资源简介

2024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评九年级1月数学一试试题
一、填空题
1．去游泳馆游泳，要换拖鞋，如果鞋柜里只剩下尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋混合放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们正好是一双的概率为　 　.
2．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)的对应值如表所示：则方程ax2+bx+2.39=0的解是　 　.
x … 0 6 …
y … 0.39 -2 0.39 …
3．如图是我国古代南北朝时期独孤信的印章，其俯视图如右图所示，若该印章的梭长均为1、则表面积等于　 　.
4．已知抛物线y=x2-(m+4)x+3m+2在的范围内能使y≥2恒成立，则m的取值范围为　 　.
5．如图，在中，，，D是AB的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形DEF，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径DE，DF分别与AC，BC相交于点G，H，则阴影部分的面积为　 　.
6．在Rt中，，，的角平分线交AB于点D，且，斜边AB的值是　 　.
7．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为该图象在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为　 　．
8．如图，内接于，点E是弧AC的中点，连接BE，AD平分交线段BE于点D，过点E作交BC的延长线于点F。若，，，则的面积为　 　.
9．如图，正方形ABCD的边长是6CM，E是CD边的中点.将该正方形沿BE折叠，点C落在点C'处。⊙O分别与AB、AD、BC相切，切点分别为F、G、H，则⊙O的半径为　 　cm。
10．如图，已知扇形AOB中，圆心角∠AOB=120°，半径OA=4，点C为上一点，将沿AC翻折后交AB于点E，点D，G分别为AB，AE中点，过点G作GF⊥AB与翻折后的弧线交于点F，则DF的最小值为　 　.
11．如图1，在等腰直角△EFG中，∠FEG=90°，且位于长方形ABCD的左侧，直角边EF与BC边在同一直线上，AB>EG。现将△EFG沿BC方向移动，设BE的长为x，△EFG与长方形ABCD的重叠部分(图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示。请根据图象信息分析，当y=32时，x的值为　 　.
12．如图，曲线AB是二次函数图像的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线BC是反比例函数图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线。若点P(2024，m)和Q(x，n)是波浪线上的点，则的最大值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】
【知识点】概率公式；乘法原理
【解析】【解答】解：∵鞋柜里有尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋
∴随意拿出2只，等可能的结果有：14×13=182(种)，其中正好是一双有：红色成双4×4×2=32种，蓝色成双3×3×2=18种情况，共计50种成双情况
∴随意拿出2只正好是一双概率为
故答案为：.
【分析】由鞋柜里只剩下尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋混合放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，等可能的结果有182种，其中正好是一双的有50种情况，再利用概率公式即可求得答案.
2．【答案】或
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由抛物线经过点(0，0.39)得到c=0.39，
∵抛物线经过点(0，0.39)、(6，0.39)
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
而抛物线经过点，
∴抛物线经过点，
∴二次函数解析式为y=ax2+bx+0.39，
方程ax2+bx+2.39=0变形为ax2+bx+0.39=-2
∴方程ax2+bx+0.39=-2的根理解为函数值为-2所对应的自变量的值，
∴方程ax2+bx+2.39=0的根为，
故答案为：或.
【分析】利用抛物线经过点(0，0.39)得到c=0.39，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=3，抛物线经过点，由于方程ax2+bx+2.39=0变形为ax2+bx+0.39=-2，则方程ax2+bx+2.39=0的根理解为函数值为-2所对应的自变量的值，进而即可求解.
3．【答案】18+2
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，△ABC是正三角形，AB=AC=BC=1，AE⊥BC，
则
∴
∴棱长均为1的正三角形的面积为
∴故几何体的表面积为
故答案为：18+2.
【分析】通过分析几何体由正方形和正三角形组成，分别计算正方形和正三角形的面积，进而求出表面积.
4．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；数形结合
【解析】【解答】解：由题意得：y=x2-(m+4)x+3m+2≥2，
∴x2-mx-4x+3m≥0
∴x2-4x≥mx-3m
令y1=x2-4x，y2=mx-3m，
即转化为在-1≤x≤2上，y1≥y2恒成立，
而y2=mx-3m=m(x-3)，
∴函数y2=mx-3m图象经过点(3，0)，
当x=2时，y1=-4，记点E(2，-4)，
则画图分析为：
当直线y2经过点E时，则2m-3m=-4，
解得：m=4，
∴要使得在1≤x≤2上，y1≥y2恒成立，则m≥4
故答案为：m≥4.
【分析】当y≥2时得到x2-4x≥mx-3m，令y1=x2-4x，y2=mx-3m，即转化为在-1≤x≤2上，y1≥y2恒成立，再画图分析即可.
5．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CD，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
∵∠ACB=90°，DM⊥AC，DN⊥BC，
∴四边形DMCN是矩形，∠MDN=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠MDG=∠NDH=90°-∠EDN，
在Rt△ABC中，，
∴，
∵D是AB的中点，
∴，
由DM⊥AC，∠ACB=90°可知MD//BC，
∴，
同理可得，
∴DM=DN，
在△DMG和△DNH中，
∴△DMG≌△DNH(ASA).
∴，
∴
故答案为：.
【分析】连接CD，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，利用等腰直角三角形的性质、矩形和正方形的判定与性质，证明三角形全等，将阴影部分面积转化为扇形面积与正方形面积的差来求解.
6．【答案】
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE=DF， ∠CED=∠CFD=90°
∵∠C=90°
∴四边形CEDF为正方形，
∴DE=EC=CF =FD， ∠ECD=∠EDC=45°，
在Rt△CED中，
∵
∴DE=EC=CF=FD=1
∵，，
∴
即
∵AC2+BC2=AB2
∴
∵在Rt△ADE中，
∴
∵在Rt△BDF中，
∴
∴
∴
∴
∴(舍负)，
故答案为：.
【分析】CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由此可证明四边形CEDF为正方形，再利用，根据直角三角形的性质可求出DE=EC=CF=FD=2，再根据锐角三角函，求出AC·BC的值即可.
7．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴当时，当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，
即直线的函数解析式为，
∵，点在抛物线上且在第一象限，
∴设点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令且，
解得，
此时直线的解析式为，当时，
∴点横坐标最大值是，
∴点经过的路程为：，
故答案为：．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设直线的函数解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线的函数解析式为，设点的坐标为，设直线的解析式为，将点P坐标代入可得直线的解析式为，联立二次函数解析式，解方程可得直线的解析式为，再根据一次函数的性质可得点横坐标最大值是，即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接OE，CE，过点C作CG⊥EF于点G，
∵点E是弧AC的中点
∴OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴∠4=∠5，
∵
∴∠4=∠6，
∴∠4=∠6=∠5，
∵AD平分∠BAC.
∴∠7=∠8，
∵∠9=∠6+∠7， ∠EAD=∠5+∠8
∴∠9=∠EAD，
∴
∵
∴∠1=∠2，
∵AC//EF，
∴∠2=∠3，∠4=∠CEG
∴∠1=∠3， ∠6=∠CEG，
∴△FCE∽△EAB
∵
∴
设，EG=2x，
则在Rt△CEG中，由勾股定理得：，
解得：
∴，
在Rt△CGF中，由勾股定理得：
∴
∴
∵△FCE∽△EAB，
∴
∴
解得：
故答案为：.
【分析】连接OE，CE，过点C作CG⊥EF于点G，导角得到，再证明△FCE∽△EAB，则，设，EG=2x，则在Rt△CEG中，由勾股定理得：，
解得：，那么，，在Rt△CGF中，由勾股定理得：，那么，由△FCE∽△EAB，进而即可求解.
9．【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OG，OF，OH，延长BC交AD于点M，连接EM，
由题意得：△BC'E≌△BCE
∴BC'=BC=6cm，，∠BEC'=∠BEC
在Rt△MC'E和Rt△MDE中，
∴Rt△MC'E≌Rt△MDE (HL)，
∴MC'=MD，∠C'EM=∠DEM，
∵∠BEC+∠BEC'+∠MEC'+∠DEM=180°，
∴∠BEC'+∠MEC'=90°，
即∠BEM=90°
∵EC'⊥BM，
∴△BC'E≌△EC'M，
∴
∴
∴，，
∴(cm)
∵⊙O分别与AB，AD，BC相切，切点分别为F，G，H，
∴OH=OF=OG=⊙O的半径r，OH⊥BM， OF⊥AB，OG⊥AD，
连接OA，OB，OM，
∵S△ABM=S△OAB+S△OBM+S△OAM，
∴，
∴
∴
即⊙O的半径为
故答案为：.
【分析】连接OG，OF，OH，延长BC交AD于点M，连接EM，利用折叠的性质和全等三角形的判定与性质得到∠BEM=90°，然后由相似三角形的判定与性质求得C'M，DM，则AM，BM可求；利用圆的切线的性质可得OH=OF=OG=⊙O的半径r，OH⊥BM，OF⊥AB，OG⊥AD，再利用S△ABM=S△OAB+S△OBM+S△OAM，列出关于r的方程，解方程即可得出结论.
10．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：作F关于AC的对称点H，H在上，可得，过点A作AP⊥AB，交BO延长线于点P，连接PF，OH，
∵G是AE的中点，GF⊥AB
∴
∴∠FAE=∠FEA=∠ABH， AF=AH=EF
∵∠AOB=120°
∴
∴∠FAH=∠FAE+∠HAB=∠ABH+∠HAB=60°，
∵AF=AH
∴△AFH为等边三角形，
∴∠FAH=60°
∵OA=OB，∠AOB=120°
∴，∠AOP=180°-120°=60°
∵AP⊥AB
∴∠OAP=90°-30°=60°=∠AOP，∠PAB=90°
∴AP=OP
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=OA=4，∠PAO=∠FAH=60°
∴∠PAF=∠OAH
∵∠ABO=30°
∴BP=2AP=8
∴
∵D是AB的中点
∴
∴
∵在△APF和△AOH中，
∴△APF≌△AOH(SAS)
∴PF=OH=4
∵DF≥PD-PF
∴DF最小值
故答案为：.
【分析】作F关于AC的对称点H，H在上，可得，过点A作AP⊥AB，交BO延长线于点P，连接PF，OH，证△AFH为等边三角形，得∠FAH=60°，又证△AOP为等边三角形，得AP=OA=4，∠PAO=∠FAH=60°，∠PAF=∠OAH， 进而证明△APF≌△AOH， 得PF=OH=4，由DF≥PD-PF，即可得解.
11．【答案】4或11
【知识点】等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：解：当0∴两图象重叠部分是个梯形，且上下底及高都与x有关
当9由此可知，两图象重叠部分是一个梯形，且高为定值(即长方形BC边的长)
∴长方形的边BC长为9
又由图2可知，等腰直角三角形的直角边长为9+1=10，
当0≤x<9时，
∵BE=x，则BH=BF=10-x，
∴
当9≤x<10时，
∵BE=x，则BH=BF=10-x，CM=CF=10-x+9=19-x，
∴
当10≤x≤19时，
∵BE=x，则BF=x-10，CF=9-(x-10)=19-x，
∴
将y=32代入得，
x1=4，x2=16.
又0≤x<9，则x=4
将y=32代入得，
∵，故舍去
将y=32代入得，x1=11，x2=27
又10≤x≤19，
则x=11
综上所述，x的值为4或11.
故答案为：4或11.
【分析】根据图2可知，等腰直角三角形的直角边长比长方形的BC边要长1，且可得出长方形的BC边的长为9，再分段表示出y与x的关系即可解决问题.
12．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵点A在抛物线y=-x2+6x+3上，
∴A (0，3)
又∵点B是抛物线y=-x2+6x+3的顶点，点B在双曲线上，
∴y=-(x-3)2+12，
∴B(3，12)
∴k=xy=3×12=36
∴双曲线解析式为
∵A，C两点的纵坐标相等
当y=3时，，
∴点C(12，3)
∵2024=168×12+8
∴点P的纵坐标和x=8时的纵坐标相等
当x=8时，
∴
∵波浪线的最高点为二次函数顶点
∴n的最大值为12
∴m+n最大值为
故答案为：.
【分析】由抛物线求出点A、点B，由点B求出双曲线k，再求出C，得到12个单位一循环，求出m、n的最大值即可求解.
1 / 12024-2025学年世界少年奥林匹克思维能力全国总测评九年级1月数学一试试题
一、填空题
1．去游泳馆游泳，要换拖鞋，如果鞋柜里只剩下尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋混合放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，它们正好是一双的概率为　 　.
【答案】
【知识点】概率公式；乘法原理
【解析】【解答】解：∵鞋柜里有尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋
∴随意拿出2只，等可能的结果有：14×13=182(种)，其中正好是一双有：红色成双4×4×2=32种，蓝色成双3×3×2=18种情况，共计50种成双情况
∴随意拿出2只正好是一双概率为
故答案为：.
【分析】由鞋柜里只剩下尺码相同的4双红色的鞋和3双蓝色的鞋混合放在一起，闭上眼睛随意拿出2只，等可能的结果有182种，其中正好是一双的有50种情况，再利用概率公式即可求得答案.
2．已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)的对应值如表所示：则方程ax2+bx+2.39=0的解是　 　.
x … 0 6 …
y … 0.39 -2 0.39 …
【答案】或
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由抛物线经过点(0，0.39)得到c=0.39，
∵抛物线经过点(0，0.39)、(6，0.39)
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
而抛物线经过点，
∴抛物线经过点，
∴二次函数解析式为y=ax2+bx+0.39，
方程ax2+bx+2.39=0变形为ax2+bx+0.39=-2
∴方程ax2+bx+0.39=-2的根理解为函数值为-2所对应的自变量的值，
∴方程ax2+bx+2.39=0的根为，
故答案为：或.
【分析】利用抛物线经过点(0，0.39)得到c=0.39，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=3，抛物线经过点，由于方程ax2+bx+2.39=0变形为ax2+bx+0.39=-2，则方程ax2+bx+2.39=0的根理解为函数值为-2所对应的自变量的值，进而即可求解.
3．如图是我国古代南北朝时期独孤信的印章，其俯视图如右图所示，若该印章的梭长均为1、则表面积等于　 　.
【答案】18+2
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，△ABC是正三角形，AB=AC=BC=1，AE⊥BC，
则
∴
∴棱长均为1的正三角形的面积为
∴故几何体的表面积为
故答案为：18+2.
【分析】通过分析几何体由正方形和正三角形组成，分别计算正方形和正三角形的面积，进而求出表面积.
4．已知抛物线y=x2-(m+4)x+3m+2在的范围内能使y≥2恒成立，则m的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；数形结合
【解析】【解答】解：由题意得：y=x2-(m+4)x+3m+2≥2，
∴x2-mx-4x+3m≥0
∴x2-4x≥mx-3m
令y1=x2-4x，y2=mx-3m，
即转化为在-1≤x≤2上，y1≥y2恒成立，
而y2=mx-3m=m(x-3)，
∴函数y2=mx-3m图象经过点(3，0)，
当x=2时，y1=-4，记点E(2，-4)，
则画图分析为：
当直线y2经过点E时，则2m-3m=-4，
解得：m=4，
∴要使得在1≤x≤2上，y1≥y2恒成立，则m≥4
故答案为：m≥4.
【分析】当y≥2时得到x2-4x≥mx-3m，令y1=x2-4x，y2=mx-3m，即转化为在-1≤x≤2上，y1≥y2恒成立，再画图分析即可.
5．如图，在中，，，D是AB的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形DEF，点C恰好在上（点E，F不与点C重合），半径DE，DF分别与AC，BC相交于点G，H，则阴影部分的面积为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；扇形面积的计算；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图，连接CD，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，
∵∠ACB=90°，DM⊥AC，DN⊥BC，
∴四边形DMCN是矩形，∠MDN=90°，
又∵∠EDF=90°，
∴∠MDG=∠NDH=90°-∠EDN，
在Rt△ABC中，，
∴，
∵D是AB的中点，
∴，
由DM⊥AC，∠ACB=90°可知MD//BC，
∴，
同理可得，
∴DM=DN，
在△DMG和△DNH中，
∴△DMG≌△DNH(ASA).
∴，
∴
故答案为：.
【分析】连接CD，作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，利用等腰直角三角形的性质、矩形和正方形的判定与性质，证明三角形全等，将阴影部分面积转化为扇形面积与正方形面积的差来求解.
6．在Rt中，，，的角平分线交AB于点D，且，斜边AB的值是　 　.
【答案】
【知识点】角平分线的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形—边角关系；正弦定理和余弦定理
【解析】【解答】解：如图，CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∴DE=DF， ∠CED=∠CFD=90°
∵∠C=90°
∴四边形CEDF为正方形，
∴DE=EC=CF =FD， ∠ECD=∠EDC=45°，
在Rt△CED中，
∵
∴DE=EC=CF=FD=1
∵，，
∴
即
∵AC2+BC2=AB2
∴
∵在Rt△ADE中，
∴
∵在Rt△BDF中，
∴
∴
∴
∴
∴(舍负)，
故答案为：.
【分析】CD平分∠ACB，过点D作DE⊥AC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由此可证明四边形CEDF为正方形，再利用，根据直角三角形的性质可求出DE=EC=CF=FD=2，再根据锐角三角函，求出AC·BC的值即可.
7．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，点为该图象在第一象限内的一点，过点作直线的平行线，交轴于点．若点从点出发，沿着抛物线运动到点，则点经过的路程为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与一元一次方程的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴当时，当时，，
∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
设直线的函数解析式为，
，
即直线的函数解析式为，
∵，点在抛物线上且在第一象限，
∴设点的坐标为，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴直线的解析式为，
令且，
解得，
此时直线的解析式为，当时，
∴点横坐标最大值是，
∴点经过的路程为：，
故答案为：．
【分析】根据坐标轴上点的坐标特征可得点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，设直线的函数解析式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线的函数解析式为，设点的坐标为，设直线的解析式为，将点P坐标代入可得直线的解析式为，联立二次函数解析式，解方程可得直线的解析式为，再根据一次函数的性质可得点横坐标最大值是，即可求出答案.
8．如图，内接于，点E是弧AC的中点，连接BE，AD平分交线段BE于点D，过点E作交BC的延长线于点F。若，，，则的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接OE，CE，过点C作CG⊥EF于点G，
∵点E是弧AC的中点
∴OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴∠4=∠5，
∵
∴∠4=∠6，
∴∠4=∠6=∠5，
∵AD平分∠BAC.
∴∠7=∠8，
∵∠9=∠6+∠7， ∠EAD=∠5+∠8
∴∠9=∠EAD，
∴
∵
∴∠1=∠2，
∵AC//EF，
∴∠2=∠3，∠4=∠CEG
∴∠1=∠3， ∠6=∠CEG，
∴△FCE∽△EAB
∵
∴
设，EG=2x，
则在Rt△CEG中，由勾股定理得：，
解得：
∴，
在Rt△CGF中，由勾股定理得：
∴
∴
∵△FCE∽△EAB，
∴
∴
解得：
故答案为：.
【分析】连接OE，CE，过点C作CG⊥EF于点G，导角得到，再证明△FCE∽△EAB，则，设，EG=2x，则在Rt△CEG中，由勾股定理得：，
解得：，那么，，在Rt△CGF中，由勾股定理得：，那么，由△FCE∽△EAB，进而即可求解.
9．如图，正方形ABCD的边长是6CM，E是CD边的中点.将该正方形沿BE折叠，点C落在点C'处。⊙O分别与AB、AD、BC相切，切点分别为F、G、H，则⊙O的半径为　 　cm。
【答案】
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；翻折变换（折叠问题）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接OG，OF，OH，延长BC交AD于点M，连接EM，
由题意得：△BC'E≌△BCE
∴BC'=BC=6cm，，∠BEC'=∠BEC
在Rt△MC'E和Rt△MDE中，
∴Rt△MC'E≌Rt△MDE (HL)，
∴MC'=MD，∠C'EM=∠DEM，
∵∠BEC+∠BEC'+∠MEC'+∠DEM=180°，
∴∠BEC'+∠MEC'=90°，
即∠BEM=90°
∵EC'⊥BM，
∴△BC'E≌△EC'M，
∴
∴
∴，，
∴(cm)
∵⊙O分别与AB，AD，BC相切，切点分别为F，G，H，
∴OH=OF=OG=⊙O的半径r，OH⊥BM， OF⊥AB，OG⊥AD，
连接OA，OB，OM，
∵S△ABM=S△OAB+S△OBM+S△OAM，
∴，
∴
∴
即⊙O的半径为
故答案为：.
【分析】连接OG，OF，OH，延长BC交AD于点M，连接EM，利用折叠的性质和全等三角形的判定与性质得到∠BEM=90°，然后由相似三角形的判定与性质求得C'M，DM，则AM，BM可求；利用圆的切线的性质可得OH=OF=OG=⊙O的半径r，OH⊥BM，OF⊥AB，OG⊥AD，再利用S△ABM=S△OAB+S△OBM+S△OAM，列出关于r的方程，解方程即可得出结论.
10．如图，已知扇形AOB中，圆心角∠AOB=120°，半径OA=4，点C为上一点，将沿AC翻折后交AB于点E，点D，G分别为AB，AE中点，过点G作GF⊥AB与翻折后的弧线交于点F，则DF的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形全等的判定-SAS；等圆、等弧的概念
【解析】【解答】解：作F关于AC的对称点H，H在上，可得，过点A作AP⊥AB，交BO延长线于点P，连接PF，OH，
∵G是AE的中点，GF⊥AB
∴
∴∠FAE=∠FEA=∠ABH， AF=AH=EF
∵∠AOB=120°
∴
∴∠FAH=∠FAE+∠HAB=∠ABH+∠HAB=60°，
∵AF=AH
∴△AFH为等边三角形，
∴∠FAH=60°
∵OA=OB，∠AOB=120°
∴，∠AOP=180°-120°=60°
∵AP⊥AB
∴∠OAP=90°-30°=60°=∠AOP，∠PAB=90°
∴AP=OP
∴△AOP为等边三角形，
∴AP=OA=4，∠PAO=∠FAH=60°
∴∠PAF=∠OAH
∵∠ABO=30°
∴BP=2AP=8
∴
∵D是AB的中点
∴
∴
∵在△APF和△AOH中，
∴△APF≌△AOH(SAS)
∴PF=OH=4
∵DF≥PD-PF
∴DF最小值
故答案为：.
【分析】作F关于AC的对称点H，H在上，可得，过点A作AP⊥AB，交BO延长线于点P，连接PF，OH，证△AFH为等边三角形，得∠FAH=60°，又证△AOP为等边三角形，得AP=OA=4，∠PAO=∠FAH=60°，∠PAF=∠OAH， 进而证明△APF≌△AOH， 得PF=OH=4，由DF≥PD-PF，即可得解.
11．如图1，在等腰直角△EFG中，∠FEG=90°，且位于长方形ABCD的左侧，直角边EF与BC边在同一直线上，AB>EG。现将△EFG沿BC方向移动，设BE的长为x，△EFG与长方形ABCD的重叠部分(图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示。请根据图象信息分析，当y=32时，x的值为　 　.
【答案】4或11
【知识点】等腰直角三角形；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：解：当0∴两图象重叠部分是个梯形，且上下底及高都与x有关
当9由此可知，两图象重叠部分是一个梯形，且高为定值(即长方形BC边的长)
∴长方形的边BC长为9
又由图2可知，等腰直角三角形的直角边长为9+1=10，
当0≤x<9时，
∵BE=x，则BH=BF=10-x，
∴
当9≤x<10时，
∵BE=x，则BH=BF=10-x，CM=CF=10-x+9=19-x，
∴
当10≤x≤19时，
∵BE=x，则BF=x-10，CF=9-(x-10)=19-x，
∴
将y=32代入得，
x1=4，x2=16.
又0≤x<9，则x=4
将y=32代入得，
∵，故舍去
将y=32代入得，x1=11，x2=27
又10≤x≤19，
则x=11
综上所述，x的值为4或11.
故答案为：4或11.
【分析】根据图2可知，等腰直角三角形的直角边长比长方形的BC边要长1，且可得出长方形的BC边的长为9，再分段表示出y与x的关系即可解决问题.
12．如图，曲线AB是二次函数图像的一部分（其中A是抛物线与y轴的交点，B是抛物线顶点），曲线BC是反比例函数图像的一部分，A，C两点的纵坐标相等，由点C开始不断重复“A-B-C”的过程，形成一组波浪线。若点P(2024，m)和Q(x，n)是波浪线上的点，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵点A在抛物线y=-x2+6x+3上，
∴A (0，3)
又∵点B是抛物线y=-x2+6x+3的顶点，点B在双曲线上，
∴y=-(x-3)2+12，
∴B(3，12)
∴k=xy=3×12=36
∴双曲线解析式为
∵A，C两点的纵坐标相等
当y=3时，，
∴点C(12，3)
∵2024=168×12+8
∴点P的纵坐标和x=8时的纵坐标相等
当x=8时，
∴
∵波浪线的最高点为二次函数顶点
∴n的最大值为12
∴m+n最大值为
故答案为：.
【分析】由抛物线求出点A、点B，由点B求出双曲线k，再求出C，得到12个单位一循环，求出m、n的最大值即可求解.
1 / 1

展开更多......

收起↑