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四川省自贡市荣县中学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（2025八下·荣县期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·荣县期中）在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，6 B．7，8，10 C．3，4，5 D．1，1，2
3．（2025八下·荣县期中）下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．任意两个邻角互补 D．对角互补
4．（2025八下·荣县期中）下列各图中，能表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·荣县期中）如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·荣县期中）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（　　）
A． B．4 C．5 D．
7．（2025八下·荣县期中）我们在学习四边形时．先学行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（　　）
A．转化 B．归纳
C．由一般到特殊 D．数形结合
8．（2025八下·荣县期中）如图，E、F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
9．（2025八下·荣县期中）化简： =　 　.
10．（2025八下·荣县期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于　 　．
11．（2025八下·荣县期中）若是关于x的正比例函数，则的值为　 　．
12．（2025八下·荣县期中）已知，则　 　
13．（2025八下·荣县期中）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是　 　．
14．（2025八下·荣县期中）如图，在中，，，，若P为上一个动点，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题有5个小题，每小题5分，共25分）
15．（2025八下·荣县期中）计算： ．
16．（2025八下·荣县期中）已知： 四边形中， ，， ， ，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
17．（2025八下·荣县期中）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
18．（2025八下·荣县期中）已知，是实数，且，求．
19．（2025八下·荣县期中）如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，求的长．
四、解答题（本大题有3个小题，每小题6分，共18分）
20．（2025八下·荣县期中）已知小乐家、书店、学校在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小乐从家跑步去书店，在书店购买资料书后，又步行去学校取东西，然后再步行回家，图中表示时间，表示小乐离家的距离，根据图中信息回答问题：
（1）书店离小乐家______；小乐在书店购买资料用了______．
（2）计算小乐从学校回家的平均速度是多少？
（3）小乐从家出发时，离家的距离是多少千米？
21．（2025八下·荣县期中）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的整数部分是______．
（2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值．
22．（2025八下·荣县期中）如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
五、解答题（本题共有2个小题，23题7分，14题8分，共15分）
23．（2025八下·荣县期中）探索下列等式规律，并解决下列问题：
【规律发现】
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
【规律探索】
（1）第5个等式：_______；
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______；
【规律应用】
（3）计算：
24．（2025八下·荣县期中）如图1，在正方形内作交于点交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）如图2，连接交于点，交于点．求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数为分数，不是最简二次根式；
B、，不含根号，不是最简二次根式；
C、，被开方数含能开得尽方的因数 9，不是最简二次根式；
D、满足最简二次根式条件。
故选：D．
【分析】本题意在考查最简二次根式的识别，其核心要求为：被开方数不含分母，且不含可化为整数次幂的因数或因式。解题时需将各选项逐一化简或验证，若化简后根号内出现分母或可开方的因数，则不符合条件。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故不能围成直角三角形，此选项错误；
B、，故不能围成直角三角形，此选项错误；
C、，能围成直角三角形，此选项正确；
D、，故不能围成直角三角形，此选项错误．
故选：C．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形与平行四边形均满足对边平行且相等，故 A 不符；
B、矩形与平行四边形对角线均互相平分，故 B 不符；
C、矩形与平行四边形邻角均互补，故 C 不符；
D、矩形对角均为 90°，故对角互补；平行四边形对角相等但不一定互补，故 D 符合。
故选：D．
【分析】本题考查矩形与一般平行四边形在性质上的差异，解题关键在于对比两者对角线的特征、边角关系的异同，尤其需区分“任意邻角互补”与“对角互补”在两类图形中的成立情况，从而筛选出矩形独有而平行四边形未必具备的性质。
4．【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】A选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意；
B选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意；
C选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y唯一确定，符合题意；
D选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意．
故选：C．
【分析】
函数的概念，对于自变量x的一个值，因变量y仅有一个值与其一一对应，再根据概念逐项判断即可．
5．【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由图知，BC = 8 - 2 = 6cm，∵ D 为 BC 中点，且∠ BAC = 90°，
∴AD = BC = 6 = 3cm。
故选：A．
【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，即斜边上的中线长度等于斜边的一半。解题时先由刻度尺读数求出 BC 的长度，再结合 D 为 BC 中点及 ∠ BAC = 90°，直接运用该性质计算 AD 的长。
6．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由菱形知，
∴，，，
∴，
∵点M为的中点，O为的中点，
∴；
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，，，根据勾股定理可得BC，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】归纳与类比
【解析】【解答】解：由平行四边形出发，通过边角特殊化得到矩形、菱形、正方形，体现了“一般 → 特殊”的思想。
故选：C．
【分析】本题旨在识别数学思想在几何学习过程中的应用。解题时需抓住题干描述的探究路径：从平行四边形这一“一般”图形出发，通过增加边或角的特殊条件，逐步衍生出矩形、菱形、正方形等“特殊”图形，这正体现了从一般到特殊的认知规律。
8．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在正方形中，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
在中，，
∴，故②正确；
假设，
∵（已证），
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在中，，
∴，这与正方形的边长相矛盾，
所以，假设不成立，，故③错误；
∵，
∴，
∴，
即，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质可推出∠BAF=∠D，AF=DE，利用SAS可证得△ABF≌△DAE，利用全等三角形的性质可对①作出判断；利用余角的性质可证得，据此可证得∠AOB=90°，可对②作出判断；假设，利用垂直平分线的性质可证得AB=BE，在中，，由此可推出矛盾，可对③作出判断；利用全等三角形的面积相等，可证得，据此可推出，由此可对④ 作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
9．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =π-3
故答案为：π-3.
【分析】先判断3-π＜0，根据=-a(a≤0）进行解答即可，
10．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；内错角的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形性质得出，，，再利用角平分线的意义，结合等角对等边可求得DE，然后利用CE=CD-DE即可求解．
11．【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由正比例函数定义知，且解得 a = -1，
∴= -1.
故答案为：．
【分析】本题依据正比例函数的定义求解，其形式要求为 y = kx（k0）。解题时需令常数项为零，并确保一次项系数非零，由此确定 a 的取值，再代入幂运算求值。
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】
直接应用平方差公式即可．
13．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；旋转全等模型
【解析】【解答】解：连接、，如图：
根据题意得每个正方形的面积为，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，为正方形的中心，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理得，，
∴．
故答案为：2．
【分析】
如图，连接、，可利用正方形的性质结合旋转全等模型证得，则左边阴影部分面积等于其中一个正方形面积的四分之一，则图中阴影部分面积等于其中一个正方形面积的一半．
14．【答案】3
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；胡不归模型
【解析】【解答】解：过点P作于D，
在 △ ABC 中，∠ C = 90°，∠ B = 60°，
∴∠A = 30°，
∴PD =AP。
作 C 关于 AB 的对称点 E，连接 CE 交 AB 于 F，连接 PE，则 PE = PC，
∴ PC +AP = PE + PDDE，
当 P， D， E 共线时取等。
由对称性，CEAB，
在 Rt△ BCF 中，∠ B = 60°，
∴BF =BC = 1，CF ==，
∴EF = CF =，CE = 2。
∠ ACE = 90° - 30° = 60°，
在 Rt△ CDE 中，∠ E = 30°，
∴ CD =CE =，
∴ DE == = 3。
故 PC +AP 的最小值为 3。
故答案为：3．
【分析】本题为线段和最小值问题，核心在于通过几何变换将AP 转化为某条可度量的线段，再利用对称性将两条线段之和转化为折线段，依据“垂线段最短”或“两点之间线段最短”确定最小值。解题时先由 30°角构造垂线实现系数转化，再作对称点将 PC 等量转移，最后在共线情形下计算目标长度。
15．【答案】解：原式=
=4﹣ +2
=4+
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式= ，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．
16．【答案】（1）解：在中， ，，，
．
答：的长为5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四边形的面积为36．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
（1）直接利用勾股定理即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再利用割补法求解即可．
（1）解：在中， ，，，
根据勾股定理得，．
∴的长为5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四边形的面积为36．
17．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，结合题目已知条件BE=FD，进而得出AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
18．【答案】解：由题意，得，，
解得，
∴，
∴
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则
【解析】【分析】
由二次根式的被开方数是非负数可得，，再代入到算式中进行乘方运算即可．
19．【答案】解：在矩形中，，，设，则，
由折叠的性质知：，
在中，，，
∴
解得，
即的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【分析】
由矩形的性质结合轴对称的性质可得，DC=AB=8，EF=DE，，则可设DE=x，则EF=x，CE=8-x，又CF已知，再在中应用勾股定理即可．
20．【答案】（1）2.5；1.5
（2）解：小乐从学校回家的平均速度是，
答：小乐从学校回家的平均速度是；
（3）解：小乐从家出发时，离家的距离是，
答：小乐从家出发时，离家的距离是．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由图象可得，书店离乐乐家，小乐在书店购买资料用了
故答案为：2.5；15；
【分析】本题主要考查函数图象的识读能力，结合行程问题中的距离、时间、速度关系，重点在于从图象中提取关键点坐标，理解每一段线段对应的运动状态，并运用速度公式与分段函数进行相关计算。
（1）观察图象中从家到书店的线段端点纵坐标得出距离，再根据书店停留阶段横坐标的差值（水平线段）计算停留时间。
（2）确定回家阶段对应图象的最后一段，找出该段的起点与终点坐标，利用“速度 = 路程 ÷ 时间”计算平均速度，其中路程为起点与终点的纵坐标差，时间为横坐标差。
（3）先判断 75 分钟对应图象中的哪一段（回家阶段），利用该段的平均速度、已行驶时间与起点位置，通过“当前距离 = 起点距离 速度 × 经过时间”求出该时刻的离家距离。
（1）解：由图象可得，书店离乐乐家，小乐在书店购买资料用了
故答案为：2.5；15；
（2）解：小乐从学校回家的平均速度是，
答：小乐从学校回家的平均速度是；
（3）解：小乐从家出发时，离家的距离是，
答：小乐从家出发时，离家的距离是．
21．【答案】（1）3
（2）解：为的小数部分，为的整数部分，
，，
．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：，
的整数部分为3；
【分析】本题主要考查无理数整数部分与小数部分的表示方法，重点在于理解无理数的估值与“整数部分 + 小数部分”的结构，并能运用这一表示进行代数运算。
（1）通过估算确定介于哪两个连续整数之间。由 32 = 9，42 = 16，可知 3 < < 4，从而整数部分为 3。
（2）先分别确定 a 与 b。对于 a，由 12 < 3 < 22 得的整数部分为 1，故小数部分 a = - 1；对于 b，由 22 < 5 < 32得的整数部分 b = 2。再将 a、b 代入表达式，合并同类项后得到结果。
（1）解：，
的整数部分为3；
（2）解：为的小数部分，为的整数部分，
，，
．
22．【答案】解：如解图，圆柱体的展开图为长方形，
所以，
由题意可知，，
所以在中，
由勾股定理得，，
所以，
则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是。
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】本题主要考查圆柱侧面最短路径问题，重点在于将立体图形转化为平面图形，利用“两点之间线段最短”与勾股定理求解。解题的关键是正确展开圆柱侧面，并确定展开图中两点的对应位置。
23．【答案】解：（1）
（2）
（3）
．
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：第5个等式：
（2）由（1）归纳可得：；
【分析】本题主要考查二次根式的分母有理化、观察与归纳能力，以及裂项相消法在数列求和中的应用。重点在于从具体等式中抽象出一般规律，并运用该规律进行简化计算。
（1）观察前四个等式左边分母的形式，被开方数依次为 1，2，3，4 与下一个数，右边为相邻根号的差；按此规律写出第 5 个等式的左边分母为，右边为。
（2）从前四个等式中归纳出一般形式，左边分母为，右边为，通过分母有理化验证其等价性。
（3）将每一项按第（2）问的规律转化为相邻根号的差，形成连续相消的算式，中间项全部抵消，仅剩首项与末项，从而得出结果。
24．【答案】（1）证明：由旋转的性质可知：，，
四边形为正方形，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：过点作，垂足为．如图1，
，，，
，，
设正方形的边长为，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
；
（3）证明：如图2所示：将逆时针旋转得，
四边形为正方形，
，
由旋转的性质可知：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；求代数式的值-整体代入求值；旋转全等模型
【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质、旋转与全等三角形的综合应用，以及勾股定理与代数方程在几何计算中的运用。重点在于通过旋转变换构造全等，实现线段的等量转移，并利用勾股定理建立方程或证明数量关系。（1）利用旋转的性质得出对应边 AG = AF 与对应角 ∠ DAF = ∠BAG，再结合正方形内角与已知 ∠ EAF = 45°，通过角度运算证明∠ GAE =∠FAE，最后由 SAS 判定全等。
（2）先由全等得到 GE = EF，且 GE = BE + DF = 5，从而确定 EF 长度。设正方形边长为 x，用 x 表示 EC 与 FC，在 Rt△ FEC 中应用勾股定理列方程求解边长，再结合全等得到的对应高相等 AH = AB，利用面积公式计算。
（3）将△ ABM 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 △ ADM'，使 BM 转移到 DM'，并构造出 Rt△ NDM'。再通过旋转与全等证明 MN = NM'，将待证式转化为 NM'2= ND2 + DM'2，最后由勾股定理得证。
（1）证明：由旋转的性质可知：，，
四边形为正方形，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：过点作，垂足为．如图1，
，，，
，，
设正方形的边长为，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
；
（3）证明：如图2所示：将逆时针旋转得，
四边形为正方形，
，
由旋转的性质可知：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
1 / 1四川省自贡市荣县中学校2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（本题有8个小题，每小题3分，满分24分）
1．（2025八下·荣县期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数为分数，不是最简二次根式；
B、，不含根号，不是最简二次根式；
C、，被开方数含能开得尽方的因数 9，不是最简二次根式；
D、满足最简二次根式条件。
故选：D．
【分析】本题意在考查最简二次根式的识别，其核心要求为：被开方数不含分母，且不含可化为整数次幂的因数或因式。解题时需将各选项逐一化简或验证，若化简后根号内出现分母或可开方的因数，则不符合条件。
2．（2025八下·荣县期中）在下列长度的各组线段中，能构成直角三角形的是（　　）
A．3，4，6 B．7，8，10 C．3，4，5 D．1，1，2
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，故不能围成直角三角形，此选项错误；
B、，故不能围成直角三角形，此选项错误；
C、，能围成直角三角形，此选项正确；
D、，故不能围成直角三角形，此选项错误．
故选：C．
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．（2025八下·荣县期中）下列性质中，矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是（　　）
A．对边平行且相等 B．对角线互相平分
C．任意两个邻角互补 D．对角互补
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、矩形与平行四边形均满足对边平行且相等，故 A 不符；
B、矩形与平行四边形对角线均互相平分，故 B 不符；
C、矩形与平行四边形邻角均互补，故 C 不符；
D、矩形对角均为 90°，故对角互补；平行四边形对角相等但不一定互补，故 D 符合。
故选：D．
【分析】本题考查矩形与一般平行四边形在性质上的差异，解题关键在于对比两者对角线的特征、边角关系的异同，尤其需区分“任意邻角互补”与“对角互补”在两类图形中的成立情况，从而筛选出矩形独有而平行四边形未必具备的性质。
4．（2025八下·荣县期中）下列各图中，能表示是的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的概念；函数的图象；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】A选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意；
B选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意；
C选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y唯一确定，符合题意；
D选项，当自变量x取定一个值时，对应的函数值y不唯一，不符合题意．
故选：C．
【分析】
函数的概念，对于自变量x的一个值，因变量y仅有一个值与其一一对应，再根据概念逐项判断即可．
5．（2025八下·荣县期中）如图，小逸同学利用刻度直尺（单位：）测量三角形纸片的尺寸，点，分别对应刻度尺上的刻度2和8，为的中点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由图知，BC = 8 - 2 = 6cm，∵ D 为 BC 中点，且∠ BAC = 90°，
∴AD = BC = 6 = 3cm。
故选：A．
【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，即斜边上的中线长度等于斜边的一半。解题时先由刻度尺读数求出 BC 的长度，再结合 D 为 BC 中点及 ∠ BAC = 90°，直接运用该性质计算 AD 的长。
6．（2025八下·荣县期中）如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（　　）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由菱形知，
∴，，，
∴，
∵点M为的中点，O为的中点，
∴；
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，，，根据勾股定理可得BC，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
7．（2025八下·荣县期中）我们在学习四边形时．先学行四边形．再通过平行四边形的边角特殊化获得矩形、菱形、正方形，得到了这些特殊四边形的性质定理和判定定理，这种研究方法主要体现的数学思想是（　　）
A．转化 B．归纳
C．由一般到特殊 D．数形结合
【答案】C
【知识点】归纳与类比
【解析】【解答】解：由平行四边形出发，通过边角特殊化得到矩形、菱形、正方形，体现了“一般 → 特殊”的思想。
故选：C．
【分析】本题旨在识别数学思想在几何学习过程中的应用。解题时需抓住题干描述的探究路径：从平行四边形这一“一般”图形出发，通过增加边或角的特殊条件，逐步衍生出矩形、菱形、正方形等“特殊”图形，这正体现了从一般到特殊的认知规律。
8．（2025八下·荣县期中）如图，E、F分别是正方形的边上的点，且，相交于点O，下列结论： ①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：在正方形中，，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
在中，，
∴，故②正确；
假设，
∵（已证），
∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），
∵在中，，
∴，这与正方形的边长相矛盾，
所以，假设不成立，，故③错误；
∵，
∴，
∴，
即，故④正确；
综上所述，正确的结论是①②④．
故答案为：D．
【分析】利用正方形的性质可推出∠BAF=∠D，AF=DE，利用SAS可证得△ABF≌△DAE，利用全等三角形的性质可对①作出判断；利用余角的性质可证得，据此可证得∠AOB=90°，可对②作出判断；假设，利用垂直平分线的性质可证得AB=BE，在中，，由此可推出矛盾，可对③作出判断；利用全等三角形的面积相等，可证得，据此可推出，由此可对④ 作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
9．（2025八下·荣县期中）化简： =　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =π-3
故答案为：π-3.
【分析】先判断3-π＜0，根据=-a(a≤0）进行解答即可，
10．（2025八下·荣县期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则的长等于　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；内错角的概念；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用平行四边形性质得出，，，再利用角平分线的意义，结合等角对等边可求得DE，然后利用CE=CD-DE即可求解．
11．（2025八下·荣县期中）若是关于x的正比例函数，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：由正比例函数定义知，且解得 a = -1，
∴= -1.
故答案为：．
【分析】本题依据正比例函数的定义求解，其形式要求为 y = kx（k0）。解题时需令常数项为零，并确保一次项系数非零，由此确定 a 的取值，再代入幂运算求值。
12．（2025八下·荣县期中）已知，则　 　
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】
直接应用平方差公式即可．
13．（2025八下·荣县期中）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；旋转全等模型
【解析】【解答】解：连接、，如图：
根据题意得每个正方形的面积为，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，为正方形的中心，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理得，，
∴．
故答案为：2．
【分析】
如图，连接、，可利用正方形的性质结合旋转全等模型证得，则左边阴影部分面积等于其中一个正方形面积的四分之一，则图中阴影部分面积等于其中一个正方形面积的一半．
14．（2025八下·荣县期中）如图，在中，，，，若P为上一个动点，则的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】两点之间线段最短；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；胡不归模型
【解析】【解答】解：过点P作于D，
在 △ ABC 中，∠ C = 90°，∠ B = 60°，
∴∠A = 30°，
∴PD =AP。
作 C 关于 AB 的对称点 E，连接 CE 交 AB 于 F，连接 PE，则 PE = PC，
∴ PC +AP = PE + PDDE，
当 P， D， E 共线时取等。
由对称性，CEAB，
在 Rt△ BCF 中，∠ B = 60°，
∴BF =BC = 1，CF ==，
∴EF = CF =，CE = 2。
∠ ACE = 90° - 30° = 60°，
在 Rt△ CDE 中，∠ E = 30°，
∴ CD =CE =，
∴ DE == = 3。
故 PC +AP 的最小值为 3。
故答案为：3．
【分析】本题为线段和最小值问题，核心在于通过几何变换将AP 转化为某条可度量的线段，再利用对称性将两条线段之和转化为折线段，依据“垂线段最短”或“两点之间线段最短”确定最小值。解题时先由 30°角构造垂线实现系数转化，再作对称点将 PC 等量转移，最后在共线情形下计算目标长度。
三、解答题（本大题有5个小题，每小题5分，共25分）
15．（2025八下·荣县期中）计算： ．
【答案】解：原式=
=4﹣ +2
=4+
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式= ，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．
16．（2025八下·荣县期中）已知： 四边形中， ，， ， ，．
（1）求的长；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：在中， ，，，
．
答：的长为5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四边形的面积为36．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】
（1）直接利用勾股定理即可；
（2）先利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再利用割补法求解即可．
（1）解：在中， ，，，
根据勾股定理得，．
∴的长为5．
（2）解：，，
，
是直角三角形，且，
．
∴四边形的面积为36．
17．（2025八下·荣县期中）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，结合题目已知条件BE=FD，进而得出AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
18．（2025八下·荣县期中）已知，是实数，且，求．
【答案】解：由题意，得，，
解得，
∴，
∴
【知识点】二次根式有无意义的条件；二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则
【解析】【分析】
由二次根式的被开方数是非负数可得，，再代入到算式中进行乘方运算即可．
19．（2025八下·荣县期中）如图将矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上处，已知，，求的长．
【答案】解：在矩形中，，，设，则，
由折叠的性质知：，
在中，，，
∴
解得，
即的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【分析】
由矩形的性质结合轴对称的性质可得，DC=AB=8，EF=DE，，则可设DE=x，则EF=x，CE=8-x，又CF已知，再在中应用勾股定理即可．
四、解答题（本大题有3个小题，每小题6分，共18分）
20．（2025八下·荣县期中）已知小乐家、书店、学校在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小乐从家跑步去书店，在书店购买资料书后，又步行去学校取东西，然后再步行回家，图中表示时间，表示小乐离家的距离，根据图中信息回答问题：
（1）书店离小乐家______；小乐在书店购买资料用了______．
（2）计算小乐从学校回家的平均速度是多少？
（3）小乐从家出发时，离家的距离是多少千米？
【答案】（1）2.5；1.5
（2）解：小乐从学校回家的平均速度是，
答：小乐从学校回家的平均速度是；
（3）解：小乐从家出发时，离家的距离是，
答：小乐从家出发时，离家的距离是．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：由图象可得，书店离乐乐家，小乐在书店购买资料用了
故答案为：2.5；15；
【分析】本题主要考查函数图象的识读能力，结合行程问题中的距离、时间、速度关系，重点在于从图象中提取关键点坐标，理解每一段线段对应的运动状态，并运用速度公式与分段函数进行相关计算。
（1）观察图象中从家到书店的线段端点纵坐标得出距离，再根据书店停留阶段横坐标的差值（水平线段）计算停留时间。
（2）确定回家阶段对应图象的最后一段，找出该段的起点与终点坐标，利用“速度 = 路程 ÷ 时间”计算平均速度，其中路程为起点与终点的纵坐标差，时间为横坐标差。
（3）先判断 75 分钟对应图象中的哪一段（回家阶段），利用该段的平均速度、已行驶时间与起点位置，通过“当前距离 = 起点距离 速度 × 经过时间”求出该时刻的离家距离。
（1）解：由图象可得，书店离乐乐家，小乐在书店购买资料用了
故答案为：2.5；15；
（2）解：小乐从学校回家的平均速度是，
答：小乐从学校回家的平均速度是；
（3）解：小乐从家出发时，离家的距离是，
答：小乐从家出发时，离家的距离是．
21．（2025八下·荣县期中）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的整数部分是______．
（2）a为的小数部分，b为的整数部分，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：为的小数部分，为的整数部分，
，，
．
【知识点】无理数的估值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】（1）解：，
的整数部分为3；
【分析】本题主要考查无理数整数部分与小数部分的表示方法，重点在于理解无理数的估值与“整数部分 + 小数部分”的结构，并能运用这一表示进行代数运算。
（1）通过估算确定介于哪两个连续整数之间。由 32 = 9，42 = 16，可知 3 < < 4，从而整数部分为 3。
（2）先分别确定 a 与 b。对于 a，由 12 < 3 < 22 得的整数部分为 1，故小数部分 a = - 1；对于 b，由 22 < 5 < 32得的整数部分 b = 2。再将 a、b 代入表达式，合并同类项后得到结果。
（1）解：，
的整数部分为3；
（2）解：为的小数部分，为的整数部分，
，，
．
22．（2025八下·荣县期中）如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【答案】解：如解图，圆柱体的展开图为长方形，
所以，
由题意可知，，
所以在中，
由勾股定理得，，
所以，
则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是。
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【分析】本题主要考查圆柱侧面最短路径问题，重点在于将立体图形转化为平面图形，利用“两点之间线段最短”与勾股定理求解。解题的关键是正确展开圆柱侧面，并确定展开图中两点的对应位置。
五、解答题（本题共有2个小题，23题7分，14题8分，共15分）
23．（2025八下·荣县期中）探索下列等式规律，并解决下列问题：
【规律发现】
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
【规律探索】
（1）第5个等式：_______；
（2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述第n个等式为_______；
【规律应用】
（3）计算：
【答案】解：（1）
（2）
（3）
．
【知识点】二次根式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：第5个等式：
（2）由（1）归纳可得：；
【分析】本题主要考查二次根式的分母有理化、观察与归纳能力，以及裂项相消法在数列求和中的应用。重点在于从具体等式中抽象出一般规律，并运用该规律进行简化计算。
（1）观察前四个等式左边分母的形式，被开方数依次为 1，2，3，4 与下一个数，右边为相邻根号的差；按此规律写出第 5 个等式的左边分母为，右边为。
（2）从前四个等式中归纳出一般形式，左边分母为，右边为，通过分母有理化验证其等价性。
（3）将每一项按第（2）问的规律转化为相邻根号的差，形成连续相消的算式，中间项全部抵消，仅剩首项与末项，从而得出结果。
24．（2025八下·荣县期中）如图1，在正方形内作交于点交于点，连接，将绕点顺时针旋转得到．
（1）求证：；
（2）若，求的面积；
（3）如图2，连接交于点，交于点．求证：．
【答案】（1）证明：由旋转的性质可知：，，
四边形为正方形，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：过点作，垂足为．如图1，
，，，
，，
设正方形的边长为，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
；
（3）证明：如图2所示：将逆时针旋转得，
四边形为正方形，
，
由旋转的性质可知：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；求代数式的值-整体代入求值；旋转全等模型
【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质、旋转与全等三角形的综合应用，以及勾股定理与代数方程在几何计算中的运用。重点在于通过旋转变换构造全等，实现线段的等量转移，并利用勾股定理建立方程或证明数量关系。（1）利用旋转的性质得出对应边 AG = AF 与对应角 ∠ DAF = ∠BAG，再结合正方形内角与已知 ∠ EAF = 45°，通过角度运算证明∠ GAE =∠FAE，最后由 SAS 判定全等。
（2）先由全等得到 GE = EF，且 GE = BE + DF = 5，从而确定 EF 长度。设正方形边长为 x，用 x 表示 EC 与 FC，在 Rt△ FEC 中应用勾股定理列方程求解边长，再结合全等得到的对应高相等 AH = AB，利用面积公式计算。
（3）将△ ABM 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 △ ADM'，使 BM 转移到 DM'，并构造出 Rt△ NDM'。再通过旋转与全等证明 MN = NM'，将待证式转化为 NM'2= ND2 + DM'2，最后由勾股定理得证。
（1）证明：由旋转的性质可知：，，
四边形为正方形，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：过点作，垂足为．如图1，
，，，
，，
设正方形的边长为，则，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
，
，
；
（3）证明：如图2所示：将逆时针旋转得，
四边形为正方形，
，
由旋转的性质可知：，，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
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