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北师大版数学八年级下册第六单元平行四边形单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·龙湾期中）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　)
A． B． C． D．
2．（2025八下·龙湾期中）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·临海月考） 如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，，，，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·浙江期中） 如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC上的中线，过点 C作CG⊥AD于F，交AB于 G，连结EF，则线段EF的长为（　　）
A．1 B． C． D．
5．（2025八下·阳东期中）如图，将两个宽为的直尺交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，转动其中一个直尺，另一个保持不动，下列结论：①四边形 始终是平行四边形； ②； ③四边形的周长保持不变； ④当时， 四边形的面积为，其中一定正确的是（　　）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
6．（2025八下·钱塘期中）如图，在中，过对角线上任意一点P作，，且，若的面积为1，则的面积为（　　）
A．9 B． C．12 D．18
7．（2025八下·罗湖期末） 如图，有两个完全重合的和，把绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在的边CD上，连接BG，，，，则BG的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·南充期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（　　）
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025八下·期中）如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为　 　．
10．（2025八下·余姚期中） 如图，在□ABCD中，∠A=60°，E是AD上一点，连接BE.将△ABE沿BE对折得到△A'BE，当点A'恰好落在边AD上时，A'D=4（图甲)，当点A'恰好落在边CD上时，A'D=6（图乙)，则AB=　 　.
11．（2025八下·成都期中）如图，△ABC中，∠A=45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD=CE，∠BOC=120°，若，CD=6，则BD=　 　.
12．（2024八上·威宁期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接.若的面积为，则的长为　 　cm.
13．（2025八下·成都月考）如图， ABCD中，AC，BD交于O，AE平分∠BAD，EC＝CD＝1，∠ECD＝2∠CDA．下列结论：①AC平分∠EAD；②OE＝AD；③BD＝；④S ABCD＝．正确的有　 　个．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023八下·余姚期中）如图，在中，，过点A作于点，且，连接，延长至点，连接，使∠，若，求的长．
15．（2025八下·三台月考）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
16．（2025八下·临海月考） 小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，以AB、BC为边作.
小吴：如图2，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
小李：如图3，分别以点A、点C为圆心，相同长度（大于AC）为半径作弧，两弧分别相交于点M、N，连接MN交AC于点O，作射线BO，并截取，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
（1） 填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）
① 小吴的作法　 　；② 小李的作法　 　.
（2） 从(1)中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程）
17．（2024八下·深圳期中）如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
18．（2025八下·河源期末）如图，
（1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形是平行四边形．
①实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
19．（2025八下·江门期末）综合与探究
【问题情境】在△ABC中，分别以AB和AC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，其中∠ADB=∠AEC=90°，AD=BD，AE=CE，F是边BC的中点.
【猜想验证】
（1）如图1，若DM丄AB，ENLAC，垂足分别是M，N，连接MF，NF.试判断四边形AM-FN的形状，并说明理由。
（2）【深入探究】
如图2，连接DF，EF.
①试判断线段DF与EF的数量关系和位置关系，并说明理由，
②若DF=，求四边形ADBC和△ACE的面积之和.
20．（2025八下·龙华期末）综合与实践
数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究。
（1）【活动一】拼接
将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长；
（2）【活动二】平移
在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移。在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示。
①求证：四边形AMDN是平行四边形；
②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为 ▲ 。
（3）【活动三】旋转
在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周。在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点P在点处时，最小，即最小，
∵，
即，
∵，
，
则的最小值为，
，
，
∴当取得最小值时，的长为．
故选：C．
【分析】本题主要考查平移的性质、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。首先运用勾股定理求出边的长度。根据平行四边形的性质可知，当最短时，也最短，此时点的位置满足垂线段最短的条件。然后利用面积关系，求出的长度，进而确定的长度，最终得出答案。
2．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∴的周长，
∵为，
∴，
∴的周长为，
故选：．
【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质以及线段垂直平分线的特性，需要综合运用这些知识点来解决问题。
由题可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得对角线互相平分，即。由此可以推导出是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得。
所以，三角形的周长可以表示为。再结合题目给定的条件，平行四边形的周长为，通过这个信息即可完成最终求解。
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，，.
∵是的中点，
∴.
∴是的中位线.
∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴.
故答案为：B.
【分析】首先判断出是的中位线，利用中位线性质能得到长. 然后利用勾股定理计算出、，从而得到长，最后继续利用勾股定理即可计算出.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴∠DAG=∠DAC.
∵CG⊥AD于点F，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFC(ASA)，
∴AG=AC=3，GF=FC.
∵AB=4，
∴BG=AB－AG=1.
∵GF=FC，AE是BC上的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴.
故答案为：B.
【分析】结合角平分线的定义和垂线的定义可证明△AFG≌△AFC，由全等三角形的性质可得AG=AC=3，GF=FC，继而可得BG长，再由中位线的定义即可求得EF的长.
5．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则①②正确；
随着直尺转动，边长变化，可知四边形周长发生变化，
∴③不正确；
过点A作，交于点E，
在中，，
∴，
∴四边形的面积为，则④正确，
可知正确的有①②④．
故答案为：C．
【分析】先证出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，从而可判断出①②是否正确；再利用四边形的周长公式求解并判断出③是否正确；再利用四边形的面积公式求出四边形ABCD的面积，从而可判断出④是否正确，从而得解.
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，四边形，四边形、四边形，四边形都是平行四边形，，，
，，
∵，，
∵，
，（与平行四边形高相等）
，
故选：D．
【分析】利用平行四边形的性质及三角形的面积关系，可以计算出平行四边形的面积，从而解决本题。
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，如图所示：
由旋转的性质可知，AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，
∴∠CEB＝∠ABE，BM，
∴∠BEN＝∠BEM，
又∵BE＝BE，
∴△BEN≌△BEM（AAS），
∴BN＝BMGH，
又∵∠GQH＝∠BQN，
∴△QGH≌△QBN（AAS），
∴BQ＝CQ，HQ＝NQ，
∴BG＝2BQ，
∵AB，
∴AN2，
∴HN＝AN﹣AH，
∴HQ＝NQ，
∴BQ，
∴BG＝2BQ．
故答案为：B
【分析】连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，先根据旋转的性质得到AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，则∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，再根据平行四边形的性质得到CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，则∠CEB＝∠ABE，BM，根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明△BEN≌△BEM得到BN＝BMGH，再证明△QGH≌△QBN（AAS）得到BQ＝CQ，HQ＝NQ，进而根据勾股定理求出AN，从而即可得到HQ＝NQ，再根据勾股定理求出BQ，根据BG=2BQ即可求解。
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵的周长等于，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴，故正确；
过点作于M，交与，
∵，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，故正确；
过点作于，交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，故正确；
∴说法正确的个数有个，
故选：．
【分析】根据三角形的周长得到，利用三线合一可得，即可判断；过点作，交与，利用AAS得到，即可得到，同理得到，再由三角形的面积公式即可判断；过点于，交于，根据三角形面积公式可得，即可判断；过点作的延长线于点，根据两直线平行，同位角相等得到，即可得到，根据30°的直角三角形的性质可得，根据勾股定理求出，再在中，由勾股定理求出的长判断解答即可．
9．【答案】8
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故答案为：8．
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及三角形、平行四边形的面积公式，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，得到，进而求出的长度，由可知点和点到直线的距离相等，设该距离为，根据三角形面积公式求出，再利用平行四边形面积公式计算其面积。
10．【答案】38
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作，
设，
在图甲中，
由轴对称的性质可得，
，
，
，
，
在图乙中，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
.
故答案为：38.
【分析】设，由轴对称的性质可得，，在图乙中作，利用含角直角三角形的性质可得CF=x+2，A'F=x-8，再利用勾股定理列出关于x的方程，解得x=19，进而求得AB的长度.
11．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：点C作NF∥AB， 且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，则∠DCN =∠A=45°，
∴DN=CN，由勾股定理得： ，
∵CF\|BE， CF=BE，
∴四边形BEFC为平行四边形，
∴BF = EC = BD，BF∥EC，
∴∠DBF=180°-∠BOC =180°-120°= 60°
∴△BDF为等边三角形，
∴BD=DF，
由勾股定理得：
故答案为：
【分析】过点C作NF∥AB，且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，根据勾股定理求出DN、CN，进而求出FN，根据平行四边形的性质得到BF =EC =BD，BF∥EC，根据等边三角形的性质得到BD =DF，根据勾股定理求出DF，得到答案.
12．【答案】30
【知识点】三角形的面积；等腰梯形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB交Ab于点G，过点C作CH⊥AB交AB于点H，如图所示：
∵△DCE的面积为，，
∴CD×EF=36，
∴3EF=36，
解得：EF=12，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AG=BH，DC//AB，
∴CH⊥DF，
∵CE⊥BC，
∴∠ECF=90°-∠BCF=∠BCH，
在△ECF和△BCH中，
，
∴△ECF≌△BCH（AAS），
∴EF=BH=12，
∴AG=12，
∵DG⊥AB，CH⊥AB，DC//AB，
∴GH=CD=6，
∴AB=AG+GH+BH=12+6+12=30，
故答案为：30.
【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB交Ab于点G，过点C作CH⊥AB交AB于点H，先利用三角形的面积公式求出EF的长，再利用“AAS”证出△ECF≌△BCH，可得EF=BH=12，再求出GH=CD=6，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
13．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BCAD，
∴∠BCD＋∠CDA＝180°，
∵∠ECD＝2∠CDA，
∴∠CDA＝∠ABC＝60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，
∵EC＝CD＝AB，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠CAD＝∠ECA，
故①正确，
（2）由(1)可知：BE＝CE，BC＝2AB，
∵OA＝OC，
∴OE＝，
故②正确；
（3）由（1）可知AB＝1，BC＝2，∠EAC＝∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝，
故③正确；
（4）由（3）可知，S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝AB AC＝．
故④正确．
故答案为：4．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
证明△ABE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，得出AE＝CE，可判断①正确；由三角形中位线定理得出OE＝，则可得出②正确；证明∠BAC＝90°，由勾股定理求出OB的长，则可得出③正确；由平行四边形的面积可得出④正确．
14．【答案】解：∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质证得、然后根据AAS得到，即可得到，进而可得，再根据勾股定理解答即可．
15．【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下，
∵AC=8cm，AB=6Cm，BC=10cm，
又∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理算出DE=12dm，过点A作AG⊥BC于点G，利用等面积法建立方程求出AG的长，由平行线间的距离相等可得点D到地面的距离等于DE+AG+r，从而代值计算可得答案.
（1）解：是直角三角形，理由如下，
已知，，，
∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
16．【答案】（1）正确；正确
（2）解：选择①，∵， ，
∴ABCD为平行四边.
选择②，∵， ，
∴ABCD为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）小吴的方法可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判断；小李的方法可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断；
（2）若选小吴的方法，就证明两组对边相等；若选小李的方法，就证明对角线互相平分.
17．【答案】（1）证明：∵点D、E分别为AB，AC的中点
，，
∵点G、F分别为BH，CH的中点，
，
，
∴四边形DEFG为平行四边形
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可得：，，，，等量代换得，，再由平行四边形的判定：一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形，可知：四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质：对边相等可知：，再由勾股定理在Rt△BDG中 ，求出的长，最后结合中点的定义可知：，即可得到答案．
18．【答案】（1）解：选择②③；证明如下；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解： ① ：作角平分线如图1；
②，理由如下；
∵是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)根据两直线平行同旁内角互补得到， 等量代换得到，根据平行线的判定得到， 由此根据平行四边形的判定可得到四边形是平行四边形；
（2）①根据尺规作图作出角平分线，解答即可；
②根据平行四边形的性质得到， 根据角平分线的概念得到， 根据平行线的判定得到，再根据等腰三角形的性质得到， 再计算线段的和差即可解答.
19．【答案】（1）证明：∵ DM丄AB ， ∠ADB=90°， AD=BD，
∴M为AB中点，
∵ F是边BC的中点 ，
∴FM //AC 即FM//AN
∵ EN⊥AC， ∠AEC=90° ， AE =CE
∴N为AC中点，
∵F为BC中点，
∴FN//AB即 FN//AM，
∴四边形 ANFM为平行驰形；
（2）① DF=EF， DFEF，理由如下：延长DF至H，使得FH=DF，连接CH，EH，DE，
∵BF=CF，DF=HF， ∠DFB=∠HFC，
∴ △BDF△CHF(SAS)
∴BD=CH，∠DBF=∠BCH，
∵AD=BD
∴AD=BD=CH
∵四边形BDEC内角和为360，
∴∠ADE+∠DEA+∠BDA+∠AEC+∠DBF+∠ECF=360
∵ ∠ADB=∠AEC=90° ，
∴∠ADE+∠DEA+∠DBF+∠ECF=180，
∴∠ADE+∠DEA+∠ECF+∠BCH=180，
∴∠ADE+∠DEA+∠ECH=180，
∵∠ADE+∠DEA+∠DAE=180，
∴∠DAE=∠ECH，
∵AD=CH，EC=AE，
∴ △DAE△HCE(SAS)，
∴DE=EH，∠DEA=∠CEH，
∴∠DEH=∠AEC=90° ，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∵F是边DH的中点
∴DF=EF， DFEF
② 由① 可知△BDF△CHF，△DAE△HCE
∴S△BDF=S△CHF，S△DAE=S△HCE
∴ 四边形ADBC的面积+△ACE的面积=S△BDF+S四ADFC+S△AEC
=S△CHF+S四ADFC+S△AEC
=S△DEF-S△ADE+S△CHF+S△HCE
=S△DEF+S△HEF=S△DEH
∵DF=，
∴
∴DH=2，
∵EF，
∴S△DEH=
∴ 四边形ADBC的面积于△ACE的面积之和为2.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 (1) 根据等腰直角三角形三线合一的性质得到M为AB中点，N为AC中点，再结合中位线定理即可解答；
(2) ① 延长DF至H，使得FH=DF，连接CH，EH，DE，利用SAS证明 △BDF△CHF；利用全等三角形的性质和四边形BDEC内角和为360计算转化可得∠DAE=∠ECH，即可利用SAS证明△DAE△HCE，再根据等腰直角三角形的三线合一性质可得到DF=EF， DFEF，解答即可；
②通过全等三角形的性质可得S△BDF=S△CHF，S△DAE=S△HC，即可表示处四边形ADBC的面积+△ACE的面积转化可得S△DEH，根据面积公式即可计算出S△DEH的的值为2，由此解答即可.
20．【答案】（1）解：由图1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，
∴AB=DE=2AC=6，
∴由勾股定理得：BC=AE=
∴
（2）解： ①∵平移，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ACDF是平行四边形。
∴AN∥DM
又∵EF=BC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴DN∥AM。
∴四边形AMDN是平行四边形。
②9
（3）60°或240°
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②AN=DM=，AM=DN=，
∴ 四边形AMDN的周长 =2（AN+AM)=2（）=9.
故答案为：9；
（3）解：当 △DEF顺时针旋转60°时：位于△D1E1F； 当 △DEF顺时针旋转240°时：位于△D2E2F，
当△DEF顺时针旋转60°时，此时两个三角形重合部分为△AD1G，
∵AB∥DF，
∴∠AD1F=∠D1FD=60°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△AD1G为等边三角形，符合题意；
当△DEF顺时针旋转240°时，此时两个三角形重合部分为△PQC，
∵∠PQC=∠AQE1=∠BAC-∠D1E1F=30°=∠PCQ，
∴△PQC为等腰三角形，符合题意。
故旋转角的度数为：60°或240°。
【分析】（1）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质求出AB和BC的长度，进而求出四边形ABCE的周长；
（2）①根据一组对边平行切线等即可判定得出 四边形 ACDF 是平行四边形，可得出AN∥DM ，再通过证明四边形AEDB是平行四边形， 可得出DN∥AM，进而得出四边形AMDN是平行四边形；②根据 点A为EF的中点， 可得出AN=DM=，AM=DN=，进而即可得出 四边形AMDN的周长；
（3）当 △DEF顺时针旋转60°时，两个三角形重合部分为△AD1G为等边三角形，符合题意；当△DEF顺时针旋转240°时，两个三角形重合部分△PQC为等腰三角形，符合题意。
1 / 1北师大版数学八年级下册第六单元平行四边形单元检测培优卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（2025八下·龙湾期中）如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则当取得最小值时，的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；平行四边形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点P在点处时，最小，即最小，
∵，
即，
∵，
，
则的最小值为，
，
，
∴当取得最小值时，的长为．
故选：C．
【分析】本题主要考查平移的性质、平行四边形的性质以及勾股定理的应用。首先运用勾股定理求出边的长度。根据平行四边形的性质可知，当最短时，也最短，此时点的位置满足垂线段最短的条件。然后利用面积关系，求出的长度，进而确定的长度，最终得出答案。
2．（2025八下·龙湾期中）如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴，
∴的周长，
∵为，
∴，
∴的周长为，
故选：．
【分析】本题主要考查平行四边形的基本性质以及线段垂直平分线的特性，需要综合运用这些知识点来解决问题。
由题可知，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得对角线互相平分，即。由此可以推导出是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得。
所以，三角形的周长可以表示为。再结合题目给定的条件，平行四边形的周长为，通过这个信息即可完成最终求解。
3．（2025八下·临海月考） 如图，两对全等的直角三角形拼成矩形ABCD，中空的部分是矩形EFGH，连结DE，若点M是GF的中点，，，，则DE的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，，.
∵是的中点，
∴.
∴是的中位线.
∴.
∵ ，
∴.
∴.
∴.
故答案为：B.
【分析】首先判断出是的中位线，利用中位线性质能得到长. 然后利用勾股定理计算出、，从而得到长，最后继续利用勾股定理即可计算出.
4．（2025八下·浙江期中） 如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD是∠BAC的角平分线，AE是BC上的中线，过点 C作CG⊥AD于F，交AB于 G，连结EF，则线段EF的长为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵ AD是∠BAC的角平分线，
∴∠DAG=∠DAC.
∵CG⊥AD于点F，
∴∠AFG=∠AFC=90°，
∵AF=AF，
∴△AFG≌△AFC(ASA)，
∴AG=AC=3，GF=FC.
∵AB=4，
∴BG=AB－AG=1.
∵GF=FC，AE是BC上的中线，
∴EF是△BCG的中位线，
∴.
故答案为：B.
【分析】结合角平分线的定义和垂线的定义可证明△AFG≌△AFC，由全等三角形的性质可得AG=AC=3，GF=FC，继而可得BG长，再由中位线的定义即可求得EF的长.
5．（2025八下·阳东期中）如图，将两个宽为的直尺交叉叠放在一起，重合的部分构成一个四边形，转动其中一个直尺，另一个保持不动，下列结论：①四边形 始终是平行四边形； ②； ③四边形的周长保持不变； ④当时， 四边形的面积为，其中一定正确的是（　　）
A．①④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
则①②正确；
随着直尺转动，边长变化，可知四边形周长发生变化，
∴③不正确；
过点A作，交于点E，
在中，，
∴，
∴四边形的面积为，则④正确，
可知正确的有①②④．
故答案为：C．
【分析】先证出四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质可得，从而可判断出①②是否正确；再利用四边形的周长公式求解并判断出③是否正确；再利用四边形的面积公式求出四边形ABCD的面积，从而可判断出④是否正确，从而得解.
6．（2025八下·钱塘期中）如图，在中，过对角线上任意一点P作，，且，若的面积为1，则的面积为（　　）
A．9 B． C．12 D．18
【答案】D
【知识点】三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：由题意可得，四边形，四边形、四边形，四边形都是平行四边形，，，
，，
∵，，
∵，
，（与平行四边形高相等）
，
故选：D．
【分析】利用平行四边形的性质及三角形的面积关系，可以计算出平行四边形的面积，从而解决本题。
7．（2025八下·罗湖期末） 如图，有两个完全重合的和，把绕点A按逆时针方向转动，使得点E落在的边CD上，连接BG，，，，则BG的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，如图所示：
由旋转的性质可知，AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，
∴∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，
∴∠CEB＝∠ABE，BM，
∴∠BEN＝∠BEM，
又∵BE＝BE，
∴△BEN≌△BEM（AAS），
∴BN＝BMGH，
又∵∠GQH＝∠BQN，
∴△QGH≌△QBN（AAS），
∴BQ＝CQ，HQ＝NQ，
∴BG＝2BQ，
∵AB，
∴AN2，
∴HN＝AN﹣AH，
∴HQ＝NQ，
∴BQ，
∴BG＝2BQ．
故答案为：B
【分析】连接BE，过B作BM⊥CD于M，BN⊥AE于N，过G作GH⊥AE于H，先根据旋转的性质得到AE＝AB，AG＝AD＝2，∠GAE＝∠DAB＝45°，则∠AEB＝∠ABE，AH＝GH，再根据平行四边形的性质得到CD∥AB，∠C＝∠DAB＝45°，BC＝AD＝2，则∠CEB＝∠ABE，BM，根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明△BEN≌△BEM得到BN＝BMGH，再证明△QGH≌△QBN（AAS）得到BQ＝CQ，HQ＝NQ，进而根据勾股定理求出AN，从而即可得到HQ＝NQ，再根据勾股定理求出BQ，根据BG=2BQ即可求解。
8．（2024八下·南充期中）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，，，直线过点，连接，交于点，连，的周长等于，下列说法正确的个数为（　　）
；；；．
A．个 B．个 C．个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵的周长等于，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∵，
∴，
即，
∴，故正确；
过点作于M，交与，
∵，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∵，，
∴，故正确；
过点作于，交于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
过点作的延长线于点，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，故正确；
∴说法正确的个数有个，
故选：．
【分析】根据三角形的周长得到，利用三线合一可得，即可判断；过点作，交与，利用AAS得到，即可得到，同理得到，再由三角形的面积公式即可判断；过点于，交于，根据三角形面积公式可得，即可判断；过点作的延长线于点，根据两直线平行，同位角相等得到，即可得到，根据30°的直角三角形的性质可得，根据勾股定理求出，再在中，由勾股定理求出的长判断解答即可．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025八下·期中）如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
点和点到直线的距离相等，
设点到的距离为，
的面积为，
，
解得，
四边形的面积．
故答案为：8．
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质以及三角形、平行四边形的面积公式，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形为平行四边形，得到，进而求出的长度，由可知点和点到直线的距离相等，设该距离为，根据三角形面积公式求出，再利用平行四边形面积公式计算其面积。
10．（2025八下·余姚期中） 如图，在□ABCD中，∠A=60°，E是AD上一点，连接BE.将△ABE沿BE对折得到△A'BE，当点A'恰好落在边AD上时，A'D=4（图甲)，当点A'恰好落在边CD上时，A'D=6（图乙)，则AB=　 　.
【答案】38
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作，
设，
在图甲中，
由轴对称的性质可得，
，
，
，
，
在图乙中，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
.
故答案为：38.
【分析】设，由轴对称的性质可得，，在图乙中作，利用含角直角三角形的性质可得CF=x+2，A'F=x-8，再利用勾股定理列出关于x的方程，解得x=19，进而求得AB的长度.
11．（2025八下·成都期中）如图，△ABC中，∠A=45°，D、E分别在AC、AB上，BD、CE交于点O，BD=CE，∠BOC=120°，若，CD=6，则BD=　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：点C作NF∥AB， 且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，则∠DCN =∠A=45°，
∴DN=CN，由勾股定理得： ，
∵CF\|BE， CF=BE，
∴四边形BEFC为平行四边形，
∴BF = EC = BD，BF∥EC，
∴∠DBF=180°-∠BOC =180°-120°= 60°
∴△BDF为等边三角形，
∴BD=DF，
由勾股定理得：
故答案为：
【分析】过点C作NF∥AB，且CF= BE， 过点D作DN⊥FN于N，根据勾股定理求出DN、CN，进而求出FN，根据平行四边形的性质得到BF =EC =BD，BF∥EC，根据等边三角形的性质得到BD =DF，根据勾股定理求出DF，得到答案.
12．（2024八上·威宁期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接.若的面积为，则的长为　 　cm.
【答案】30
【知识点】三角形的面积；等腰梯形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB交Ab于点G，过点C作CH⊥AB交AB于点H，如图所示：
∵△DCE的面积为，，
∴CD×EF=36，
∴3EF=36，
解得：EF=12，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AG=BH，DC//AB，
∴CH⊥DF，
∵CE⊥BC，
∴∠ECF=90°-∠BCF=∠BCH，
在△ECF和△BCH中，
，
∴△ECF≌△BCH（AAS），
∴EF=BH=12，
∴AG=12，
∵DG⊥AB，CH⊥AB，DC//AB，
∴GH=CD=6，
∴AB=AG+GH+BH=12+6+12=30，
故答案为：30.
【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点D作DG⊥AB交Ab于点G，过点C作CH⊥AB交AB于点H，先利用三角形的面积公式求出EF的长，再利用“AAS”证出△ECF≌△BCH，可得EF=BH=12，再求出GH=CD=6，最后利用线段的和差求出AB的长即可.
13．（2025八下·成都月考）如图， ABCD中，AC，BD交于O，AE平分∠BAD，EC＝CD＝1，∠ECD＝2∠CDA．下列结论：①AC平分∠EAD；②OE＝AD；③BD＝；④S ABCD＝．正确的有　 　个．
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BCAD，
∴∠BCD＋∠CDA＝180°，
∵∠ECD＝2∠CDA，
∴∠CDA＝∠ABC＝60°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，
∵EC＝CD＝AB，
∴AE＝CE，
∴∠EAC＝∠CAD＝∠ECA，
故①正确，
（2）由(1)可知：BE＝CE，BC＝2AB，
∵OA＝OC，
∴OE＝，
故②正确；
（3）由（1）可知AB＝1，BC＝2，∠EAC＝∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝，
∴OB＝＝＝，
∴BD＝2OB＝，
故③正确；
（4）由（3）可知，S平行四边形ABCD＝2S△ABC＝AB AC＝．
故④正确．
故答案为：4．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
证明△ABE是等边三角形，由等边三角形的性质得出AB＝BE＝AE，∠AEB＝60°，得出AE＝CE，可判断①正确；由三角形中位线定理得出OE＝，则可得出②正确；证明∠BAC＝90°，由勾股定理求出OB的长，则可得出③正确；由平行四边形的面积可得出④正确．
三、解答题（共7题，共61分）
14．（2023八下·余姚期中）如图，在中，，过点A作于点，且，连接，延长至点，连接，使∠，若，求的长．
【答案】解：∵，∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质证得、然后根据AAS得到，即可得到，进而可得，再根据勾股定理解答即可．
15．（2025八下·三台月考）图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下，
∵AC=8cm，AB=6Cm，BC=10cm，
又∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积；勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理算出DE=12dm，过点A作AG⊥BC于点G，利用等面积法建立方程求出AG的长，由平行线间的距离相等可得点D到地面的距离等于DE+AG+r，从而代值计算可得答案.
（1）解：是直角三角形，理由如下，
已知，，，
∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
16．（2025八下·临海月考） 小吴和小李一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中，以AB、BC为边作.
小吴：如图2，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
小李：如图3，分别以点A、点C为圆心，相同长度（大于AC）为半径作弧，两弧分别相交于点M、N，连接MN交AC于点O，作射线BO，并截取，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求.
（1） 填空：判断他们的作图方法是否正确.（填“正确”或“错误”）
① 小吴的作法　 　；② 小李的作法　 　.
（2） 从(1)中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程）
【答案】（1）正确；正确
（2）解：选择①，∵， ，
∴ABCD为平行四边.
选择②，∵， ，
∴ABCD为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）小吴的方法可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判断；小李的方法可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判断；
（2）若选小吴的方法，就证明两组对边相等；若选小李的方法，就证明对角线互相平分.
17．（2024八下·深圳期中）如图所示，在中，点D，E分别为，的中点，点H在线段上，连接，点G，F分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵点D、E分别为AB，AC的中点
，，
∵点G、F分别为BH，CH的中点，
，
，
∴四边形DEFG为平行四边形
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
为中点，
即线段的长度为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
（1）由三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半可得：，，，，等量代换得，，再由平行四边形的判定：一组对边平行 且相等的四边形是平行四边形，可知：四边形为平行四边形，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质：对边相等可知：，再由勾股定理在Rt△BDG中 ，求出的长，最后结合中点的定义可知：，即可得到答案．
18．（2025八下·河源期末）如图，
（1）已知四边形，现有下列三个条件：①；②；③．请从中选择两个能证明四边形是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2）若四边形是平行四边形．
①实践与操作：利用尺规作的平分线，交于点E；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
②猜想与证明：在上述操作的条件下，试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：选择②③；证明如下；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解： ① ：作角平分线如图1；
②，理由如下；
∵是平行四边形，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；平行四边形的判定与性质；尺规作图-作角的平分线；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】(1)根据两直线平行同旁内角互补得到， 等量代换得到，根据平行线的判定得到， 由此根据平行四边形的判定可得到四边形是平行四边形；
（2）①根据尺规作图作出角平分线，解答即可；
②根据平行四边形的性质得到， 根据角平分线的概念得到， 根据平行线的判定得到，再根据等腰三角形的性质得到， 再计算线段的和差即可解答.
19．（2025八下·江门期末）综合与探究
【问题情境】在△ABC中，分别以AB和AC为边向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，其中∠ADB=∠AEC=90°，AD=BD，AE=CE，F是边BC的中点.
【猜想验证】
（1）如图1，若DM丄AB，ENLAC，垂足分别是M，N，连接MF，NF.试判断四边形AM-FN的形状，并说明理由。
（2）【深入探究】
如图2，连接DF，EF.
①试判断线段DF与EF的数量关系和位置关系，并说明理由，
②若DF=，求四边形ADBC和△ACE的面积之和.
【答案】（1）证明：∵ DM丄AB ， ∠ADB=90°， AD=BD，
∴M为AB中点，
∵ F是边BC的中点 ，
∴FM //AC 即FM//AN
∵ EN⊥AC， ∠AEC=90° ， AE =CE
∴N为AC中点，
∵F为BC中点，
∴FN//AB即 FN//AM，
∴四边形 ANFM为平行驰形；
（2）① DF=EF， DFEF，理由如下：延长DF至H，使得FH=DF，连接CH，EH，DE，
∵BF=CF，DF=HF， ∠DFB=∠HFC，
∴ △BDF△CHF(SAS)
∴BD=CH，∠DBF=∠BCH，
∵AD=BD
∴AD=BD=CH
∵四边形BDEC内角和为360，
∴∠ADE+∠DEA+∠BDA+∠AEC+∠DBF+∠ECF=360
∵ ∠ADB=∠AEC=90° ，
∴∠ADE+∠DEA+∠DBF+∠ECF=180，
∴∠ADE+∠DEA+∠ECF+∠BCH=180，
∴∠ADE+∠DEA+∠ECH=180，
∵∠ADE+∠DEA+∠DAE=180，
∴∠DAE=∠ECH，
∵AD=CH，EC=AE，
∴ △DAE△HCE(SAS)，
∴DE=EH，∠DEA=∠CEH，
∴∠DEH=∠AEC=90° ，
∴△DEH为等腰直角三角形，
∵F是边DH的中点
∴DF=EF， DFEF
② 由① 可知△BDF△CHF，△DAE△HCE
∴S△BDF=S△CHF，S△DAE=S△HCE
∴ 四边形ADBC的面积+△ACE的面积=S△BDF+S四ADFC+S△AEC
=S△CHF+S四ADFC+S△AEC
=S△DEF-S△ADE+S△CHF+S△HCE
=S△DEF+S△HEF=S△DEH
∵DF=，
∴
∴DH=2，
∵EF，
∴S△DEH=
∴ 四边形ADBC的面积于△ACE的面积之和为2.
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS；多边形的内角和公式；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 (1) 根据等腰直角三角形三线合一的性质得到M为AB中点，N为AC中点，再结合中位线定理即可解答；
(2) ① 延长DF至H，使得FH=DF，连接CH，EH，DE，利用SAS证明 △BDF△CHF；利用全等三角形的性质和四边形BDEC内角和为360计算转化可得∠DAE=∠ECH，即可利用SAS证明△DAE△HCE，再根据等腰直角三角形的三线合一性质可得到DF=EF， DFEF，解答即可；
②通过全等三角形的性质可得S△BDF=S△CHF，S△DAE=S△HC，即可表示处四边形ADBC的面积+△ACE的面积转化可得S△DEH，根据面积公式即可计算出S△DEH的的值为2，由此解答即可.
20．（2025八下·龙华期末）综合与实践
数学活动课上，同学们对两个完全相同的直角三角形纸片（如图1）围绕拼接、平移、旋转开展操作研究。
（1）【活动一】拼接
将两个三角形纸片按图2方式进行拼接（点A与点F重合，点C与点D重合），求四边形ABCE的周长；
（2）【活动二】平移
在图2中，将△ABC纸片沿射线FE的方向平移。在平移过程中，两个纸片的重叠部分为四边形AMDN，如图3所示。
①求证：四边形AMDN是平行四边形；
②若点A为EF的中点，则四边形AMDN的周长为 ▲ 。
（3）【活动三】旋转
在图3中，当点A为EF的中点时，将△DEF绕点F顺时针旋转一周。在旋转过程中，若两个纸片的重叠部分为等腰三角形，直接写出旋转角的度数。
【答案】（1）解：由图1可知，∠B=∠E=30°，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，
∴AB=DE=2AC=6，
∴由勾股定理得：BC=AE=
∴
（2）解： ①∵平移，
∴AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ACDF是平行四边形。
∴AN∥DM
又∵EF=BC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴DN∥AM。
∴四边形AMDN是平行四边形。
②9
（3）60°或240°
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②AN=DM=，AM=DN=，
∴ 四边形AMDN的周长 =2（AN+AM)=2（）=9.
故答案为：9；
（3）解：当 △DEF顺时针旋转60°时：位于△D1E1F； 当 △DEF顺时针旋转240°时：位于△D2E2F，
当△DEF顺时针旋转60°时，此时两个三角形重合部分为△AD1G，
∵AB∥DF，
∴∠AD1F=∠D1FD=60°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△AD1G为等边三角形，符合题意；
当△DEF顺时针旋转240°时，此时两个三角形重合部分为△PQC，
∵∠PQC=∠AQE1=∠BAC-∠D1E1F=30°=∠PCQ，
∴△PQC为等腰三角形，符合题意。
故旋转角的度数为：60°或240°。
【分析】（1）首先根据含30°锐角的直角三角形的性质求出AB和BC的长度，进而求出四边形ABCE的周长；
（2）①根据一组对边平行切线等即可判定得出 四边形 ACDF 是平行四边形，可得出AN∥DM ，再通过证明四边形AEDB是平行四边形， 可得出DN∥AM，进而得出四边形AMDN是平行四边形；②根据 点A为EF的中点， 可得出AN=DM=，AM=DN=，进而即可得出 四边形AMDN的周长；
（3）当 △DEF顺时针旋转60°时，两个三角形重合部分为△AD1G为等边三角形，符合题意；当△DEF顺时针旋转240°时，两个三角形重合部分△PQC为等腰三角形，符合题意。
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