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广西“泽桂杯”2024年八年级下学期竞赛数学试卷
一、填空题（共18小题）
1．计算的结果是 　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先利用二次根式的性质化简两个根式，再通过通分进行减法运算.
2．已知，则的最大值为　 　．
【答案】49
【知识点】坐标系中的两点距离公式；线段最值问题
【解析】【解答】解：的最大值就是方程所代表的圆周上的点到坐标原点的距离最大值的平方，连接坐标原点与圆心所得的直线与圆的交点，
则时，取最小，时，取最大，
原点与圆心的距离半径，
．
故答案为：49.
【分析】运用几何意义解答，x2+y2的最大值就是方程(x-3)2+(y-4)2=4所代表的圆周上的点到坐标原点的距离最大值的平方，从而可得出答案.
3．若实数a、b满足，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，，，
，分别是方程的两个实数根，
，，
，
故答案为：．
【分析】由题意可得，分别是方程的两个实数根，根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
4．当时，　 　．
【答案】4
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，
，
故答案为：4．
【分析】本题考查了代数式求值，以及算术平方根的运算，将代入代数式，结合算术平方根的性质，进行逐个计算，即可得到答案.
5．已知实数，，满足，则　 　．
【答案】54
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，，，
解得，，，
经检验，，，是原方程的解，
【分析】先配方得到，根据非负数的性质可求a，b，c，再代入计算即可求解.
6．如图，四边形的对角线，相交于点，，分别为，的中点，连接分别交，于点，，且，若，则　 　．
【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：取线段的中点，连接、，如图所示．
、，分别为，，的中点，
，，，，
，．
又，
．
．
故答案为：9.
【分析】取线段BC的中点E，连接EM、EN，由三角形中位线定理即可得出ME//AC、、NE//BD、，再根据平行线的性质即可得出∠EMN=∠FQP、∠ENM=∠FPQ，结合∠FPQ=∠FQP即可得出∠EMN=∠ENM，从而得出，由即可求出AC的长度.
7．如图，在菱形中，，，为边的中点，为对角线上的一个动点，则线段的最小值为 　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；线段最值问题
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
四边形是菱形，，
，
，
，
当点，点，点三点共线且垂直时，有最小值，
线段的最小值为，
在中，，
线段的最小值为，
故答案为：.
【分析】】过点M作MF⊥BC，垂足为F，根据菱形和含30度的直角三角形的性质可得，从而可得，根据垂线段最短可得线段的最小值为AE，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的值即可解答.
8．已知方程有一根为，则　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：方程有一根为，
，
，
，
故答案为：．
【分析】将x=m代入方程可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
9．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是，则的长是 　 　．
【答案】6cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，如图所示：
点关于的对称点为，关于的对称点为，
，，；
点关于的对称点为，
，，，
，，
，
是等边三角形，
，
周长的最小值是，
，
，
即
故答案为：6cm.
【分析】设点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，故可求解.
10．在今年的体育中考前，甲、乙两名同学练习投掷实心球，每人投10次．平均成绩均为9.8米，方差分别为=0.1，=0.02，则成绩较稳定的是 　 　（填“甲“或“乙” ）．
【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，
，
成绩较稳定的是乙
故答案为：乙.
【分析】方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定；方差越大，数据的波动越大，成绩越不稳定.
11．若，则　 　
【答案】-1或
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当时，根据等比性质可以得到：，
当时，，则；
则或
故答案为：-1或.
【分析】根据等比性质分情况讨论，当a+b+c≠0时，利用等比性质直接求解k；当a+b+c=0时，通过变形求出k的值.
12．如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为　 　（结果不取近似值）
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，交于，如图所示：
菱形的边长为，，
，，，
，
与重合，
，
是等边三角形，
，，，
，
点所走的路径的长为
故答案为：.
【分析】连接AC，交BD于O，再证明△ABC是等边三角形，得出AC=AB，再求出BD，根据弧长公式即可得出结果.
13．如果关于的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有　 　个．
【答案】6
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：，
整数解仅有1，2，
，
，，
解得：，，
，2，3，
，5，
整数，组成的有序数对共有，，，，，即6个，
故答案为：6.
【分析】首先解不等式组，不等式组的解集即可利用a，b表示，根据不等式组的整数解仅为1，2即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解.
14．如图，平分，且于点，若的面积等于10，则的面积等于　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
平分，，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
故答案为：5.
【分析】延长BD交AC于E，如图，证明∠ABE=∠AED得到AB=AE，再根据等腰三角形的性质得到BD=ED，然后根据三角形面积公式即可得到答案.
15．如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则四边形的周长为　 　．
【答案】20
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
又点是中点，
，
四边形是菱形．
，，
，则，，在中利用勾股定理得到：．
解得，则（舍去负值）．
则．
故四边形的周长．
故答案为：20.
【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值.
16．如图，在中，，，垂足分别是，．，交于点，已知，，则　 　．
【答案】5
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
在与中，
，
，
故答案为：5.
【分析】根据ASA证明△AEH≌△CEB全等，进而利用全等三角形的性质即可解答.
17．如图，的边轴，，的延长线过原点，且，反比例函数的图象经过点，若的面积是2，则的值为 　 　．
【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：延长BA交x轴于点D，连接OA，
∵AC平行于x轴，∠BAC=90°，
∴BD⊥x轴，
∴△BAC∽△BDO，
∵BC=2OC
∴
∵Rt△ABC的面积是2，
∴Rt△DBO的面积是，Rt△DAO的面积是
∴
故答案为：3.
【分析】延长BA交x轴于点D，证明△BAC∽△BDO，求得相似比为，利用相似比求得Rt△DBO的面积，利用等高的两个三角形求得Rt△DAO的面积，再利用比例系数k的几何意义求解即可.
18．已知关于的方程有两个负根，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：方程有两个负数根，
它的两根之和为负数，
两根之积为正数，
据此可得，①
且根的判别式，
，②
解这个由①、②组成不等式组得：
故答案为：.
【分析】如果方程有两个负数根，那么它的两根之和为负数，两根之积为正数，且根的判别式，据此可得关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围.
二、选择题（共2小题）
19．如图，在平行四边形中，过对角线上任意一点作，，且，若，则（　　）
A．9 B． C．12 D．18
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得，
四边形是平行四边形，四边形、四边形均为平行四边形，且它们的面积相等，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【分析】根据平行四边形的性质和三角形的面积，可以的求得平行四边形ABCD的面积.
20．如图，在正方形中，对角线、交于点，，交于点，过点作，垂足为，交于点．现给出下列结论：
①；②；③；④若，则．
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
在和中，
，
，故②正确；
，
，，
，
，故③正确；
，，，
，，
，故④正确，
故选：．
【分析】由正方形的性质和角平分线的定义可求∠BCE=∠ACE=22.5°，由余角的性质可求∠CBG=67.5°=∠CGB，可得BC=CG，故①正确；由"ASA"可证△ABG≌△BCE，故②正确；由全等三角形的性质可得BG=CE，由等腰三角形的性质可得，故③正确；由三角形的面积公式可求，故④正确，就可求解.
1 / 1广西“泽桂杯”2024年八年级下学期竞赛数学试卷
一、填空题（共18小题）
1．计算的结果是 　 　．
2．已知，则的最大值为　 　．
3．若实数a、b满足，，则的值是　 　．
4．当时，　 　．
5．已知实数，，满足，则　 　．
6．如图，四边形的对角线，相交于点，，分别为，的中点，连接分别交，于点，，且，若，则　 　．
7．如图，在菱形中，，，为边的中点，为对角线上的一个动点，则线段的最小值为 　 　．
8．已知方程有一根为，则　 　．
9．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是，则的长是 　 　．
10．在今年的体育中考前，甲、乙两名同学练习投掷实心球，每人投10次．平均成绩均为9.8米，方差分别为=0.1，=0.02，则成绩较稳定的是 　 　（填“甲“或“乙” ）．
11．若，则　 　
12．如图，菱形的边长为，，将菱形绕点顺时针旋转，使与重合，则在旋转过程中，点所走的路径的长为　 　（结果不取近似值）
13．如果关于的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有　 　个．
14．如图，平分，且于点，若的面积等于10，则的面积等于　 　．
15．如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则四边形的周长为　 　．
16．如图，在中，，，垂足分别是，．，交于点，已知，，则　 　．
17．如图，的边轴，，的延长线过原点，且，反比例函数的图象经过点，若的面积是2，则的值为 　 　．
18．已知关于的方程有两个负根，则的取值范围是　 　．
二、选择题（共2小题）
19．如图，在平行四边形中，过对角线上任意一点作，，且，若，则（　　）
A．9 B． C．12 D．18
20．如图，在正方形中，对角线、交于点，，交于点，过点作，垂足为，交于点．现给出下列结论：
①；②；③；④若，则．
其中正确的有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先利用二次根式的性质化简两个根式，再通过通分进行减法运算.
2．【答案】49
【知识点】坐标系中的两点距离公式；线段最值问题
【解析】【解答】解：的最大值就是方程所代表的圆周上的点到坐标原点的距离最大值的平方，连接坐标原点与圆心所得的直线与圆的交点，
则时，取最小，时，取最大，
原点与圆心的距离半径，
．
故答案为：49.
【分析】运用几何意义解答，x2+y2的最大值就是方程(x-3)2+(y-4)2=4所代表的圆周上的点到坐标原点的距离最大值的平方，从而可得出答案.
3．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，，，
，分别是方程的两个实数根，
，，
，
故答案为：．
【分析】由题意可得，分别是方程的两个实数根，根据二次方程根与系数的关系可得，，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
4．【答案】4
【知识点】求算术平方根；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当时，
，
故答案为：4．
【分析】本题考查了代数式求值，以及算术平方根的运算，将代入代数式，结合算术平方根的性质，进行逐个计算，即可得到答案.
5．【答案】54
【知识点】偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：，
，
，
，，，
解得，，，
经检验，，，是原方程的解，
【分析】先配方得到，根据非负数的性质可求a，b，c，再代入计算即可求解.
6．【答案】9
【知识点】三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：取线段的中点，连接、，如图所示．
、，分别为，，的中点，
，，，，
，．
又，
．
．
故答案为：9.
【分析】取线段BC的中点E，连接EM、EN，由三角形中位线定理即可得出ME//AC、、NE//BD、，再根据平行线的性质即可得出∠EMN=∠FQP、∠ENM=∠FPQ，结合∠FPQ=∠FQP即可得出∠EMN=∠ENM，从而得出，由即可求出AC的长度.
7．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；线段最值问题
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
四边形是菱形，，
，
，
，
当点，点，点三点共线且垂直时，有最小值，
线段的最小值为，
在中，，
线段的最小值为，
故答案为：.
【分析】】过点M作MF⊥BC，垂足为F，根据菱形和含30度的直角三角形的性质可得，从而可得，根据垂线段最短可得线段的最小值为AE，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的值即可解答.
8．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：方程有一根为，
，
，
，
故答案为：．
【分析】将x=m代入方程可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
9．【答案】6cm
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-两线一点（两动一定）
【解析】【解答】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，如图所示：
点关于的对称点为，关于的对称点为，
，，；
点关于的对称点为，
，，，
，，
，
是等边三角形，
，
周长的最小值是，
，
，
即
故答案为：6cm.
【分析】设点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，故可求解.
10．【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，
，
成绩较稳定的是乙
故答案为：乙.
【分析】方差越小，数据的波动越小，成绩越稳定；方差越大，数据的波动越大，成绩越不稳定.
11．【答案】-1或
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
当时，根据等比性质可以得到：，
当时，，则；
则或
故答案为：-1或.
【分析】根据等比性质分情况讨论，当a+b+c≠0时，利用等比性质直接求解k；当a+b+c=0时，通过变形求出k的值.
12．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，交于，如图所示：
菱形的边长为，，
，，，
，
与重合，
，
是等边三角形，
，，，
，
点所走的路径的长为
故答案为：.
【分析】连接AC，交BD于O，再证明△ABC是等边三角形，得出AC=AB，再求出BD，根据弧长公式即可得出结果.
13．【答案】6
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：，
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为：，
整数解仅有1，2，
，
，，
解得：，，
，2，3，
，5，
整数，组成的有序数对共有，，，，，即6个，
故答案为：6.
【分析】首先解不等式组，不等式组的解集即可利用a，b表示，根据不等式组的整数解仅为1，2即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解.
14．【答案】5
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，延长交于点，
平分，，
，，
在和中，
，
，
，
，，
，
故答案为：5.
【分析】延长BD交AC于E，如图，证明∠ABE=∠AED得到AB=AE，再根据等腰三角形的性质得到BD=ED，然后根据三角形面积公式即可得到答案.
15．【答案】20
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，
，
又点是中点，
，
四边形是菱形．
，，
，则，，在中利用勾股定理得到：．
解得，则（舍去负值）．
则．
故四边形的周长．
故答案为：20.
【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，设GF=x，则AF=13x，AC=2x，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出x的值.
16．【答案】5
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，，
，
，
，
在与中，
，
，
故答案为：5.
【分析】根据ASA证明△AEH≌△CEB全等，进而利用全等三角形的性质即可解答.
17．【答案】3
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：延长BA交x轴于点D，连接OA，
∵AC平行于x轴，∠BAC=90°，
∴BD⊥x轴，
∴△BAC∽△BDO，
∵BC=2OC
∴
∵Rt△ABC的面积是2，
∴Rt△DBO的面积是，Rt△DAO的面积是
∴
故答案为：3.
【分析】延长BA交x轴于点D，证明△BAC∽△BDO，求得相似比为，利用相似比求得Rt△DBO的面积，利用等高的两个三角形求得Rt△DAO的面积，再利用比例系数k的几何意义求解即可.
18．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式组；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：方程有两个负数根，
它的两根之和为负数，
两根之积为正数，
据此可得，①
且根的判别式，
，②
解这个由①、②组成不等式组得：
故答案为：.
【分析】如果方程有两个负数根，那么它的两根之和为负数，两根之积为正数，且根的判别式，据此可得关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围.
19．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由题意可得，
四边形是平行四边形，四边形、四边形均为平行四边形，且它们的面积相等，四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【分析】根据平行四边形的性质和三角形的面积，可以的求得平行四边形ABCD的面积.
20．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，
，
在和中，
，
，故②正确；
，
，，
，
，故③正确；
，，，
，，
，故④正确，
故选：．
【分析】由正方形的性质和角平分线的定义可求∠BCE=∠ACE=22.5°，由余角的性质可求∠CBG=67.5°=∠CGB，可得BC=CG，故①正确；由"ASA"可证△ABG≌△BCE，故②正确；由全等三角形的性质可得BG=CE，由等腰三角形的性质可得，故③正确；由三角形的面积公式可求，故④正确，就可求解.
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