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2026北京海淀高三一模
数 学
2026.04
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集，，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知等差数列，，，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）抛物线的焦点为，点在上，且，则线段中点的横
坐标为
（A） （B）
（C） （D）
（4）若函数是奇函数，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）在中，，，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知，则
（A） （B）
（C） （D）
（7） 在某密码系统中，生成密码需要从含有个符号的字符集中随机选择字符. 密码熵（单位：比特）的计算公式为, 其中为密码长度. 根据密码熵估计表，当时，比特. 若某用户将密码长度从增加到，则密码熵的增加量约为
（A）比特 （B）比特
（C）比特 （D）比特
（8）已知函数 则“”是“在上为单调函数”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知平行四边形的两个顶点为，，另两个顶点在圆上. 若对于给定的，这样的平行四边形有且只有一个，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知平面上的点满足, 且, 则下列等式中一定不成立的是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）若复数满足，则_______，_______．
（12）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上一点满足，则_______.
（13）设等比数列的前项和为. 若，则公比_______．
（14）将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得图象位于图象的上方，则的一个取值为_______,的最大值为_______．
（15）如图，正方体的棱长为，以底面的中心为原点建立空间直角坐标系，其中坐标轴分别与正方体的三条棱平行. 设正方体表面及其内部所有点构成的集合为，集合，记为中所有点构成的几何体. 给出下列四个结论：
① ；
② 被平面所截的截面面积为；
③ 的体积大于；
④ 表面上的点到点的距离的最小值为.
其中所有正确结论的序号是_______．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数两个相邻零点的距离为，且.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，求的单调递增区间.
（17）（本小题14分）
如图，在直四棱柱中，,,,，分别为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）从下列条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知条件，使得
直四棱柱存在且唯一，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：与平面所成角为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题13分）
为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表：
学 区 甲 乙
性 别 男 女 男 女
达到预期 260人 200人 240人 190人
未达到预期 190人 150人 60人 110人
假设所有教师的评价相互独立. 用频率估计概率.
（I） 估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率；
（Ⅱ）若教师的评价为“达到预期”，则赋分为；若教师的评价为“未达到预期”则赋分为.
（ⅰ）从这两个学区的所有男教师中随机抽取人，所有女教师中随机抽取人，记随
机变量为这人的赋分之和，估计的数学期望；
（ⅱ）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为. 比较，，的大小.（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆的离心率为, 其左、右焦点和上顶点构成的三角形面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，为第一象限内上的动点，点在直线上，且. 过作的垂线交直线于，求的值.
（20）（本小题15分）
设函数.
（Ⅰ）当时，求证：直线是曲线的切线；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）判断函数是否存在极值. 如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由.
（21）（本小题15分）
对于正整数，集合. 给定集合的一个子集，对于中的元素，若存在且，使得集合与的交集所含元素个数为或，则称为的一个“同形点”.
（Ⅰ）当时，写出集合的所有“同形点”；
（Ⅱ）当只有一个元素时，求其“同形点”的个数；
（Ⅲ）若的任意子集都有“同形点”，求的最小值.
（考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B （2）B （3）C （4）A （5）C
（6）D （7）A （8）A （9）D （10）B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14）（答案不唯一）
（15）② ③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ．
所以 .
因为的两个相邻零点的距离为，
所以的最小正周期.
所以 .
所以 ，.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
所以 ．
令
解得
的单调递增区间为．
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）法一：取中点，连接，
因为直四棱柱，
所以四边形 为平行四边形.
因为分别是的中点，
所以 ，，
又 ，点是的中点，
所以 .
所以 四边形为平行四边形.
所以 .
因为 平面平面
所以 平面.
法二：
在直四棱柱中，连接，
因为 ，，为中点，
所以 ，
又因为 ，即，
所以四边形为平行四边形，
所以 ，
又因为 ，，，
且 平面，平面，
所以平面 平面，
又 平面，
所以 平面.
（Ⅱ） 连接.
因为 ，
所以 ，由，
所以 ，
又因为 平面，
所以 ,
所以 两两垂直，
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.
选②：
连接，在中，
因为 ，，
所以 ，所以，
所以 ，
,，
设平面的法向量为，
则，
即
令，则，
所以，
又平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，
所以 .
选③：
因为 平面，
所以为在平面上的射影，
所以为与平面所成的角.
因为与平面所成角为，
所以.
在中，，
所以，后续解法同②.
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据题中数据，样本中甲学区教师的人数为人，其中评价为“达到预期”的人数为人，
所以甲学区教师评价为“达到预期”的概率估计为.
（Ⅱ）(i) 的取值范围为.
男教师的评价为“达到预期”的概率估计值为
女教师的评价为“达到预期”的概率估计值为
所以 ，
，，
，
所以 .
(ii)
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意得
解得，，．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）设 .
因为 ，
所以.
当 时，
解得.
直线为 ，
又直线为 ，
所以 ，.
法一：
当 时，
所以 ，
直线的方程为，
又为 ，
联立得 ，所以
所以
法二：
当时，，
所以，
方程为
又为 ，
联立得 ， ，
， ，
，
所以 .
所以
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当时，，定义域为.
所以 ．
因为 ，，
所以曲线在点处的切线为 .
问题得证.
（Ⅱ）因为．
令，得，．
当时，的定义域为.
，
与的变化情况如下表：
↘ 极小值 ↗
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
当时，的定义域为.
，
与的变化情况如下表：
↘ 极小值 ↗
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（Ⅲ）不存在极值.
因为 ，
所以 ，
由 （Ⅱ）知，
当 时，，所以 ，
当 时，，所以 ，
且，
所以，不存在极值.
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）；
（Ⅱ）的“同形点”的个数为.
证明如下：
设，由题：取集合.
若为的“同形点”，应有，且.
当时，若且，取为，
则与的交集元素个数为0，
此时为的“同形点”，共有个；
当时，同理可得中除外，
其余元素都是的“同形点”， 共有个；
当时，同理可得中除外，
其余元素都是的“同形点”，共有个；
当时，同理可得中除外，其余元素都是的“同形
点”，共有个.
综上可得的“同形点”的个数为.
（Ⅲ） 的最小值为21.
证明如下：
首先当时，，由对称性不妨设中元素个数不少于11，
对于，设的元素个数为，
若存在，因为，所以存在，有，不妨设，
则中至少一个是的“同形点”；
若恒成立，因为，所以存在，
有，因为，
所以存在，，使得，
不妨设，则为的“同形点”.
其次当时，不妨设；
若，则，
取
可得其无“同形点”；
若，则，
取，
可得其无“同形点”；
综上的最小值为21.

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