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广西壮族自治区北海市合浦县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025八下·合浦期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·合浦期中）下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　）
A．4、5、6 B．5，12，23 C．6，8，11 D．1，1，
3．（2025八下·合浦期中）一个正多边形每个外角都是30°，则这个多边形边数为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．（2025八下·合浦期中）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
5．（2025八下·合浦期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
6．（2025八下·合浦期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝8cm，则OH的长为（　　）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
7．（2025八下·合浦期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·合浦期中）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（　　）
A．22.5° B．45° C．67.5° D．75°
9．（2025八下·合浦期中）如图，中，对角线和交于O，若，，则长的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八下·合浦期中）如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm
11．（2025八下·合浦期中）如图，点是中一点，于点A，于点，连接，，，则度数是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025八下·合浦期中）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（2025八下·合浦期中）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
14．（2025八下·合浦期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是　 　．
15．（2025八下·合浦期中）如图，在矩形中，，．将该矩形沿对角线折叠，则图中阴影部分面积是　 　．
16．（2025八下·合浦期中）如图，在菱形ABCD中，，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若，则的最小值是　 　．
三、解答题（第17题8分，第18-21题每题10分，第22、23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·合浦期中）如图，已知的顶点A，B，C在格点上，在网格中按下列要求作图：
（1）将绕点C逆时针旋转得到；
（2）作出与关于点O成中心对称的；
（3）的面积为_________．
18．（2025八下·合浦期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
19．（2025八下·合浦期中）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F．
（1）求证：；
（2）若与交于点O，求证：．
20．（2025八下·合浦期中）如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形．
21．（2025八下·合浦期中）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：
（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里；
（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．
22．（2025八下·合浦期中）已知：如图，在四边形中，与不平行，，，，分别是，，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当与满足条件 时，四边形是菱形；
当与满足条件 时，四边形是矩形．
23．（2025八下·合浦期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G.
（1）求BGC的度数；
（2）若CE=1，H为BF的中点时，求HG的长度；
（3）若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，求△BCG的周长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A选项是轴对称图形而不是中心对称图形；
B选项既是轴对称图形也是中心对称图形；
C选项是中心对称图形而不是轴对称图形；
D选项是轴对称图形而不是中心对称图形；
故选：B．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、52+122≠232，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82≠112，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+12=（ ）2，能构成直角三角形，故符合题意．
故选D．
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解答：360°÷30°=12． 故答案为：C．
【分析】一个正多边形的外角和是360°，所以易得边数为360°÷30°=12
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．
【解答】A、两组对边分别平行，可判定该四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、一组对边平行另一组对边相等，不能判定该四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故B符合题意；
C、一组对边平行且相等，可判定该四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、两组对边分别相等，可判定该四边形是平行四边形，故D不符合题意
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
5．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，
∴AO=DO，
∵∠AOD=60°，
∴△OAD是等边三角形．
∴OA=AD=2．
∴AC=2OA=2×2=4．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可证得AO=DO，BD=AC，继而可根据等边三角形的判定定理得△AOD为等边三角形，求得AO的长，继而可得AC长.
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=8cm，AC⊥BD，
∵H为AD边的中点，
∴HO=AD=4cm．
故选：C．
【分析】根据菱形性质可得AD=BC=8cm，AC⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
A、在和中，
，
∴，故选项A不符合题意；
B、由，根据能判定，故选项B不符合题意；
C、由，根据能判定，故选项C不符合题意；
D、由，不能判定，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】
对于一般三角形，若已知两条边对应相等，则可利用SSS或SAS来判定两三角形全等；对于直角三角形，则可利用SAS或HL进行判定．
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=90°=45°，∠ACB=90°=45°，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC=（180°-∠DBC）÷2=67.5°，
∴∠ACP=∠BCP-∠ACB=22.5°，
故选 A.
【分析】根据正方形性质可得∠DBC=45°，∠ACB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BCP，再根据角之间的关系即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，，
，
，
．
故选：A．
【分析】根据平行四边形性质可得 ，，再根据三角形三边关系即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】如图，连接AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD的四边相等，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，S四边形ABCD=AC BD，
∴×24BD=120，解得BD=10cm，
∴OA=12cm，OB=5cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB==13（cm），
∴四边形ABCD的周长=4×13=52（cm），
故选A．
【分析】连接AC、BD相交于点O，根据菱形判定定理可得四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，S四边形ABCD=AC·BD，建立方程，解方程可得OA=12cm，OB=5cm，再根据勾股定理可得AB，再根据菱形周长即可求出答案.
11．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵，
∴在四边形中，
∵，
∴
故选：D．
【分析】根据四边形内角和可得∠APB，再根据三角内定理即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
∴BE=DF．故结论①正确．
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，解得：∠DAF=15°．
故②正确；
∵BC=CD，
∴BC－BE=CD－DF，CE=CF．
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．
故③正确；
设EC=x，由勾股定理，得EF=，CG=，AG=，
∴AC=．
∴AB=．
∴BE=．
∴BE+DF．
故④错误．
∵，，
∴．
故⑤正确．
综上所述，正确的有4个，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质可得，AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．再根据等边三角形的性质可得AE=EF=AF，∠EAF=60°，从而可得∠BAE+∠DAF=30°，再利用HL证明Rt△ABE≌Rt△ADF，从而可得BE=DF，可判断①；
先根据全等三角形的性质可得∠BAE=∠DAF，从而可得∠DAF+∠DAF=30°，求得∠DAF，即可判断
②；
先证明CE=CF，结合AE=AF，可得出AC垂直平分EF，从而可判断③；
设EC=x，先根据勾股定理求得EF=，CG=，AG=，从而可得AC=，AB=，再求得BE=，从而可得出BE+DF，可判断④；先用x分别表示出，，从而可得，可判断⑤．
13．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
14．【答案】9
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，
∴OE=CD，
∵△BCD的周长为18，
∴BD+DC+BC=18，
∴△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9，
故答案为：9．
【分析】根据平行四边性质可得DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，则OE=CD，再根据三角形周长即可求出答案.
15．【答案】10
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：根据折叠得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即，则，
故答案为：10．
【分析】根据折叠性质可得，再根据矩形性质可得，则，根据等角对等边可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=5，再根据三角形面积即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
四边形是菱形，，，
，，，
是等边三角形，，
连接交于点，当点P在位置上时，此时D、P、E三点共线，有最小值，最小值为的长，
点E是边的中点，
，，
由勾股定理得：，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接、，根据菱形性质可得，，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，，连接交于点，当点P在位置上时，此时D、P、E三点共线，有最小值，最小值为的长，根据垂直平分线性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
17．【答案】（1）解：如图所示，为所作图形；
（2）解：如图所示，为所作图形；
（3）2
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（3）解：的面积为．
故答案为：2
【分析】（1）根据旋转性质作图即可.
（2）根据对称性质作出点A，B，C关于点O的对称点，再依次连接即可求出答案.
（3）根据割补法，结合三角形，矩形面积即可求出答案.
（1）解：如图所示，为所作图形；
（2）解：如图所示，为所作图形；
（3）解：的面积为．
18．【答案】解：连接AC，
则由勾股定理得AC==5m，
∴AC2+DC2=，
又∵AD2==169，
∴AC2+DC2=AD2，
∴∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=.
故需要的费用为36×30=1080元．
答：铺满这块空地共需花费1080元．
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC==5m，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，则这块草坪的面积求解即可．
19．【答案】（1）证明：，
，即，
，，
，
，
；
（2）证明：连接，交于点O，
≌，
，
∴，
，
四边形是平行四边形，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由，可得，由题意可得，，再根据可以利用HL判断≌，即可求证；
（2）由题意可得，，得到四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，即可求证．
20．【答案】解：如图，作与H点，
，
∵，，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】作与H点，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，根据角平分线性质可得，，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
21．【答案】解：（1）∵∠PAB=90﹣75=15°，∠PBD=90°﹣60°=30°，
且∠PBD=∠APB+∠PAB，
∴∠APB=∠PBD﹣∠PAB=30°﹣15°=15°，
∴∠PAB=∠APB，
∴BP=AB，
∵AB=7海里，
∴BP=7（海里）.
答：此时轮船与小岛P的距离BP是7海里.
（2）过点P作PD⊥AC，
则∠PDB=90°，
由（1）得：∠PBD=30°，PB=7，
∴PD=PB=3.5＞3.
∴没有危险.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；方位角
【解析】【分析】（1）由方向角求出∠PAB和∠PBD，再根据外角的性质求出∠APB，由等角对等边可得△APB是等腰三角形，结合已知即可求解．
（2）过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求出∠PBD的度数是30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PD=PB，再把PD的长与3海里比较大小即可判断求解．
22．【答案】（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）；．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（2）①∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
当时，，
∴四边形是菱形；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：；．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）①根据三角形中位线定理可得，，再根据菱形判定定理即可求出答案.
②根据直线平行性质可得，，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）①∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
当时，，
∴四边形是菱形；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：；．
23．【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°，
在△BCE和△CDF中，
∵BC=CD，∠BCD=∠CDF，CE=DF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE=∠DCF，
又∵∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠BCG+∠CBE=90°，
∴∠BGC=90°；
（2）如图，∵CE=1，∴DF=1，∴AF=2，
在直角△ABF中，由勾股定理得：，
∵H为BF的中点，∠BGF=90°，
∴；
（3）∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9=6，
∴空白部分的面积为9－6=3，
∵△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，
设BG=a，CG=b，则ab=，∴ab=3，
又∵a2+b2=32，
∴a2+2ab+b2=9+6=15，
即（a+b）2=15，
∴a+b=，即BG+CG=，
∴△BCG的周长=+3.
【知识点】完全平方公式及运用；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得，BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°，利用SAS可以得到△BCE≌△CDF，可得∠CBE=∠DCF，再利用角的等量代换即可求出结果；
（2）由题意可得，DF=1，AF=2，由勾股定理可得，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解；
（3）根据题意可得△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，进一步依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而求出其周长．
1 / 1广西壮族自治区北海市合浦县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025八下·合浦期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知：
A选项是轴对称图形而不是中心对称图形；
B选项既是轴对称图形也是中心对称图形；
C选项是中心对称图形而不是轴对称图形；
D选项是轴对称图形而不是中心对称图形；
故选：B．
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形；将图形沿某一点旋转180°后能够重合的图形为中心对称图形.
2．（2025八下·合浦期中）下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（　　）
A．4、5、6 B．5，12，23 C．6，8，11 D．1，1，
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、52+122≠232，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、62+82≠112，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、12+12=（ ）2，能构成直角三角形，故符合题意．
故选D．
【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
3．（2025八下·合浦期中）一个正多边形每个外角都是30°，则这个多边形边数为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解答：360°÷30°=12． 故答案为：C．
【分析】一个正多边形的外角和是360°，所以易得边数为360°÷30°=12
4．（2025八下·合浦期中）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（）
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行，另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．
【解答】A、两组对边分别平行，可判定该四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、一组对边平行另一组对边相等，不能判定该四边形是平行四边形，也可能是等腰梯形，故B符合题意；
C、一组对边平行且相等，可判定该四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、两组对边分别相等，可判定该四边形是平行四边形，故D不符合题意
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
5．（2025八下·合浦期中）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（　　）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，DO=BO，AO=CO，
∴AO=DO，
∵∠AOD=60°，
∴△OAD是等边三角形．
∴OA=AD=2．
∴AC=2OA=2×2=4．
故答案为：B．
【分析】根据矩形的性质可证得AO=DO，BD=AC，继而可根据等边三角形的判定定理得△AOD为等边三角形，求得AO的长，继而可得AC长.
6．（2025八下·合浦期中）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，H为AD边的中点，BC＝8cm，则OH的长为（　　）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
【答案】C
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC=8cm，AC⊥BD，
∵H为AD边的中点，
∴HO=AD=4cm．
故选：C．
【分析】根据菱形性质可得AD=BC=8cm，AC⊥BD，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
7．（2025八下·合浦期中）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，，
A、在和中，
，
∴，故选项A不符合题意；
B、由，根据能判定，故选项B不符合题意；
C、由，根据能判定，故选项C不符合题意；
D、由，不能判定，故选项D符合题意；
故选：D．
【分析】
对于一般三角形，若已知两条边对应相等，则可利用SSS或SAS来判定两三角形全等；对于直角三角形，则可利用SAS或HL进行判定．
8．（2025八下·合浦期中）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP度数是（　　）
A．22.5° B．45° C．67.5° D．75°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC=90°=45°，∠ACB=90°=45°，
∵BP=BC，
∴∠BCP=∠BPC=（180°-∠DBC）÷2=67.5°，
∴∠ACP=∠BCP-∠ACB=22.5°，
故选 A.
【分析】根据正方形性质可得∠DBC=45°，∠ACB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠BCP，再根据角之间的关系即可求出答案.
9．（2025八下·合浦期中）如图，中，对角线和交于O，若，，则长的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，，，
，
，
．
故选：A．
【分析】根据平行四边形性质可得 ，，再根据三角形三边关系即可求出答案.
10．（2025八下·合浦期中）如图，四边形ABCD的四边相等，且面积为120cm2，对角线AC=24cm，则四边形ABCD的周长为（　　）
A．52cm B．40cm C．39cm D．26cm
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】如图，连接AC、BD相交于点O，
∵四边形ABCD的四边相等，
∴四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，S四边形ABCD=AC BD，
∴×24BD=120，解得BD=10cm，
∴OA=12cm，OB=5cm，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB==13（cm），
∴四边形ABCD的周长=4×13=52（cm），
故选A．
【分析】连接AC、BD相交于点O，根据菱形判定定理可得四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD，S四边形ABCD=AC·BD，建立方程，解方程可得OA=12cm，OB=5cm，再根据勾股定理可得AB，再根据菱形周长即可求出答案.
11．（2025八下·合浦期中）如图，点是中一点，于点A，于点，连接，，，则度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵，
∴在四边形中，
∵，
∴
故选：D．
【分析】根据四边形内角和可得∠APB，再根据三角内定理即可求出答案.
12．（2025八下·合浦期中）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE，其中正确结论有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等边三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
∴BE=DF．故结论①正确．
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，解得：∠DAF=15°．
故②正确；
∵BC=CD，
∴BC－BE=CD－DF，CE=CF．
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．
故③正确；
设EC=x，由勾股定理，得EF=，CG=，AG=，
∴AC=．
∴AB=．
∴BE=．
∴BE+DF．
故④错误．
∵，，
∴．
故⑤正确．
综上所述，正确的有4个，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质可得，AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．再根据等边三角形的性质可得AE=EF=AF，∠EAF=60°，从而可得∠BAE+∠DAF=30°，再利用HL证明Rt△ABE≌Rt△ADF，从而可得BE=DF，可判断①；
先根据全等三角形的性质可得∠BAE=∠DAF，从而可得∠DAF+∠DAF=30°，求得∠DAF，即可判断
②；
先证明CE=CF，结合AE=AF，可得出AC垂直平分EF，从而可判断③；
设EC=x，先根据勾股定理求得EF=，CG=，AG=，从而可得AC=，AB=，再求得BE=，从而可得出BE+DF，可判断④；先用x分别表示出，，从而可得，可判断⑤．
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（2025八下·合浦期中）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
14．（2025八下·合浦期中）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为18，则△DEO的周长是　 　．
【答案】9
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E为AD中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，
∴OE=CD，
∵△BCD的周长为18，
∴BD+DC+BC=18，
∴△DEO的周长是DE+OE+DO=（BC+DC+BD）=×18=9，
故答案为：9．
【分析】根据平行四边性质可得DE=AD=BC，DO=BD，AO=CO，则OE=CD，再根据三角形周长即可求出答案.
15．（2025八下·合浦期中）如图，在矩形中，，．将该矩形沿对角线折叠，则图中阴影部分面积是　 　．
【答案】10
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：根据折叠得：，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
即，则，
故答案为：10．
【分析】根据折叠性质可得，再根据矩形性质可得，则，根据等角对等边可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得x=5，再根据三角形面积即可求出答案.
16．（2025八下·合浦期中）如图，在菱形ABCD中，，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
四边形是菱形，，，
，，，
是等边三角形，，
连接交于点，当点P在位置上时，此时D、P、E三点共线，有最小值，最小值为的长，
点E是边的中点，
，，
由勾股定理得：，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】连接、，根据菱形性质可得，，，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，，连接交于点，当点P在位置上时，此时D、P、E三点共线，有最小值，最小值为的长，根据垂直平分线性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
三、解答题（第17题8分，第18-21题每题10分，第22、23题每题12分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025八下·合浦期中）如图，已知的顶点A，B，C在格点上，在网格中按下列要求作图：
（1）将绕点C逆时针旋转得到；
（2）作出与关于点O成中心对称的；
（3）的面积为_________．
【答案】（1）解：如图所示，为所作图形；
（2）解：如图所示，为所作图形；
（3）2
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法；坐标与图形变化﹣中心对称；作图﹣中心对称
【解析】【解答】（3）解：的面积为．
故答案为：2
【分析】（1）根据旋转性质作图即可.
（2）根据对称性质作出点A，B，C关于点O的对称点，再依次连接即可求出答案.
（3）根据割补法，结合三角形，矩形面积即可求出答案.
（1）解：如图所示，为所作图形；
（2）解：如图所示，为所作图形；
（3）解：的面积为．
18．（2025八下·合浦期中）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
【答案】解：连接AC，
则由勾股定理得AC==5m，
∴AC2+DC2=，
又∵AD2==169，
∴AC2+DC2=AD2，
∴∠ACD=90°．
这块草坪的面积=SRt△ABC+SRt△ACD=.
故需要的费用为36×30=1080元．
答：铺满这块空地共需花费1080元．
【知识点】勾股定理的应用；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC==5m，然后利用勾股定理的逆定理证明△ACD为直角三角形，则这块草坪的面积求解即可．
19．（2025八下·合浦期中）如图，在四边形中，，，，，垂足分别为E，F．
（1）求证：；
（2）若与交于点O，求证：．
【答案】（1）证明：，
，即，
，，
，
，
；
（2）证明：连接，交于点O，
≌，
，
∴，
，
四边形是平行四边形，
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由，可得，由题意可得，，再根据可以利用HL判断≌，即可求证；
（2）由题意可得，，得到四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得，即可求证．
20．（2025八下·合浦期中）如图，在中，两锐角的角平分线，相交于点O，于点F，于点G．求证：四边形是正方形．
【答案】解：如图，作与H点，
，
∵，，
∴．
∵，
∴四边形是矩形．
∵平分，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴四边形是正方形．
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】作与H点，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，根据角平分线性质可得，，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
21．（2025八下·合浦期中）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：
（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里；
（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．
【答案】解：（1）∵∠PAB=90﹣75=15°，∠PBD=90°﹣60°=30°，
且∠PBD=∠APB+∠PAB，
∴∠APB=∠PBD﹣∠PAB=30°﹣15°=15°，
∴∠PAB=∠APB，
∴BP=AB，
∵AB=7海里，
∴BP=7（海里）.
答：此时轮船与小岛P的距离BP是7海里.
（2）过点P作PD⊥AC，
则∠PDB=90°，
由（1）得：∠PBD=30°，PB=7，
∴PD=PB=3.5＞3.
∴没有危险.
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；方位角
【解析】【分析】（1）由方向角求出∠PAB和∠PBD，再根据外角的性质求出∠APB，由等角对等边可得△APB是等腰三角形，结合已知即可求解．
（2）过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求出∠PBD的度数是30°，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PD=PB，再把PD的长与3海里比较大小即可判断求解．
22．（2025八下·合浦期中）已知：如图，在四边形中，与不平行，，，，分别是，，，的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当与满足条件 时，四边形是菱形；
当与满足条件 时，四边形是矩形．
【答案】（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）；．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（2）①∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
当时，，
∴四边形是菱形；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：；．
【分析】（1）根据三角形中位线定理可得，，，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）①根据三角形中位线定理可得，，再根据菱形判定定理即可求出答案.
②根据直线平行性质可得，，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（1）证明：∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
同理，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）①∵，分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，，
当时，，
∴四边形是菱形；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：；．
23．（2025八下·合浦期中）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G.
（1）求BGC的度数；
（2）若CE=1，H为BF的中点时，求HG的长度；
（3）若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，求△BCG的周长.
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°，
在△BCE和△CDF中，
∵BC=CD，∠BCD=∠CDF，CE=DF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE=∠DCF，
又∵∠BCG+∠DCF=90°，
∴∠BCG+∠CBE=90°，
∴∠BGC=90°；
（2）如图，∵CE=1，∴DF=1，∴AF=2，
在直角△ABF中，由勾股定理得：，
∵H为BF的中点，∠BGF=90°，
∴；
（3）∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9=6，
∴空白部分的面积为9－6=3，
∵△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，
设BG=a，CG=b，则ab=，∴ab=3，
又∵a2+b2=32，
∴a2+2ab+b2=9+6=15，
即（a+b）2=15，
∴a+b=，即BG+CG=，
∴△BCG的周长=+3.
【知识点】完全平方公式及运用；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由正方形的性质可得，BC=CD，∠BCD=∠CDF=90°，利用SAS可以得到△BCE≌△CDF，可得∠CBE=∠DCF，再利用角的等量代换即可求出结果；
（2）由题意可得，DF=1，AF=2，由勾股定理可得，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可求解；
（3）根据题意可得△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，进一步依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而求出其周长．
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