；
（2）联立一次函数与反比例函数的解析式解得或，可得B的坐标，设，表示出，根据两点之间的距离公式表示出PD，PE，根据，建立方程计算可得或，再根据反比例函数图象上点的特征得到P的坐标，解答即可．
（1）解：过点作轴于点，
对于一次函数，
当时，，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
当时，，
∴，
将点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：当时，解得或，
经检验，或都是原分式方程的根，
当时，，
∴，
设，则，
∴，，
∵，
∴，
解得或，
经检验，得或都是原分式方程的根，
∵点在直线下方的反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：依题意，得，
解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
．
答：燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元．
（2）解：设每年行驶的里程为m千米．
依题意，得，
解得．
答：当每年的行驶里程超过千米时，新能源车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）理解题意，根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元可列出分式方程，求解即可；
（2）设每年行驶的里程为m千米，根据题意列出一元一次不等式，求解即可．
（1）依题意，得，
解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
．
答：燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元．
（2）设每年行驶的里程为m千米．
依题意，得，
解得．
答：当每年的行驶里程超过千米时，新能源车的年费用更低．
22．【答案】（1）解：如解图，过点作交于点，交于点，
由题意得，，
；
（2）解：，，，，，
四边形、是矩形，
，米，，
设米，则米，
在中，（米），
在中，（米），
，解得，
（米）．
答：高台与高台的距离约为米．
【知识点】解一元一次方程；三角形内角和定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）过点作交于点，交于点，由题意得到，，根据平角的定义计算角度可得即可得到的度数，解答即可；
（2）根据已知条件判定得到四边形、是矩形，再根据矩形的性质得到米，，设米，表示出米，再根据正切的定义解直角三角形得到CM，CN，再计算线段的和差，解答即可.
（1）解：如解图，过点作交于点，交于点，
由题意得，，设米，则米，解直角三角形即可得到答案．
；
（2）解：，，，，，
四边形、是矩形，
，米，，
设米，则米，
在中，（米），
在中，（米），
，解得，
（米）．
答：高台与高台的距离约为米．
23．【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵到直线和直线的距离均为．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
（2）解：过点作，于点，连接，设交于点，
依题意，
∵是的切线，
∴，
∵是的切线，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
设的半径为，则，
，
又∵
∴
解得：，即
（3）解：图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积，
∵，则，
∴
．
【知识点】矩形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；正切的概念；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点作于点，根据矩形的的性质得到，，，由此推导得出是等腰直角三角形，再根据平行线的性质内错角相等可得，解答即可；
（2）过点作，于点，连接，设交于点，根据切线的性质得到，，由此可判断是等腰直角三角形，设的半径为，表示出IN，PN，ID，再根据列方程计算得出的值，从而可得BO的值，解答即可；
（3）根据图中阴影部分面积=扇形+直角的面积，再根据面积公式计算即可求解．
（1）解：如图所示，过点作于点，
∵，四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵到直线和直线的距离均为．
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴
（2）过点作，于点，连接，设交于点，
依题意，
∵是的切线，
∴，
∵是的切线，
∴
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∵∵，，
设的半径为，则，
，
又∵
∴
解得：，即
（3）解：图中阴影部分面积分为扇形和直角的面积，
∵，则，
∴
．
24．【答案】（1）解：设在的函数图象上，则点关于轴对称的点在的图象上，把点代入中，得，则，
∴函数的解析式为；
（2）解：∵，
∴函数图象的对称轴为直线，的最小值为，
∵当时，的最小值为1，
∴或，
①当时，在处取得最小值1，
∴，解得或，
∵，
∴；
②当，即时，在处取得最小值1，
∴，解得或，
∵，
∴．
综上所述，的值为或；
（3）解：当时，直线与的函数图象有2个交点；
令，整理，得，
令，，
在同一平面直角坐标系内与在的函数图象如解图，
当时，满足与图象有2个交点的的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】
（1）设在的函数图象上，则点关于轴对称的点在的图象上，将点代入，化简即可得函数的解析式，解答即可；
（2）将函数的解析式利用配方法转化为顶点式，根据二次函数的性质可得函数图象的对称轴为直线，的最小值为；分或，两种情况利用最小值为1解方程计算即可解答；
（3）根据当时，直线与的函数图象有2个交点联立函数解析式得到，整理得，可看成与的交点有2个，观察图形写出的范围即可解答．
（1）解：设在的函数图象上，则点关于轴对称的点在的图象上，
把点代入中，得，则，
∴函数的解析式为；
（2）∵，
∴函数图象的对称轴为直线，的最小值为，
∵当时，的最小值为1，
∴或，
①当时，在处取得最小值1，
∴，解得或，
∵，
∴；
②当，即时，在处取得最小值1，
∴，解得或，
∵，
∴．
综上所述，的值为或；
（3）当时，直线与的函数图象有2个交点；
令，整理，得，
令，，
在同一平面直角坐标系内与在的函数图象如解图，
当时，满足与图象有2个交点的的取值范围是．
25．【答案】解：（1）；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如解图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，
∵，，
∴，
由旋转性质可知，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
（3）当点在线段上时，
∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴（负值已舍去）；
当点在延长线上时，如解图②，将线段顺时针旋转得到线段，连接，，
∵，，
∴，
由旋转性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴（负值已舍去）．
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；旋转全等模型
【解析】【解答】解：（1）；
证明：如题图②，∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：；
【分析】
（1）根据同角的余角的余角相等得出，再利用SAS证明，得出，，根据全等三角形的性质得出，，从而得出，计算角度得，利用勾股定理得出，代换等线段得出，由此可得，解答即可．
（2）如解图①，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，根据等腰直角三角形的性质得出，由旋转性质得到，，由勾股定理得出，再利用SAS证明，根据全等三角形的性质得出得出，，计算角度得，在中由勾股定理得出，即可证明，解答即可．
（3）分两种情况讨论：当点在线段上时，计算得到CD，再用 （1） 中的结论计算得到 ；当点在延长线上时，类比（2）的方法得到，再计算可得 ，解答即可．
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