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2026年4月10日初中数学作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（ ）
A．勾股定理的逆定理
B．勾股定理
C．直角三角形两锐角互余
D．以上都不对
2．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（ ）
A．16 B．21 C．13 D．18
5．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ）
A．30 B． C． D．
6．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（ ）
A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1
8．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
10．如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
二、填空题
11．若在实数范围内有意义，则的取值范围是__________．
12．如图，矩形的对角线，，则的长为________．
13．已知，则整数n的值为________．
14．如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号）
15．如图，正方形中，，已知点E是边上的一动点（不与A、B重合）将沿DE对折，点A的对应点为P，当是等腰三角形时，_____．
16．如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的度数为_____；若，则的长为______．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，在中，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若,求四边形的面积
19．定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”．
(1)若m与是关于10的友好二次根式，求m；
(2)若与是关于6的友好二次根式，求m．
20．如图，的对角线、相交于点O，．
(1)求证：；
(2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论．
21．（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C为格点（即正方形的顶点）．求证：为等腰直角三角形．
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线上求作一点P，使得，简单说明理由．
（3）如图3，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线AB上求作一点Q，使得最小，简单说明理由．
22．【问题初探】
小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整：
特例1：；特例2：；
特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子）
【发现规律】
______．（，且n为整数）
【应用规律】
（1）计算：；
（2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分．
23．综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究
【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，．
(1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________；
(2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由；
(3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长．
24．如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由．
(2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点．
①试判断四边形的形状，并说明理由．
②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长．
《2026年4月10日初中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D C B B A A A C
1．B
【详解】解：∵，，，
∴根据勾股定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，
∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理．
2．C
【分析】本题根据最简二次根式的定义判断各选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式．
对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式．
对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式．
对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式．
综上，答案选C．
3．D
【分析】本题考查代数式有意义的条件，需要分别根据二次根式、分式、零指数幂的有意义要求列不等式求解．
【详解】代数式有意义，
，，
且，
则实数x的取值范围是且．
4．C
【分析】根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，且周长为，
∴，，
∵点是的中点，
∴，为的中位线，
∴，
∴的周长．
5．B
【分析】先估算的大小，得到的范围，从而求出整数部分和小数部分，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
∴的整数部分，小数部分
∵，
∴．
6．B
【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．A
【分析】根据题意可知，，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】因为，，
所以原式．
8．A
【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可．
【详解】解：设，
∵，，，
∴，
∴是以为斜边的直角三角形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，
∴．
9．A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，由含30度角的直角三角形得到，由勾股定理得到，由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
10．C
【分析】先证明四边形、、、是平行四边形，得到，，再证明四边形为矩形，根据勾股定理和直角三角形的性质求出，，得出，，最后求出矩形的面积即可．
【详解】解：连接，，与相交于点，如图所示：
，，
四边形、、、是平行四边形，
四边形是菱形
，，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形，
，，
，
，
，，
，
，，
四边形的面积为：．
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此建立不等式求解，即可解题．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为．
12．2
【分析】由矩形的性质得，由等边三角形的判定及性质得，即可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是等边三角形，
．
13．4
【分析】根据，对进行估值即可解答．
【详解】解：
∵，即，
∴，
∵，
∴．
14．
【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，勾股定理与最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，利用两点之间线段最短找到最短路径．
先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，再由勾股定理求解．
【详解】解：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则，
所以，
根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，
在中，，根据勾股定理得，
故答案为：．
15．或
【分析】分、、讨论，排除（会使与重合，不符合题意）．利用折叠性质得，，当时，为等边三角形，得，在中求，时，在垂直平分线上，得，构造等腰三角形求．
得到两个有效解或．
【详解】解：若，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵折叠，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
若，
如图，过点P作于点F，作，
∵，
∴点P在的垂直平分线上，且，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
当时，
∴，
由折叠知，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴点E和点B重合，不符合题意，
即：此种情况不存在，
∴的长为或．
16．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作的平行线分别交，于点，，则四边形是矩形，证明得出为等腰直角三角形，在中，勾股定理求得，进而求得，即可求解．
【详解】如图，过点作的平行线分别交，于点，，
则四边形是矩形，
，．
四边形是正方形，
，
，
，
又，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
平分，
．
四边形是正方形，
，
．
四边形是正方形，
，，，
，
，
．
，
，，
，
，
在中，．
，
故答案为：，
17．(1)
(2)
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由是的中点可得，再由可得到四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得证；
（2）根据勾股定理求出，利用三角形中位线定理求出，再由菱形的性质进行计算即可．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
为的中点，，
，
四边形是菱形；
（2）解： ，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵分别是边，的中点，
∴
∴，
∴菱形的面积
19．(1)2
(2)3
【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可；
（2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算．
【详解】（1）解：根据题意得，；
（2）解：根据题意得，，
∴．
20．(1)见解析
(2)矩形，证明见解析
【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理即可证明；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形判定即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即：，
在和中，
；
（2）矩形，理由如下：
证明：，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
21．（1）见解析；（2）图见解析，理由见解析；（3）图见解析，理由见解析．
【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明，即可得到结论；
（2）取格点F，连接交于点P，连接，由垂直平分得到，则，由即可得到结论；
（3）取格点N，连接，由证明垂直平分，则点N、C关于轴对称，连接交于点Q，连接，则，即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（2）如图，取格点F，连接交于点P，连接，则点P即为所求，
∵垂直平分，
∴
∴，
∵
∴；
（3）如图，点Q即为所求，
取格点N，连接，
∵
∴垂直平分，
∴点N、C关于轴对称，
连接交于点Q ，连接，则，
则为最小．
【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质、轴对称的性质求最短路径等知识，准确作图是解题的关键．
22．问题初探：
发现规律：
应用规律：（1）；（2）9
【分析】问题初探：直接通过计算求解即可；
发现规律：通过计算，化去根号即可；
应用规律：（1）利用规律求解；
（2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分．
【详解】问题初探：解：
故答案为：；
发现规律：解：
故答案为：；
应用规律：（1）解：
（2）解：
当小数部分是时，
，
解得：，
经检验是分式方程的根，
∴整数部分是．
【点睛】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
23．(1)
(2)成立，证明见解析
(3)的长度为或
【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可；
（2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可；
（3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果．
【详解】（1）解：连接，如下图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，
∴，，
∵为菱形的角平分线，
∴，
故与为等边三角形，
∴，
∵点为中点，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：成立，理由如下：
连接，如下图所示：
由（1）中，同理可得与为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
（3）解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示：
由（1）（2）得，为中点，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
故，
∴；
当点在点右侧时，如下图所示：
同理可得，
故，
∴；
综上，的长度为或．
24．(1)正方形，理由见解析；
(2)①平行四边形，理由见解析；②的长为或．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用．
（1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状；
（2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状；
②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度．
【详解】（1）四边形为正方形．
理由:矩形，
，
折叠，
，，
四边形是正方形；
（2）①四边形为平行四边形．
理由：矩形，
，
点是的中点，
，
折叠，
，，
，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
②四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
，，，
是矩形，
当是的下方的三等分点时，
，点是的中点，
，
是矩形，
∴，
由折叠可得，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
当是的上方的三等分点时，
，点是的中点，
，
，，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
综上所述，的长为或．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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