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第十章 二元一次方程组 提优测评卷
用时:120分钟 总分:120分 得分:
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.(2025·山东济宁任城区期中)下列方程中，属于二元一次方程的是( ).
A. 6x-2z=5y B. C. x-2y=3 D.
2.下列各组数值是二元一次方程x-3y=4的解的是( ).
A. B. C. D.
3.(2025·北京房山区期中)若 是关于x和y的二元一次方程 ax+y=1的解，则a的值等于( ).
A. 3 B. 1 C. - 1 D. - 3
4.已知 是关于x，y的二元一次方程组 的解,则2m-n的值为( ).
A. - 2 B. 2 C. - 1 D. 1
5.(2025·南充中考)我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三…，问物几何 ”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个…，问这些物体共有多少个 设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程( ).
A. 3x+2=5y+3 B. 5x+2=3y+3 C. 3x-2=5y-3 D. 5x-2=3y-3
6.若 则x+y的平方根是( ).
A. 8 B. ±8 C. D.
7.已知方程组 的解是 则方程组 的解为( ).
A. B. C. D.
8.(2025·成都中考)中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何 其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱.今合买良、劣田1顷(100亩)，价值10000钱.问良田、劣田各有多少亩 设良田为x亩，劣田为y亩，则可列方程组为( ).
A. B.
C. D.
9.(2024·齐齐哈尔中考)校团委开展以“我爱读书”为主题的演讲比赛活动，为奖励表现突出的学生，计划拿出200元钱全部用于购买单价分别为8元和10元的两种笔记本(两种都要购买)作为奖品，则购买方案有( ).
A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种
10.对于x，y定义一种新运算F，规定F(x，y)=ax+by(其中a，b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则运算,例如:F(0,0)=a×0+b×0=0,若F(1,2)=-3,F(2,-1)=4,下列结论正确的个数为( ).
①F(3,4)=-5;②若F(m,n)-2F(-m,n)=27,则m,n有且仅有4组正整数解;③若F(kx,y)=F(x, ky)对任意实数x,y均成立,则k=1.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)
11.(2025·安徽淮南田家庵区期中)已知 是二元一次方程 ax+2y=6的一个解，则a= .
12.(2024·山东济宁任城区期中)已知 是二元一次方程组 的解,则2m-n= .
13.(2025·江苏南京期末)已知关于x，y的二元一次方程组 的解是 则关于x，y的方程组 的解为 .
14.若|x+y+8|与互为相反数，则
15.(2024·盐城中考)中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长5尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长 该问题中的竿子长为 尺.
16.(2025·湖北武汉期末)已知关于x，y的方程组 若其解x，y互为相反数，则a 的值为 .
17.某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办.已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价贵20元，按售价购买5个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需520元.若设每个“哪吒”“敖丙”手办的售价分别为x元，y元，根据题意，可列方程组为 .
18.(2024·江苏南通启东期末)对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P(x，y)，给出如下定义：记a=x+y,b=-y,将点M(a,b)与N(b,a)称为点 P 的一对“互助点”,例如:点 P(2,3)的一对“互助点”是点(5,-3)与(-3,5),若点 Q 的一对“互助点”之一为(-1,7),则点 Q 的坐标为 .
三、解答题(本大题共8小题，共66分)
19.(6分)(2024·山东济南莱芜区期中)用适当的方法解方程组：
20.(6分)(2025·福建福州仓山区期中)关于x，y的二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数),且b=a+1,c=a+2.
(1)当 时，求c的值；
(2)当a 为正整数，且该方程有正整数解时，求a 的值.
21.(8分)(2024·山东淄博淄川区期中)若a，b都是实数，且满足2a-b=6,则称点 为完美点.
(1)判断点 A(2，3)是否为完美点.
(2)已知关于x，y的方程组 当m为何值时，以方程组的解为坐标的点 B(x，y)是完美点 请说明理由.
22.(8分)(2025·福建福州仓山区期中)小庄用一个12克的砝码及足够多的大、小纪念币在一架天平上探究了两次，探究结果记录如下：
编号 天平左边 天平右边 状态
记录一 6枚大纪念币，1个12克的砝码 12枚小纪念币 平衡
记录二 18枚大纪念币 24枚小纪念币，1个12克的砝码 平衡
假设每枚同种类纪念币的质量相同，求一枚大纪念币和一枚小纪念币的质量.
23.(8分)某人骑自行车从A 地先以12km/h的速度下坡后，再以9km/h的速度走平路到 B 地，共用去时间55 min.返回时，他以8km/h的速度通过平路后，以4km/h的速度上坡，从B地到A 地共用了1.5h.此人上坡、下坡各用了多少时间
24.(8分)(2024·浙江杭州滨江区期末)某商店计划销售进价分别为每台8000元，6000元的A 款，B 款跑步机，该商店用14.4万元购进这两款跑步机共20台.
(1)该商店购进A 款和B 款跑步机各多少台
(2)若A 款和B 款跑步机的售价分别为 10000元和8500元，售出部分跑步机后，商店决定按售价的8折清仓处理，A，B两款跑步机全部售出后，共获利28900元，问：打折前售出A，B两款跑步机各多少台
25.(10分)(2025·滨州中考)我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组.例如，图(1)算筹表示的方程组为 图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项.请写出图(2)算筹所表示的方程组，并求出该方程组的解.
26.(12分) (2025·重庆潼南区期中)根据以下素材，完成任务.
解决学校打印机与耗材的购买问题
素材一 校总务处公示前两年学校购进的A型打印机与B 型打印机的购买清单，如表所示：
A 型打印机数量/台 B 型打印机数量/台 购进所需总费用/元
2022年 10 20 26000
2023年 15 10 19000
素材二 今年校总务处又向学校申请了3800元经费用于采购两种打印机.通过向店家进行咨询，得知今年 A 型打印机单价不变，B型打印机打8折优惠.
素材三 打印机的耗材包含A4纸以及黑色墨水.校总务处根据统计前两年购买的A4纸以及黑色墨水的总费用，预估今年耗材费用为w元.若购买75 本 A4纸和 105 盒黑色墨水，则耗材费用还缺75元；若购买110本 A4纸和90盒黑色墨水，则耗材费用还剩50元.
问题解决
任务一 计算商品单价 若2022年与 2023年购进的A 型与B 型打印机的单价不变，求购进A 型打印机与B型打印机的单价分别是多少元
任务二 探究购买方案 校总务处预计将3800元采购经费正好用完，请问有哪几种采购方案
任务三 确定耗材费用 在任务二的采购方案中，学校采用购入打印机总数最多的方案.在此基础上，为今年新购入的打印机配置耗材，每台打印机配置 3本 A4纸与1盒黑色墨水，求学校今年需为这几台新购入的打印机支出多少元的耗材费用 (结果用含w的代数式表示)
1. C [解析]A.6x-2z=5y含有三个未知数,不是二元一次方程，不符合题意；
不是整式方程，不符合题意；
C. x-2y=3是二元一次方程,符合题意;
是二元二次方程，不符合题意.故选 C.
2. A [解析]A.将x=1,y=-1代入方程左边,得x-3y=1+3=4,右边为4,本选项正确;
B.将x=2,y=1代入方程左边,得x-3y=2-3=-1,右边为4，本选项错误；
C.将x=-1,y=-2代入方程左边,得x-3y=-1+6=5,右边为4,本选项错误;
D.将x=4,y=-1代入方程左边,得x-3y=4+3=7,右边为4，本选项错误.故选 A.
3. A [解析]∵ 是关于 x 和 y 的二元一次方程ax+y=1的解,∴a-2=1,解得a=3.故选 A.
4. D [解析]∵ 是方程组 的解， ①+②,得2m-n=1.故选 D.
5. A [解析]∵每 3 个一数,数了x次,剩余 2个,∴物体总数可表示为3x+2.
又每 5个一数，数了 y次，剩余 3个，
∴物体总数也可表示为5y+3.
由于物体总数是固定的，∴3x+2=5y+3.故选 A.
6. C [解析]∵(3x+2y-19) +|2x+y-11|=0,
①-②,得x+y=8,
∴x+y的平方根是± .故选 C.
7. A[解析]采用整体代换思想，可知 解得 故选 A.
8. A[解析]设良田为x亩，劣田为y亩，由题意，得
故选 A.
9. B[解析]设购买8元的笔记本x本，10元的笔记本y本，依题意，得8x+10y=200,整理,得 ∵x，y均为正整数，
或 或 或
∴购买方案有4种.故选 B.
10. A [解析]依题意,得
解得
①F(3,4)=3-2×4=-5,故①正确;
②依题意,得m-2n-2(-m-2n)=27,整理,得m= 正整数解为 共4组,故②正确;
③kx-2y=x-2ky,即(k-1)(x+2y)=0,该式对任意实数x，y均成立，则k=1，故③正确.
综上所述，①②③都正确.故选 A.
11. 2 [解析]将 代入 ax+2y=6,得2a+2=6,解得a=2.
12. 4 [解析]把 x = 2,y = 1 代入方程组,可得 解得
∴2m-n=2×3-2=4.
13. [解析]∵关于x，y的二元一次方程组
的解是
对于
令u=x+2025,v=y-2025,
则 解得
∴u=x+2025=1,v=y-2025=2,
根据 的解是 可得 对于新方程组 令u=x+2025,v=y-2025,解得 再代入u=x+2025=1,v=y-2025=2,则问题得解.
14. 16 [解析]∵|x+y+8|与 互为相反数，
15.15 [解析]设竿子长为x尺，绳索长为y尺，根据题意，得 解得
∴竿子长为15尺.
16. 2 [解析]
①-②,得x+y=2-a.
∵x,y互为相反数,∴x+y=2-a=0,∴a=2.
18. (6,-7)或(6,1) [解析]设点 Q(x,y).
∵点 Q 的一个“互助点”的坐标为(-1,7),
或
或 ∴Q(6,-7)或(6,1).
19. (1)
把①代入②,得3x-(2x-1)=12,解得x=11,
把x=11代入①,得y=2×11-1=21,
∴原方程组的解为
原方程组变形为
②-①,得-2y=2,解得y=-1.
把y=-1代入①,得3x-2×(-1)=8,解得x=2,
∴原方程组的解为
20. (1)将 代入 ax+ by=c,得2a+3b=c.
∵b=a+1,c=a+2,∴2a+3(a+1)=a+2,
(2)∵关于x,y二元一次方程 ax+ by=c,且b=a+1,c=a+2,∴ax+(a+1)y=a+2,
∴a(x+y-1)=2-y.
∵x，y均为正整数，∴x+y-1是正整数.
∵a是正整数,∴2-y是正整数,∴y=1,
将y=1代入a(x+y-1)=2-y,得 ax=1,
∴a=1,x=1,∴b=2,c=3,
∴方程的正整数解是
∴a的值为1.
21. (1)由a-1=2,可得a=3,由 可得b=4.
∵2a-b≠6,∴A(2,3)不是完美点.
(2)由 解得
令 解得
∵2a-b=6,∴2m+8-4+2m=6,∴m=
故当 时，点 B 是完美点.
22.设一枚大纪念币和一枚小纪念币的质量分别为x 克，y克,
根据题意，得 解得
故一枚大纪念币的质量为6克，一枚小纪念币的质量为4克.
23.设此人下坡用了 xh，上坡用了 yh，
由题意，得
解得
故此人下坡用了 0.25 h,上坡用了0.75 h.
24.(1)设该商店购进 A 款跑步机x 台，购进 B 款跑步机y台.
由题意，得解得 故该商店购进A 款跑步机12台，购进 B 款跑步机8台.
(2)设打折前 A 款跑步机售出 a 台，B款跑步机售出b台，由题意，得(10 000-8 000)a+(10 000×0.8-8 000)·(12-a)+(8 500-6 000)b+(8 500×0.8-6 000)(8-b)=28 900,化简,得20a+17b=225.
∵a,b均为正整数,∴a=7,b=5.
故打折前A 款跑步机售出7台，B款跑步机售出5台.
25.根据题意，得 解得
∴题中算筹图(2)所表示的方程组为 该方程组的解为
26.任务一：设2023年购进A 型打印机的单价为x 元，B 型打印机的单价是y元，
则 解得
故2023年购进A 型打印机的单价为600元，B 型打印机的单价是1 000元.
任务二：设购买A 型打印机a 台，B型打印机b台，则600a+0.8×1000b=3800,
∴方程组的正整数解为 或
∴有两种购买方案，①购买 A 型打印机5台，B型打印机1台，②购买A 型打印机1台，B 型打印机4台.
任务三：方案①共6台打印机，方案②共5台打印机，∴买6 台打印机共需要配置 18 本 A4 纸与 6 盒黑色墨水.
设购买1本 A4纸需要m元，1盒黑色墨水需要 n 元，
则
方程组可化为
∴18m+6n=0.1w-30,
∴学校今年需为这几台新购人的打印机支出(0.1w-30)元的耗材费用.

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