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2025-2026学年度初中数学期中考试卷
湘教版七年级下学期
考试范围：1-3章内容；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题 共30分）
评卷人得分
一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）下列实数中是无理数的是（ ）
A．3.1415926 B． C． D．
2．（本题3分）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题3分）已知，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）若，则下列式子中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（本题3分）下列结论中，正确的是（ ）
A．1的平方根是1 B．的算术平方根是
C．0没有立方根 D．的平方根是
7．（本题3分）若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C． D．3
8．（本题3分）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（本题3分）从图1到图2的变化过程中可以发现的结论是（ ）
A． B．
C． D．
10．（本题3分）已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；④若不等式组有解，则．其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
第II卷（非选择题 共90分）
评卷人得分
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（本题3分）16的平方根是______；，则______．
12．（本题3分）已知实数满足，则______．
13．（本题3分）关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围__________．
14．（本题3分）若的计算结果中没有关于的一次项，则________．
15．（本题3分）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入x为时，输出的值是______．
16．（本题3分）若关于的一元次不等式组的解集为，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的积为__________；
评卷人得分
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）计算：
(1)；
(2)．
18．（本题6分）先化简，再求值∶，其中，．
19．（本题8分）对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：．
(1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________．
(2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围．
20．（本题8分）重阳节是国家级非物质文化遗产，我国诗人自古就有“待到重阳日，还来就菊花”的真挚情谊．某社区在重阳节前夕准备购买甲、乙两种菊花，经调查：购买10盆甲种菊花和5盆乙种菊花共需280元，购买7盆甲种菊花和8盆乙种菊花共需268元．
(1)求甲、乙两种菊花的单价分别为多少元；
(2)该社区决定购买甲、乙两种菊花共30盆，且总花费不少于550元又不多于560元，求所有购买方案．
21．（本题10分）如图，和谐广场有一块长为米、宽米的长方形空地，角上有两块边长均为米的小正方形空地，现要将阴影部分进行绿化．（单位：米）
(1)用含有的式子表示绿化的总面积（结果写成最简形式）；
(2)若，，求出绿化的总面积．
22．（本题10分）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答：
(1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
(2)已知，其中是整数，且，求的相反数．
23．（本题12分）【观察思考】
，
，
，
【规律发现】
（1）根据规律可得 ；（其中n为正整数）
【规律应用】；
（2）①计算：；
②若，求的值．
24．（本题12分）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“智惠方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“智惠方程”．
(1)在下列方程①；②；③中，不等式的“智惠方程”是________；（填序号）
(2)若关于的方程是关于的不等式组的“智惠方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求的取值范围．
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《2025-2026学年度初中数学期中考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C A D C B B B
1．B
【详解】解：无理数是无限不循环小数，有理数包括整数和分数
A、3.1415926是有限小数，属于有理数，选项错误；
B、是无限不循环小数，是无理数，则也是无限不循环小数，是无理数，选项正确
C、是分数，属于有理数，选项错误；
D、，3是整数，属于有理数，选项错误．
2．C
【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；根据不等式的解集在数轴上表示即可．
【详解】解：∵，
∴在数轴上表示为：
故选：C．
3．D
【分析】根据同底数幂的乘法、合并同类项、平方差公式、积的乘方，逐一计算判断即可．
【详解】解：选项A，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∵ ，故A错误；
选项B，根据合并同类项法则：合并同类项时，系数相加，字母和指数不变，
∵ ，故 B错误；
选项C，根据平方差公式计算，
∵ ，故 C错误；
选项D，根据积的乘方法则：积的乘方等于各因式分别乘方，幂的乘方底数不变，指数相乘，
∵ ，等式成立，故 D正确．
4．C
【详解】解：．
5．A
【分析】本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据不等式的性质，逐一判断选项即可得．
【详解】解：A、不等式两边同时减去3，不等号方向不改变，即，选项说法正确，符合题意；
B、不等式两边同时加3，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意；
C、不等式两边同时乘，不等号方向不改变，即，选项说法错误，不符合题意；
D、当，时，满足，此时，，，故选项说法错误，不符合题意；
故选：A．
6．D
【详解】解：A：∵，∴1的平方根是±1，A错误；
B：∵负数没有算术平方根，是负数，∴不存在算术平方根，B错误；
C：∵，∴0的立方根是0，C错误；
D：先计算，∵，∴4的平方根是，即的平方根是，D正确．
7．C
【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．
根据绝对值、平方及算术平方根的非负性可得，求出的值再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可．
【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，
由题意得：，
解得，
∵x为正整数，
∴x的取值为34、35、36、37，
则不同的购买方案种数为4种．
故选：B．
9．B
【分析】本题主要考查平方差公式，分别表示出图形的面积，再结合变化过程分析即可解题．
【详解】解：由图知，图的面积为，
图的面积为，
结合图1到图2的变化过程可以发现，
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵它的解集是，即，
解得：，故①正确，
∵当时，，此时不等式组的解集为，
∴不等式组无解，故②错误，
∵它的整数解仅有3个，
∴，
∴a的取值范围是，故③正确，
∵若不等式组有解，即，
∴，故④正确；
综上分析可知：正确的有①③④．
故选：B．
11．
【分析】本题考查了求一个数的平方根，立方根的定义，根据平方根，立方根定义即可求解﹒
【详解】解：∵，
∴ 16的平方根是；
∵，
∴﹒
故答案为：，
12．17
【分析】根据完全平方公式得到，进而可知的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
即，
解得：．
13．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用．
解不等式组得，由数轴可知，得出原不等式组的解集为，则，计算求解即可．
【详解】解：解不等式组，
得，
由数轴可知，原不等式组的解集为，
∴，
解得．
∴a的取值范围为，
故答案为：
14．
【分析】先根据多项式乘多项式法则展开，再根据结果中没有关于的一次项，得到一次项的系数为 0 ，即可求解．
【详解】解：
若的计算结果中没有关于的一次项，
则，
解得：．
15．
【分析】根据程序计算解答即可．
本题考查了程序式计算，熟练掌握算术平方根，立方根，有理数是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得∵，
∴，是有理数，
∵，
∴，是有理数，
∵，
∴，是无理数，可以输出，
∴，
故答案为：．
16．
10
【分析】此题考查已知一元一次不等式组集的情况求参数，解一元一次方程，先解不等式组，根据解集确定m的取值范围，再解关于y的方程，根据解为非负整数确定符合条件的整数m，最后求积
【详解】解：解第二个不等式 ，得 ，
解第一个不等式 ，得 ，
由于不等式组的解集为 ，故 ，解得 ，
解方程 ，得，
由y为非负整数，得
且为整数，
故 且 是3的倍数，
即 且 是3的倍数，
结合 且m为整数，得 ，
设 （k为非负整数），则 ，即 ，
要求m为整数，故 为偶数，即k为奇数，
代入 ，得 ，即 ，解得 ，
k为非负奇数，故或3，
当时，；
当时，，
验证y值：当时，；当时，，均为非负整数，
故符合条件的整数m为2和5，积为 ，
故答案为10
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的乘方，立方根，算术平方根等知识，解题的关键是掌握各运算法则．
（1）先进行二次根式的乘方，求立方根，求算术平方根运算，再进行实数的加减；
（2）先进行平方，求算术平方根，求立方根运算，再进行加减．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．
【分析】本题考查了整式的化简求值，多项式乘以多项式，解题关键是掌握多项式乘以多项式法则．
先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后代入求值．
【详解】解：
当，时，
原式
19．(1)①=；②
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键．
（1）①根据新定义计算判断即可；②根据题意可得不等式，解之即可得到答案；
（2）根据新定义可得不等式，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集情况得出不等式求解即可．
【详解】（1）解：①根据题意得：，，
∴；
故答案为：；
②解：∵，
∴，
解得；
（2）即
由①得，
有3个整数解，
，
．
20．(1)甲种菊花的单价为20元，乙种菊花的单价为16元
(2)所有购买方案为：购买甲种菊花18盆、乙种菊花12盆；购买甲种菊花19盆、乙种菊花11盆；购买甲种菊花20盆、乙种菊花10盆
【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设甲种菊花的单价为x元，乙种菊花的单价为y元，由题意易得，进而求解即可；
（2）设购买甲种菊花m盆，则乙种菊花盆，由题意易得，进而求解即可．
【详解】（1）解：设甲种菊花的单价为x元，乙种菊花的单价为y元，由题意得：
，
解得：；
答：甲种菊花的单价为20元，乙种菊花的单价为16元．
（2）解：设购买甲种菊花m盆，则乙种菊花盆，由题意得：
，
解得：，
∵m为正整数，
∴所有购买方案为：购买甲种菊花18盆、乙种菊花12盆；购买甲种菊花19盆、乙种菊花11盆；购买甲种菊花20盆、乙种菊花10盆．
21．(1)平方米
(2)平方米
【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式在几何图形中的应用，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键．
（1）根据绿化的总面积等于大长方形面积减去小正方形面积，即可求解；
（2）把，代入（1）所求结果中，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，
，
绿化的总面积为平方米．
（2）解：当，时，平方米，
绿化的总面积为平方米．
22．(1)
1
(2)
【分析】（1）由，即可得出a的值．再根据，即可求出b的值，最后计算即可；
（2）由，且，其中x是整数，且，即可求出x和y的值，再计算出，最后利用相反数的定义求解即可．
【详解】（1）解：∵，的小数部分为a，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵的整数部分为b，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，其中x是整数，，
∴，，
∴，
∴的相反数是．
23．（1）；（2）①；②
【分析】（1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题；
（2）①把原式化为，再结合（1）中发现的规律进行计算即可；
②由结合条件可得x的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：因为，
，
，
所以（其中n为正整数）；
（2）②解：原式
；
②解：因为，
则，即，
解得或，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意；
故，．
24．(1)②
(2)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“智惠方程”是解题的关键．
（1）根据新定义求解；
（2）先解方程可得，再解不等式组可得，再根据 根据“智惠方程”的定义，得到，得 ，此时不等式组恰好有3个整数解，得到，解得，从而可得答案．
【详解】（1）解：①方程的解为；
②的解是；
③的解，
不等式的解集为，
∴不等式的“智惠方程”是②，
故答案为：②；
（2）解：解方程 ，得．
解，得．
解，得．
∴不等式组的解集为．
根据“智惠方程”的定义，
∴，得，
∵有3个整数解，即1，2，3，
∴，解得 ，
综上，的取值范围是 ．
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