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北师大版数学八年级下册第六单元平行四边形单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024八下·厦门期中）如图，，分别为边上的点．要使，需添加一个条件，下列添加条件不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
添加，
∴，利用使，故A不符合题意；
添加，
∴，
∴，利用使，故B不符合题意；
添加，利用使，故C不符合题意；
添加，不能使，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形全等的判定，逐项进行推理，判断，即可得出答案。
2．（2023七下·富锦期末）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=30°，BD=4，则CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BD⊥AD，
∴△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，BD=4，∠A=30°，
∴AB=2BD=8，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=8，
故选：D．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AB，再根据平行四边形性质即可求出答案.
3．（2025八下·慈利期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，，故②正确
，
，
四边形是平行四边形，故③正确
，
而不一定成立，故④不正确．
不一定等于，
不正确，故①不正确，
故选：B．
【分析】
由平行四边形的对边平行且相等可得，，再由平行线的性质结合中点的概念可证，再由全等的性质可得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确．
5．（2026九上·德惠期末）如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2
【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：
∵，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当CM⊥AB时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解.
6．已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是（　　）
A． B． C．2或 D．不能确定
【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：已知直线a∥b∥c，需分两种位置情况分析：
当直线b在a和c之间时：
直线a与c的距离 = 直线a与b的距离 + 直线b与c的距离，即3cm+5cm=8cm。
当直线a在b和c之间时：
直线a与c的距离 = 直线b与c的距离 - 直线a与b的距离，即5cm 3cm=2cm。
直线a与c的距离是2cm或8cm。
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论：直线b在直线a和c之间，或直线a在直线b和c之间，根据平行线间距离的叠加 / 相减关系计算a与c的距离。
7．（2026九下·温州开学考）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=4.以点C为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点E，再分别以点B，E为圆心，大于的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线CM交AB于点F.记BF长为x，AB长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x-y C．x2+y2 D．x+y
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAH=∠CBF，
由题意知：CF⊥AB
∴∠AHD=∠BFC=90°
∴△ADH≌△BCF(AAS)
∴AH=BF=x，DH=CF，
∴BH=AB+AH=x+y，AF=AB-BF=y-x，
∵DH2=BD2-BH2，CF2=AC2-AF2，
∴BD2-BH2=AC2-AF2，
∴42-(x+y)2=22-(y-x)2，
∴xy=3
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是xy.
故选：A.
【分析】过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，由平行四边形的性质推出AD=BC，AD//BC，得到∠DAH=∠CBF，而∠AHD=∠BFC=90°，判定△ADH≌△BCF(AAS)，推出AH=BF=x，DH=CF，由勾股定理得到42-(x+y)2=22-(y-x)2，求出xy=3，即可得到答案.
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO，
∴EO=FO，
∵AE=CF，
∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
②由DE＝BF无法证明四边形DEBF是平行四边形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CDF，
∴∠AED=∠CFB，
∴∠DEO=∠BFO，
∴DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
④同理可证当∠ABE＝∠CDF时，四边形DEBF是平行四边形；
∴只有①③④可以，
故选B．
【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以.
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2019八下·鸡西期末）等腰梯形的上底是10cm，下底是16cm，高是4cm，则等腰梯形的周长为　 　cm．
【答案】36．
【知识点】勾股定理；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：过A，D作下底BC的垂线，
则BE=CF= （16-10）=3cm，
在直角△ABE中根据勾股定理得到：
AB=CD= =5，
所以等腰梯形的周长=10+16+5×2=36cm．
故答案为：36．
【分析】首先根据题意画出图形，过A，D作下底BC的垂线，从而可求得BE的长，根据勾股定理求得AB的长，这样就可以求得等腰梯形的周长了．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB【答案】1
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：根据作图知，AE=BC，BF平分∠EBC，
∴∠EBF=∠CBF，
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠F=∠CBF，
∴∠EBF=∠F，
∴BE=EF，
∴AD=BC=BE=EF，
∴AD-DE=EF-DE，
∴AE=DF，
∴=1.
故答案为：1.
【分析】根据 角平分线的作图方法 知AE=BC，∠EBF=∠CBF，根据 平行四边形的性质、平行线性质、等腰三角形性质 易得AD=BC=BE=EF，从而得AE=DF.
11．（2025八下·江宁月考）如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，那么S1+S2=　 　（用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴S=BC EF，S1=，S2=，
∵EF=PE+PF，AD=BC，
∴S1+S2=，
故答案为：．
【分析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，即可表示S，S1，S2，进而得到S，S1，S2关系解答即可．
12．（2025七下·花溪期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】28
【知识点】梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：将三角形ABC沿着点到点的方向平移到的位置，
，
阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，
由平移得，，
，，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：28．
【分析】利用平移的性质可得，再证出阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，最后利用梯形的面积公式求解即可.
13．（2025八下·郴州期中）如图，是内一点，，，，，分别是的中点，则四边形的周长是　 　．
【答案】11
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
，
分别是的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长，
故答案为：11．
【分析】先利用三角形中位线定理可证四边形EFGH是平行四边形，则EH＝FG、EF＝HG，再利用勾股定理求出BC的长，再应用中位线定理分别求出EH、HG的长，再利用平行四边形的周长公式计算即可．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025八下·金华月考） 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，过点A作交BD于点E，过点C作交BD于点F.
（1） 证明：.
（2） 若，，，求EF的长.
【答案】（1）证明：
且
在和中，
∴
∴
（2）解：∵∠AEB=90°，∠ABD=30°，AB=4，
∴，
∴，
∵∠BFC=90°，BC=6，AE=CF=2，
∴，
∴，
∴EF的长是
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，再根据“AAS”证明△ABE≌△CDF，进而即可得出结论；
(2)由∠AEB=90°，∠ABD=30°，AB=4，得，再根据勾股定理即可求解.
15．如图，已知在中，对角线，交于点O，E，F分别是线段，的中点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，，求BD的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点E，F分别为，的中点，
，，
．
在和中，
，
，
（2）解：，，
，则，
又，
，
，设，
在中，，则，
在中，，
则，
得，
，
，
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明，进而求证；
（2）先说明，再求出，则，设，根据勾股定理列出关于x的方程式，进而得出答案.
16．（2025八下·诸暨期中）如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
17．（2025八下·龙泉期中）小华与小红一起研究一个尺规作图问题：
如图1，已知E是边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作，其中是边AD上一点。
小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小华：以点为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小红：小华，你的作法有问题。
小华：哦．．．．．．我明白了！
（1）根据小红的作法，证明：。
（2）指出小华作法中存在的问题。
【答案】（1）在中，，
，
，
四边形AECF为平行四边形，
。
（2）原因：以为圆心，AE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，如图所示：
故小华的作法存在问题。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，即CE//AF，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得CF//AE.
(2)若以点C为圆心，AB长为半径作弧，与AD可能有两个交点，即可得出答案.
18．（2025·普陀二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG。
（1）求证：四边形BEFG为平行四边形；
（2）如图1，若BD=2AB，求证：BE⊥AO；
（3）如图2，当平行四边形ABCD为菱形时，若BD=AB，AB=8，求四边形BEFG的面积。
【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD 是 ABCD，
∴，，
∵点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，
∴，，，
∴，，
∴五边形BEFG是平行四边形；
（2）证明：∵ ABCD，
∴AC，BD互相平分，
∴，
∵，
∴，
∴点E为AO中点，
∴；
（3）解：过点 E 作 于点 H，
菱形
为等边三角形
∴四边形BEFG的面积。
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据中位线定理可得EF∥AD，EF=AD，BG=BC，即可得出EF∥BG，EF=BG，即可得证；
(2)先证BO=BA，再根据等腰三角形三线合一证垂直即可；
(3)过点E作EH⊥BC于点H，易得BD的长度，根据边关系可得∠BAO的度数，进而可得△ABC为等边三角形，从而得解.
19．（2025八下·长兴期中）在Rt△ABC中，∠C =90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使BC =2CD，连结EF，CE，DF.
（1）求证：四边形CDFE是平行四边形。
（2）连结DE，交AC于点O，若AB=BD =9，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
，，
∵，∴
∴CD=EF，
∴四边形DCEF是平行四边形
（2）解：
在Rt中，，
在平行四边形DCEF中，，在Rt中，，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中位线定理知EF平行BC且等于BC的一半，又CD等于BC的一半且在BC的延长线上，则EF与DC平行且相等，则四边形CDFE是平行四边形；
（2）由于DE是平行四边形CDFE的对角线，因此只需求出OD的长即可，此时利用DC与BC的数量关系可得DC的长，再由平行四边形的对角互相平分结合中点的概念可得OC是AC的四分之一，此时再利用勾股定理可求出AC的长，则OC可得，再在直角三角形OCD中应用勾股定理即可求得OD的长，则DE的长为OD的2倍.
20．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．
平行四边形的性质定理平行四边形的对角线互相平分我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图， 的对角线和相交于点．
求证：，．
（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（2）【性质应用】如图，在 中，对角线，相交于点，过点且与边，分别相交于点，求证：．
（3）【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接若，的周长是，则 的周长是　 　．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
， ，
在和中，
，
≌，
，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
（3）18
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）由（2）可得≌，
∴BF=ED，OE=OF，
∴AE=FC，
∵，
∴AE=AF，
∵的周长是，
∴AB+BF+AF=9，
∴AB+BF+AE=9，
∴ 的周长=2（AB+BF+AE）=18.
故答案为：18.
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，进而得出， ，再根据ASA证明≌，进而得证；
（2）根据四边形是平行四边形，可得，，进而得出，，再根据AAS证明≌，进而得证；
（3）由（2）可得≌，则BF=ED，OE=OF，所以AE=FC，再根据线段垂直平分线的 定义说明AC是EF的垂直平分线，则AE=AF，再根据的周长是，即可得出答案.
1 / 1北师大版数学八年级下册第六单元平行四边形单元检测提升卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2024八下·厦门期中）如图，，分别为边上的点．要使，需添加一个条件，下列添加条件不正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023七下·富锦期末）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A=30°，BD=4，则CD的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．8
3．（2025八下·慈利期中）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·萧山期中）如图，在中，，分别是，的中点，，是对角线上的两点，且．对于结论：①；②；③四边形是平行四边形；④．正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④
5．（2026九上·德惠期末）如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2
6．已知在同一平面内，直线，，互相平行，直线与之间的距离是，直线与之间的距离是，那么直线与的距离是（　　）
A． B． C．2或 D．不能确定
7．（2026九下·温州开学考）如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC=2，BD=4.以点C为圆心，BC的长为半径作弧交AB于点E，再分别以点B，E为圆心，大于的长为半径向下作弧，两弧交于点M，作直线CM交AB于点F.记BF长为x，AB长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　）
A．xy B．x-y C．x2+y2 D．x+y
8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE＝CF；②DE＝BF；③∠ADE＝∠CBF；④∠ABE＝∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2019八下·鸡西期末）等腰梯形的上底是10cm，下底是16cm，高是4cm，则等腰梯形的周长为　 　cm．
10．如图，在平行四边形ABCD中，AB11．（2025八下·江宁月考）如图，P是面积为S的 ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，那么S1+S2=　 　（用含的代数式表示）
12．（2025七下·花溪期中）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为4，则阴影部分的面积为　 　．
13．（2025八下·郴州期中）如图，是内一点，，，，，分别是的中点，则四边形的周长是　 　．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2025八下·金华月考） 如图，已知四边形ABCD为平行四边形，过点A作交BD于点E，过点C作交BD于点F.
（1） 证明：.
（2） 若，，，求EF的长.
15．如图，已知在中，对角线，交于点O，E，F分别是线段，的中点，连结，．
（1）求证：；
（2）若，，，求BD的长．
16．（2025八下·诸暨期中）如图，在中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
17．（2025八下·龙泉期中）小华与小红一起研究一个尺规作图问题：
如图1，已知E是边BC上一点（不包含B，C），连结AE，用尺规作，其中是边AD上一点。
小红：如图2，以点A为圆心，CE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小华：以点为圆心，AE长为半径作弧，交AD于点，连结CF，则。
小红：小华，你的作法有问题。
小华：哦．．．．．．我明白了！
（1）根据小红的作法，证明：。
（2）指出小华作法中存在的问题。
18．（2025·普陀二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，连结BE，EF，FG。
（1）求证：四边形BEFG为平行四边形；
（2）如图1，若BD=2AB，求证：BE⊥AO；
（3）如图2，当平行四边形ABCD为菱形时，若BD=AB，AB=8，求四边形BEFG的面积。
19．（2025八下·长兴期中）在Rt△ABC中，∠C =90°，E，F分别是边AB，AC的中点，延长BC到点D，使BC =2CD，连结EF，CE，DF.
（1）求证：四边形CDFE是平行四边形。
（2）连结DE，交AC于点O，若AB=BD =9，求DE的长.
20．【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第页的部分内容．
平行四边形的性质定理平行四边形的对角线互相平分我们可以用演绎推理证明这个结论．
已知：如图， 的对角线和相交于点．
求证：，．
（1）请根据教材提示，结合图，写出完整的证明过程．
（2）【性质应用】如图，在 中，对角线，相交于点，过点且与边，分别相交于点，求证：．
（3）【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接若，的周长是，则 的周长是　 　．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
添加，
∴，利用使，故A不符合题意；
添加，
∴，
∴，利用使，故B不符合题意；
添加，利用使，故C不符合题意；
添加，不能使，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据三角形全等的判定，逐项进行推理，判断，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵BD⊥AD，
∴△ABD为直角三角形，
在Rt△ABD中，BD=4，∠A=30°，
∴AB=2BD=8，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD=AB=8，
故选：D．
【分析】根据含30°角的直角三角形性质可得AB，再根据平行四边形性质即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形．
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
又E、F分别是、的中点，
∴，
∴，
在和中，
，
，
，，，故②正确
，
，
四边形是平行四边形，故③正确
，
而不一定成立，故④不正确．
不一定等于，
不正确，故①不正确，
故选：B．
【分析】
由平行四边形的对边平行且相等可得，，再由平行线的性质结合中点的概念可证，再由全等的性质可得，，则，得，再证出四边形是平行四边形，得，故②③正确，不一定等于，故①不正确，不一定成立，故④不正确．
5．【答案】D
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接CM，
∵点D、E分别为CN，MN的中点，
∴，
当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，
由勾股定理得：
∵，
∴
∴
故答案为：D.
【分析】作CH⊥AB于H，连接CM，首先根据三角形中位线的性质得出，只要找到CM的最大值和最小值即可，根据垂线段最短可知当CM⊥AB时，CM最短，此时利用勾股定理和三角形的面积公式即可求解.
6．【答案】C
【知识点】平行线之间的距离
【解析】【解答】解：已知直线a∥b∥c，需分两种位置情况分析：
当直线b在a和c之间时：
直线a与c的距离 = 直线a与b的距离 + 直线b与c的距离，即3cm+5cm=8cm。
当直线a在b和c之间时：
直线a与c的距离 = 直线b与c的距离 - 直线a与b的距离，即5cm 3cm=2cm。
直线a与c的距离是2cm或8cm。
故答案为：C.
【分析】分两种情况讨论：直线b在直线a和c之间，或直线a在直线b和c之间，根据平行线间距离的叠加 / 相减关系计算a与c的距离。
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC，
∴∠DAH=∠CBF，
由题意知：CF⊥AB
∴∠AHD=∠BFC=90°
∴△ADH≌△BCF(AAS)
∴AH=BF=x，DH=CF，
∴BH=AB+AH=x+y，AF=AB-BF=y-x，
∵DH2=BD2-BH2，CF2=AC2-AF2，
∴BD2-BH2=AC2-AF2，
∴42-(x+y)2=22-(y-x)2，
∴xy=3
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是xy.
故选：A.
【分析】过D作DH⊥BA交BA的延长线于H，由平行四边形的性质推出AD=BC，AD//BC，得到∠DAH=∠CBF，而∠AHD=∠BFC=90°，判定△ADH≌△BCF(AAS)，推出AH=BF=x，DH=CF，由勾股定理得到42-(x+y)2=22-(y-x)2，求出xy=3，即可得到答案.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，DO=BO，
∴EO=FO，
∵AE=CF，
∵DO=BO，
∴四边形DEBF是平行四边形；
②由DE＝BF无法证明四边形DEBF是平行四边形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠DAE=∠BCF，
∵∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CDF，
∴∠AED=∠CFB，
∴∠DEO=∠BFO，
∴DE//BF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
④同理可证当∠ABE＝∠CDF时，四边形DEBF是平行四边形；
∴只有①③④可以，
故选B．
【分析】若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以.
9．【答案】36．
【知识点】勾股定理；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：过A，D作下底BC的垂线，
则BE=CF= （16-10）=3cm，
在直角△ABE中根据勾股定理得到：
AB=CD= =5，
所以等腰梯形的周长=10+16+5×2=36cm．
故答案为：36．
【分析】首先根据题意画出图形，过A，D作下底BC的垂线，从而可求得BE的长，根据勾股定理求得AB的长，这样就可以求得等腰梯形的周长了．
10．【答案】1
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：根据作图知，AE=BC，BF平分∠EBC，
∴∠EBF=∠CBF，
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠F=∠CBF，
∴∠EBF=∠F，
∴BE=EF，
∴AD=BC=BE=EF，
∴AD-DE=EF-DE，
∴AE=DF，
∴=1.
故答案为：1.
【分析】根据 角平分线的作图方法 知AE=BC，∠EBF=∠CBF，根据 平行四边形的性质、平行线性质、等腰三角形性质 易得AD=BC=BE=EF，从而得AE=DF.
11．【答案】
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴S=BC EF，S1=，S2=，
∵EF=PE+PF，AD=BC，
∴S1+S2=，
故答案为：．
【分析】过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F，即可表示S，S1，S2，进而得到S，S1，S2关系解答即可．
12．【答案】28
【知识点】梯形；平移的性质
【解析】【解答】解：将三角形ABC沿着点到点的方向平移到的位置，
，
阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，
由平移得，，
，，
，
阴影部分的面积为，
故答案为：28．
【分析】利用平移的性质可得，再证出阴影部分的面积等于梯形ABEH的面积，最后利用梯形的面积公式求解即可.
13．【答案】11
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，
，
分别是的中点，
，，
四边形的周长，
又，
四边形的周长，
故答案为：11．
【分析】先利用三角形中位线定理可证四边形EFGH是平行四边形，则EH＝FG、EF＝HG，再利用勾股定理求出BC的长，再应用中位线定理分别求出EH、HG的长，再利用平行四边形的周长公式计算即可．
14．【答案】（1）证明：
且
在和中，
∴
∴
（2）解：∵∠AEB=90°，∠ABD=30°，AB=4，
∴，
∴，
∵∠BFC=90°，BC=6，AE=CF=2，
∴，
∴，
∴EF的长是
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质得AB//CD，AB=CD，再根据“AAS”证明△ABE≌△CDF，进而即可得出结论；
(2)由∠AEB=90°，∠ABD=30°，AB=4，得，再根据勾股定理即可求解.
15．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，，
，
点E，F分别为，的中点，
，，
．
在和中，
，
，
（2）解：，，
，则，
又，
，
，设，
在中，，则，
在中，，
则，
得，
，
，
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据SAS证明，进而求证；
（2）先说明，再求出，则，设，根据勾股定理列出关于x的方程式，进而得出答案.
16．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，AD=BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ADE=∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS).
∴AE=CF，∠AED=∠CBF，
∴AE/CF，
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）解：∵BD⊥AD，AB=5，BC=AD=3，
∴，
连接AC交EF于O，如图，
∴，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴，
∴DE=BF，
设DE=BF=x，
∴EF=2x+4，
∵EF-AF=2，
∴AF=2x+2，
∵AF2=AD2+DF2，
∴(2x+2)2=32+(4+x)2，
∴(负值舍去)，
∴DE的长为
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质，得AD//BC，AD=BC，根据平行线的性质，得∠ADB=∠CBD，则∠ADE=∠CBF，根据SAS可以证明△ADE≌△CBF，AE=CF，∠AED=∠CBF，从而证明AE//CF，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形AFCE是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到，连接AC交EF于O，求，根据平行四边形的性质得到，设DE=BF=x，根据勾股定理即可得到结论.
17．【答案】（1）在中，，
，
，
四边形AECF为平行四边形，
。
（2）原因：以为圆心，AE长为半径作弧，与BC可能有两个交点，如图所示：
故小华的作法存在问题。
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可得AD//BC，即CE//AF，进而可得四边形AECF为平行四边形，再根据平行四边形的性质可得CF//AE.
(2)若以点C为圆心，AB长为半径作弧，与AD可能有两个交点，即可得出答案.
18．【答案】（1）证明： ∵ 四边形ABCD 是 ABCD，
∴，，
∵点E，F，G分别为AO，DO，BC的中点，
∴，，，
∴，，
∴五边形BEFG是平行四边形；
（2）证明：∵ ABCD，
∴AC，BD互相平分，
∴，
∵，
∴，
∴点E为AO中点，
∴；
（3）解：过点 E 作 于点 H，
菱形
为等边三角形
∴四边形BEFG的面积。
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)根据中位线定理可得EF∥AD，EF=AD，BG=BC，即可得出EF∥BG，EF=BG，即可得证；
(2)先证BO=BA，再根据等腰三角形三线合一证垂直即可；
(3)过点E作EH⊥BC于点H，易得BD的长度，根据边关系可得∠BAO的度数，进而可得△ABC为等边三角形，从而得解.
19．【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC的中点，
，，
∵，∴
∴CD=EF，
∴四边形DCEF是平行四边形
（2）解：
在Rt中，，
在平行四边形DCEF中，，在Rt中，，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由中位线定理知EF平行BC且等于BC的一半，又CD等于BC的一半且在BC的延长线上，则EF与DC平行且相等，则四边形CDFE是平行四边形；
（2）由于DE是平行四边形CDFE的对角线，因此只需求出OD的长即可，此时利用DC与BC的数量关系可得DC的长，再由平行四边形的对角互相平分结合中点的概念可得OC是AC的四分之一，此时再利用勾股定理可求出AC的长，则OC可得，再在直角三角形OCD中应用勾股定理即可求得OD的长，则DE的长为OD的2倍.
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
， ，
在和中，
，
≌，
，
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
≌，
（3）18
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：（3）由（2）可得≌，
∴BF=ED，OE=OF，
∴AE=FC，
∵，
∴AE=AF，
∵的周长是，
∴AB+BF+AF=9，
∴AB+BF+AE=9，
∴ 的周长=2（AB+BF+AE）=18.
故答案为：18.
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，进而得出， ，再根据ASA证明≌，进而得证；
（2）根据四边形是平行四边形，可得，，进而得出，，再根据AAS证明≌，进而得证；
（3）由（2）可得≌，则BF=ED，OE=OF，所以AE=FC，再根据线段垂直平分线的 定义说明AC是EF的垂直平分线，则AE=AF，再根据的周长是，即可得出答案.
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