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湖南省常德市临澧县2024—2025学年下学期九年级期中质量监测试卷数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．（2025九下·临澧期中）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上记作，则表示气温为（　　）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，表示气温为零下；
故答案为：B．
【分析】
根据正负数表示一组相反意义的量，零上为正，则零下为负，判断即可解答．
2．（2025九下·临澧期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：2m+n不能合并，原选项错误，不合题意；
B：， 原选项错误，不合题意；
C：，原选项错误，不合题意；
D： ，原选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘除法则，积的乘方，幂的乘方等知识是解题关键。根据法则对选项逐一判断，可得答案。
3．（2025九下·临澧期中）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
故选：B．
【分析】
求代数式求值，利用已知和提公式法分解因式，再整体代入即可．
4．（2025九下·临澧期中）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是 （　　）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
【答案】A
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4， 由概率的意义可知： 小星定点投篮1次，不一定能投中 ，故A选项正确，B选项错误； 小星定点投篮10次，不一定能投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定能投中1次，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】概率是反映随机事件发生可能性大小的量，概率越大，事件发生的可能性就越大，但不代表一定会发生，据此逐一判断得出答案.
5．（2025九下·临澧期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A，代入 ， ，不符合题意；
B，代入 ， ，不符合题意；
C，代入 ， ，不符合题意；
D，代入 ， ，符合题意；
故答案为：D。
【分析】把A，B，C，D选项的四个n的值代入到 的式子中即可。
6．（2025九下·临澧期中）湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆；
故答案为：A．
【分析】根据从前面，左面和上面看得到的几何图形判断解题即可．
7．（2025九下·临澧期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，且其在数轴上表示为：
故选：B．
【分析】
先分别解各不等式，再把各解集表示在同一数轴上即可．
8．（2025九下·临澧期中）函数的自变量的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式成立的条件及分式的分母不等于0即可得出自变量的取值范围。
9．（2025九下·临澧期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论中：①；②；③对任意实数，均成立；④若点，在抛物线上，则．正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数的图象与轴相交于点，，
对称轴是直线，
，
由图像可知，，
，故①正确；
在抛物线上，
，
，
，
，
故，故②错误；
对称轴是直线，且抛物线开口向上，
故当时，取最小值为，
故对任意实数，当时，函数值
故，③正确；
抛物线开口向上，
故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，故④错误；
综上，正确的有个，
故选B．
【分析】
① 由二次函数的图象与系数的关系知，由抛物线与y轴交点的大体位置知，由对称轴的大体位置知同号即，故；
② 由二次函数的对称性可知对称轴为直线，即有，再由抛物线上点的坐标特征知当时有③ 由于抛物线开口向上，则当时，二次函数有最小值，即对于任意实数，总有，即 ；
④ 由于抛物线开口向上，则抛物线上的点到对称轴的距离越大则对应的函数值越大，显然对于点， ，存在．
10．（2025九下·临澧期中）为庆祝中国改革开放47周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是（　　）
A．2007 B．2008 C．2009 D．2010
【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这位参与者的出生年份是，选取的数字为，
，
，
，
由于参与者均为在校中学生，应该在年后，
，
，
故选C．
【分析】
设这位参与者的出生年份是，选取的数字为，再根据题意列出方程进行计算即可．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分，
11．（2025九下·临澧期中）已知方程 ，则 　 　.
【答案】2
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解： ，
，
解得： ，
故答案是：2.
【分析】利用移项、系数化为1进行解方程即可.
12．（2025九下·临澧期中）染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
常用科学记数法把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
13．（2025九下·临澧期中）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长．
故答案为：．
【分析】
直接利用扇形的弧长公式计算即可．
14．（2025九下·临澧期中）如图，三角形硬纸板（记为）在灯光照射下形成投影，若，，则的长是　 　．
【答案】
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由中心投影的定义可得与是位似三角形，
∴，且由位似得，
∴，
得：，
故答案为：．
【分析】
位似图形的位似比等于相似比．
15．（2025九下·临澧期中）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
，
故答案为：．
【分析】图形平移的规律，上加下减、左加右减．
16．（2025九下·临澧期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是　 　．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴盒子中棋子的总个数是12个，
故答案为：12.
【分析】根据简单随机事件概率的计算方法求解即可。
17．（2025九下·临澧期中）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作于E，连接，如图，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由垂径定理知，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，因此可取AB中点E，连接OE、OA，则OE=4、AE=4，再利用勾股定理可得OA即半径的长．
18．（2025九下·临澧期中）对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．当时，若点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，则点的坐标　 　．
【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：点是线段的“等距点”， 点的坐标为，
，
故点横坐标为，
设点的坐标为，
，
，
点是线段的“完美等距点”，
，
，
解得，
点是线段的“完美等距点”，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】
先由“等距点”的概念可得点N在线段OA的垂直平分线上，则点N的横坐标为2，再设点N的纵坐标为b，再利用直线上点的坐标特征可设点P的坐标为，先利用线段垂直平分的性质结合两点距离公式可得b与m的数量关系，再分别求得OP、ON、PN，再由“完美等距点”的概念可分别讨论当OP为直角边或OP为斜边时的情况，再分别利用勾股定理求解即可．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 ．
19．（2025九下·临澧期中）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，负整数幂，立方根，绝对值，熟练掌握相关定义和运算法则是解题的关键．先根据零指数幂，负整数幂，立方根，绝对值的运算法则化简，再按照从左到右的顺序加减运算即可得出答案．
20．（2025九下·临澧期中）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
【答案】解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得，
，
解得：，经检验是原方程的解，
答：该市谷时电价元/度．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意列出分式方程并求解即可.
21．（2025九下·临澧期中）先化简，再求值：，其中是方程的根．
【答案】解：
，
∵是方程的根，
∴，
解得：，，
∴对于分式，
∴，
∴原式．
【知识点】分式有无意义的条件；公式法解一元二次方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分再进行加减运算，再化除法为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后解一元二次方程并结合分式有意义的条件择值计算即可．
22．（2025九下·临澧期中）为了落实“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对学生进行体育科目抽测，女生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，仰卧起坐；男生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，引体向上，每个学生必抽且只抽一个项目．结合信息回答下列问题．
（1）女同学小丽抽中“跳远”属于__________事件；（填“必然”，“随机”或“不可能”）
（2）男同学小明抽中“引体向上”的概率为__________；
（3）请用列表或画树状图的方法，求女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率．
【答案】（1）随机
（2）
（3）解：根据题意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
由表可知共有种等可能的结果，其中女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的有，；，；，共种情况，
故女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率为．
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）女同学小丽抽中“跳远”属于随机事件，
故答案为：随机；
（2）∵男生抽测项目共种等可能事件：坐位体前屈，跳远，米，引体向上，
∴男同学小明抽中“引体向上”的概率为，
故答案为：；
【分析】
（1）利用随机事件，必然事件和不可能事件的定义即可解决；
（2）利用简单事件概率公式计算即可；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，画树状图时注意不重复不遗漏．
（1）解：女同学小丽抽中“跳远”属于随机事件，
故答案为：随机；
（2）解：∵男生抽测项目共种等可能事件：坐位体前屈，跳远，米，引体向上，
∴男同学小明抽中“引体向上”的概率为，
故答案为：；
（3）解：根据题意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
由表可知共有种等可能的结果，其中女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的有，；，；，共种情况，
故女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率为．
23．（2025九下·临澧期中）根据如下素材，完成探索社务．
背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．
素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元．
素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件
素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台．
解决问题
任务 求、两种型号智能机器人的单价；
任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
【答案】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，
根据题意得：，
解得：，
答：、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元；
任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，
则购买型号智能机器人台，
根据题意得：，
∵，
解得：，
∴，
∵，，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值（万件），
（台），
即购买型号智能机器人台，购买型号智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，台型机器人，共需万元”和“买台型机器人，台型机器人，共需万元”建立方程，解方程即可求出答案.
任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出关于的一次函数，再利用“用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台”列出不等式，求出的范围，结合一次函数性质即可求出答案.
24．（2025九下·临澧期中）如图所示，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于，两点，已知点的坐标为．
（1）求的值；
（2）求点的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：将代入，
得：，
解得：；
（2）解：将代入，得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
联立，得：，
解得：，，
∴点的坐标为；
（3）解：设直线交轴于点，
令，则，
得：，
则，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再联立双曲线和直线解析式并求解即可；
（3）先利用直线上点的坐标特征求出点A的坐标，再利用点的坐标与图形性质结合割补法即可．
（1）解：将代入，
得：，
解得：；
（2）解：将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
联立，得：，
解得：，，
∴点的坐标为；
（3）解：设直线交轴于点，
令，则，
得：，
则，
∴．
25．（2025九下·临澧期中）如图，是四边形的外接圆，直径为10，平分，过点D作，交的延长线于点P．
（1）如图①，若是的直径．
①求证：与的相切；
②若，求的度数；
（2）如图②，若，求的最大值．（提示：连接，在上截取）
【答案】（1）解：①证明：连接，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
与相切；
②是的直径，
，
，
，
，
，
平分
，
；
（2）解：如图，连接，在上截取.
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
当为直径，即时，取最大值是．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；旋转全等模型；截长补短构造全等模型；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①证切线，连半径，再证垂直，即连接，可由角平分线的概念、等边对等角结合直角三角形两锐角余证得PD垂直OD即可；
②先由圆周角定理的推论可得，再由圆周角定理可得AB＝BC，再由等边对等角结合直角三角形两锐角互余可得，再利用邻补角结合角平分线的概念可得，再利用直角三角形两锐角互余即可；
（2）连接，在上截取，先由角平分线的概念、圆周角定理结合平角的概念可得，即可证和都是等边三角形，则由旋转全等模型可得，则AB＝EC、AD＝AE，即AB+AD转化为弦AC的长，显然当AC为直径时AB+AD有最大值，最大值为10．
（1）解：①证明：连接，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
与相切；
②是的直径，
，
，
，
，
由①知，
，
，
，
；
（2）解：如题图，连接，在上截取，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
当为直径，即时，取最大值是．
26．（2025九下·临澧期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）或或或或．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
解：（3）存在，理由如下：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
【分析】（1）利用交点式可求抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，则可利用直线上点的坐标特征设点P的坐标，由于PQ垂直x轴，则由抛物线上点的坐标特征可得点Q的坐标，即线段PQ可转化为点P的横坐标的二次函数，由于二次项系数为负，再利用二次函数的性质即可求出PQ 的最大值；
（3）由（2）知，直线PQ平行y轴，若，则直线QC与DQ关于直线PQ对称，可利用待定系数法先求出直线CQ的解析式，再利用直线上点的坐标特征求出直线CQ与x的交点M的坐标，则轴对称的性质结合中点坐标公式可得直线DQ与x轴的交点M`的坐标，再利用待定系数法求出直线DQ的解析式，再联立直线DQ与抛物线的解析式可得点D的坐标，再设出点E的坐标，则可利用两点距离公式分别表示出BD、BE、DE，再利用等腰三角形的概念分类讨论并列方程求解即可．
（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）解：存在，理由：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
1 / 1湖南省常德市临澧县2024—2025学年下学期九年级期中质量监测试卷数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1．（2025九下·临澧期中）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上记作，则表示气温为（　　）
A．零上 B．零下 C．零上 D．零下
2．（2025九下·临澧期中）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·临澧期中）若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·临澧期中）小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是 （　　）
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
5．（2025九下·临澧期中）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（　　）
A． B． C．0 D．
6．（2025九下·临澧期中）湖南自古就有“鱼米之乡”的美誉，明清时期更有“湖广熟，天下足”之说，如图①量某粮仓的实物图，图②是其抽离出来的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同
7．（2025九下·临澧期中）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·临澧期中）函数的自变量的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．且
9．（2025九下·临澧期中）如图，二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论中：①；②；③对任意实数，均成立；④若点，在抛物线上，则．正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025九下·临澧期中）为庆祝中国改革开放47周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是（　　）
A．2007 B．2008 C．2009 D．2010
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分，
11．（2025九下·临澧期中）已知方程 ，则 　 　.
12．（2025九下·临澧期中）染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为　 　．
13．（2025九下·临澧期中）若扇形的圆心角为，半径为4，则扇形的弧长为　 　．
14．（2025九下·临澧期中）如图，三角形硬纸板（记为）在灯光照射下形成投影，若，，则的长是　 　．
15．（2025九下·临澧期中）将正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为　 　．
16．（2025九下·临澧期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则盒子中棋子的总个数是　 　．
17．（2025九下·临澧期中）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为　 　．
18．（2025九下·临澧期中）对于线段和点，定义：若，则称点为线段的“等距点”；特别地，若，则称点是线段的“完美等距点”．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，点是直线上一动点．当时，若点是线段的“等距点”，也是线段的“完美等距点”，则点的坐标　 　．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 ．
19．（2025九下·临澧期中）计算：
20．（2025九下·临澧期中）为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：7：00—23：00，用电低谷时段（简称谷时）：23：00—次日7：00，峰时电价比谷时电价高元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为50元，谷时电费为30元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价．
21．（2025九下·临澧期中）先化简，再求值：，其中是方程的根．
22．（2025九下·临澧期中）为了落实“阳光体育”，提升学生的综合素养，某学校对学生进行体育科目抽测，女生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，仰卧起坐；男生抽测项目为：坐位体前屈，跳远，米，引体向上，每个学生必抽且只抽一个项目．结合信息回答下列问题．
（1）女同学小丽抽中“跳远”属于__________事件；（填“必然”，“随机”或“不可能”）
（2）男同学小明抽中“引体向上”的概率为__________；
（3）请用列表或画树状图的方法，求女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率．
23．（2025九下·临澧期中）根据如下素材，完成探索社务．
背景 快递公司为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．
素材 买台型机器人，台型机器人，共需万元； 买台型机器人，台型机器人，共需万元．
素材 型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件
素材 用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台．
解决问题
任务 求、两种型号智能机器人的单价；
任务 选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？
24．（2025九下·临澧期中）如图所示，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于，两点，已知点的坐标为．
（1）求的值；
（2）求点的坐标；
（3）求的面积．
25．（2025九下·临澧期中）如图，是四边形的外接圆，直径为10，平分，过点D作，交的延长线于点P．
（1）如图①，若是的直径．
①求证：与的相切；
②若，求的度数；
（2）如图②，若，求的最大值．（提示：连接，在上截取）
26．（2025九下·临澧期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】具有相反意义的量；正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，表示气温为零下；
故答案为：B．
【分析】
根据正负数表示一组相反意义的量，零上为正，则零下为负，判断即可解答．
2．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：2m+n不能合并，原选项错误，不合题意；
B：， 原选项错误，不合题意；
C：，原选项错误，不合题意；
D： ，原选项正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘除法则，积的乘方，幂的乘方等知识是解题关键。根据法则对选项逐一判断，可得答案。
3．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
故选：B．
【分析】
求代数式求值，利用已知和提公式法分解因式，再整体代入即可．
4．【答案】A
【知识点】概率的意义；利用频率估计概率
【解析】【解答】解： 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4， 由概率的意义可知： 小星定点投篮1次，不一定能投中 ，故A选项正确，B选项错误； 小星定点投篮10次，不一定能投中4次，故选项C错误；
小星定点投篮4次，不一定能投中1次，故选项D错误.
故答案为：A.
【分析】概率是反映随机事件发生可能性大小的量，概率越大，事件发生的可能性就越大，但不代表一定会发生，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A，代入 ， ，不符合题意；
B，代入 ， ，不符合题意；
C，代入 ， ，不符合题意；
D，代入 ， ，符合题意；
故答案为：D。
【分析】把A，B，C，D选项的四个n的值代入到 的式子中即可。
6．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：这个几何体的主视图与左视图相同，底层是一个矩形，上层是一个等腰三角形，俯视图是一个带圆心的圆；
故答案为：A．
【分析】根据从前面，左面和上面看得到的几何图形判断解题即可．
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，且其在数轴上表示为：
故选：B．
【分析】
先分别解各不等式，再把各解集表示在同一数轴上即可．
8．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式成立的条件及分式的分母不等于0即可得出自变量的取值范围。
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：二次函数的图象与轴相交于点，，
对称轴是直线，
，
由图像可知，，
，故①正确；
在抛物线上，
，
，
，
，
故，故②错误；
对称轴是直线，且抛物线开口向上，
故当时，取最小值为，
故对任意实数，当时，函数值
故，③正确；
抛物线开口向上，
故抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，故④错误；
综上，正确的有个，
故选B．
【分析】
① 由二次函数的图象与系数的关系知，由抛物线与y轴交点的大体位置知，由对称轴的大体位置知同号即，故；
② 由二次函数的对称性可知对称轴为直线，即有，再由抛物线上点的坐标特征知当时有③ 由于抛物线开口向上，则当时，二次函数有最小值，即对于任意实数，总有，即 ；
④ 由于抛物线开口向上，则抛物线上的点到对称轴的距离越大则对应的函数值越大，显然对于点， ，存在．
10．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设这位参与者的出生年份是，选取的数字为，
，
，
，
由于参与者均为在校中学生，应该在年后，
，
，
故选C．
【分析】
设这位参与者的出生年份是，选取的数字为，再根据题意列出方程进行计算即可．
11．【答案】2
【知识点】利用合并同类项、移项解一元一次方程
【解析】【解答】解： ，
，
解得： ，
故答案是：2.
【分析】利用移项、系数化为1进行解方程即可.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
常用科学记数法把一个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数位个数与1的差．
13．【答案】
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：扇形的弧长．
故答案为：．
【分析】
直接利用扇形的弧长公式计算即可．
14．【答案】
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：由中心投影的定义可得与是位似三角形，
∴，且由位似得，
∴，
得：，
故答案为：．
【分析】
位似图形的位似比等于相似比．
15．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：正比例函数的图象向上平移3个单位长度后得到函数图象的解析式为：
，
故答案为：．
【分析】图形平移的规律，上加下减、左加右减．
16．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：，
∴盒子中棋子的总个数是12个，
故答案为：12.
【分析】根据简单随机事件概率的计算方法求解即可。
17．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：过点O作于E，连接，如图，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由垂径定理知，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，因此可取AB中点E，连接OE、OA，则OE=4、AE=4，再利用勾股定理可得OA即半径的长．
18．【答案】或
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰直角三角形；坐标系中的两点距离公式；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：点是线段的“等距点”， 点的坐标为，
，
故点横坐标为，
设点的坐标为，
，
，
点是线段的“完美等距点”，
，
，
解得，
点是线段的“完美等距点”，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得或，
当时，，
当时，，
点的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】
先由“等距点”的概念可得点N在线段OA的垂直平分线上，则点N的横坐标为2，再设点N的纵坐标为b，再利用直线上点的坐标特征可设点P的坐标为，先利用线段垂直平分的性质结合两点距离公式可得b与m的数量关系，再分别求得OP、ON、PN，再由“完美等距点”的概念可分别讨论当OP为直角边或OP为斜边时的情况，再分别利用勾股定理求解即可．
19．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；开立方（求立方根）
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，负整数幂，立方根，绝对值，熟练掌握相关定义和运算法则是解题的关键．先根据零指数幂，负整数幂，立方根，绝对值的运算法则化简，再按照从左到右的顺序加减运算即可得出答案．
20．【答案】解：设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意得，
，
解得：，经检验是原方程的解，
答：该市谷时电价元/度．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则峰时电价元/度，根据题意列出分式方程并求解即可.
21．【答案】解：
，
∵是方程的根，
∴，
解得：，，
∴对于分式，
∴，
∴原式．
【知识点】分式有无意义的条件；公式法解一元二次方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分再进行加减运算，再化除法为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化结果为最简分式或整式，最后解一元二次方程并结合分式有意义的条件择值计算即可．
22．【答案】（1）随机
（2）
（3）解：根据题意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
由表可知共有种等可能的结果，其中女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的有，；，；，共种情况，
故女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率为．
【知识点】事件的分类；用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）女同学小丽抽中“跳远”属于随机事件，
故答案为：随机；
（2）∵男生抽测项目共种等可能事件：坐位体前屈，跳远，米，引体向上，
∴男同学小明抽中“引体向上”的概率为，
故答案为：；
【分析】
（1）利用随机事件，必然事件和不可能事件的定义即可解决；
（2）利用简单事件概率公式计算即可；
（3）两步试验可通过画树状图或列表法求概率，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，画树状图时注意不重复不遗漏．
（1）解：女同学小丽抽中“跳远”属于随机事件，
故答案为：随机；
（2）解：∵男生抽测项目共种等可能事件：坐位体前屈，跳远，米，引体向上，
∴男同学小明抽中“引体向上”的概率为，
故答案为：；
（3）解：根据题意，列表如下：
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
， ， ， ，
由表可知共有种等可能的结果，其中女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的有，；，；，共种情况，
故女同学小丽和男同学小明抽中相同项目的概率为．
23．【答案】解：任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，
根据题意得：，
解得：，
答：、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元；
任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，
则购买型号智能机器人台，
根据题意得：，
∵，
解得：，
∴，
∵，，
∴随的增大而增大，
∴当时，取得最大值（万件），
（台），
即购买型号智能机器人台，购买型号智能机器人台，能使每天分拣快递的件数最多．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】任务：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元、万元，利用“买台型机器人，台型机器人，共需万元”和“买台型机器人，台型机器人，共需万元”建立方程，解方程即可求出答案.
任务：设每天分拣快递的件数为万件，购买型号智能机器人（，且为整数）台，则购买型号智能机器人台，列出关于的一次函数，再利用“用不超过万元购买、两种型号智能机器人共台”列出不等式，求出的范围，结合一次函数性质即可求出答案.
24．【答案】（1）解：将代入，
得：，
解得：；
（2）解：将代入，得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
联立，得：，
解得：，，
∴点的坐标为；
（3）解：设直线交轴于点，
令，则，
得：，
则，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再联立双曲线和直线解析式并求解即可；
（3）先利用直线上点的坐标特征求出点A的坐标，再利用点的坐标与图形性质结合割补法即可．
（1）解：将代入，
得：，
解得：；
（2）解：将代入，
得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为，一次函数解析式为，
联立，得：，
解得：，，
∴点的坐标为；
（3）解：设直线交轴于点，
令，则，
得：，
则，
∴．
25．【答案】（1）解：①证明：连接，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
与相切；
②是的直径，
，
，
，
，
，
平分
，
；
（2）解：如图，连接，在上截取.
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
当为直径，即时，取最大值是．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；旋转全等模型；截长补短构造全等模型；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①证切线，连半径，再证垂直，即连接，可由角平分线的概念、等边对等角结合直角三角形两锐角余证得PD垂直OD即可；
②先由圆周角定理的推论可得，再由圆周角定理可得AB＝BC，再由等边对等角结合直角三角形两锐角互余可得，再利用邻补角结合角平分线的概念可得，再利用直角三角形两锐角互余即可；
（2）连接，在上截取，先由角平分线的概念、圆周角定理结合平角的概念可得，即可证和都是等边三角形，则由旋转全等模型可得，则AB＝EC、AD＝AE，即AB+AD转化为弦AC的长，显然当AC为直径时AB+AD有最大值，最大值为10．
（1）解：①证明：连接，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
与相切；
②是的直径，
，
，
，
，
由①知，
，
，
，
；
（2）解：如题图，连接，在上截取，
，
，
，
平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
当为直径，即时，取最大值是．
26．【答案】（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）或或或或．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】
解：（3）存在，理由如下：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
【分析】（1）利用交点式可求抛物线解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，则可利用直线上点的坐标特征设点P的坐标，由于PQ垂直x轴，则由抛物线上点的坐标特征可得点Q的坐标，即线段PQ可转化为点P的横坐标的二次函数，由于二次项系数为负，再利用二次函数的性质即可求出PQ 的最大值；
（3）由（2）知，直线PQ平行y轴，若，则直线QC与DQ关于直线PQ对称，可利用待定系数法先求出直线CQ的解析式，再利用直线上点的坐标特征求出直线CQ与x的交点M的坐标，则轴对称的性质结合中点坐标公式可得直线DQ与x轴的交点M`的坐标，再利用待定系数法求出直线DQ的解析式，再联立直线DQ与抛物线的解析式可得点D的坐标，再设出点E的坐标，则可利用两点距离公式分别表示出BD、BE、DE，再利用等腰三角形的概念分类讨论并列方程求解即可．
（1）解：由题意得：，
则，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点B、C的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，则，
即点；
（3）解：存在，理由：
设直线的表达式为，
由点的坐标得，，解得：，
∴直线的表达式为：，
令，，故，
过点作轴交轴于点，则，
，
则，
即直线和关于直线对称，故，
设直线的表达式为，
代入，，得，
解得：，
则直线的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：(舍去)或5，
即点；
设点，由的坐标得，，
当时，则，
解得：，即点或；
当或时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或或；
综上，点或或或或．
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