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(共15张PPT)
第二十三章　一次函数
23.4　实际问题与一次函数
第2课时　选择方案(1)
知识点　“几个一次函数”类的方案选择
1.一家健身中心为会员提供两种健身课程计费方式.方式A：每节课程收费100元，按参加的课程节数计费；方式B：每月固定会员费500元，每节课程收费50元.
(1)设会员参加的课程节数为x节，选择方式A时，总费用为y1元；选择方式B时，总费用为y2元.请分别写出y1，y2关于x的函数解析式.
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解：由题意，得y1＝100x，y2＝50x＋500.
(2)某会员准备在两种计费方式中选择一种，请你帮助该会员选择更经济的方案.
解：由题意，得当y1＞y2时，即100x＞50x＋500.解得x＞10.
当y1＝y2时，即100x＝50x＋500.解得x＝10.
当y1＜y2时，即100x＜50x＋500.解得x＜10.
∴当该会员参加的课程节数超过10节时，选择方式B总费用少；当该会员参加的课程节数为10节时，两种方式收费相同；当该会员参加的课程节数少于10节时，选择方式A总费用少.
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2.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入
园次数为x次时所需费用为y元.选择这两种卡消费
时，y与x之间的关系图象如图所示.请根据图象解
答下列问题：
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式；
解：设y甲＝k1x(k1≠0).
由题意，得5k1＝150.解得k1＝30.
∴y甲＝30x.
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设y乙＝k2x＋150(k2≠0).
由题意，得20k2＋150＝550.
解得k2＝20.
∴y乙＝20x＋150.
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(2)当入园次数为12次时，选择哪种卡消费比较合算？
解：当x＝12时，y甲＝30×12＝360，y乙＝20×12＋150＝390.
∵360＜390，
∴选择甲种卡消费比较合算.
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3.中国象棋是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂.某校为了发展棋社，决定增添x(x＞20)副中国象棋.某文具店中国象棋的标价为40元/副，现推出优惠活动，活动方案如下.
方案一：购买不超过20副中国象棋时按原价付款，超过20副的部分每副打六折；
方案二：不论购买多少副中国象棋，全部按八折销售.
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(1)设按照方案一购买的总费用为y1元，按照方案二购买的总费用为y2元，请分别写出y1，y2关于x的函数解析式；
解：y1＝40×20＋40(x－20)×0.6＝24x＋320，y2＝0.8×40x＝32x.
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(2)学校选择哪种购买方案更划算？
解：当y1＝y2时，24x＋320＝32x，解得x＝40，即购买中国象棋40副时，两种方案总费用相同；
当y1＞y2时，24x＋320＞32x，解得x＜40，
即购买中国象棋少于40副时，方案二划算；
当y1＜y2时，24x＋320＜32x，解得x＞40，
即购买中国象棋多于40副时，方案一划算.
综上，购买中国象棋40副时，两种方案总费用相同；购买中国象棋少于40副时，方案二划算；购买中国象棋多于40副时，方案一划算.
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4.某校计划购买某款笔记本作为活动奖品.经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本.学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，活动方案如下.
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甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售；
乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售.
设该校购买x(x＞0)本笔记本，在甲商店购买所花费用为y1元，在乙商店购买所花费用为y2元.其函数图象如图所示.
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(1)求这款笔记本的单价；
解：设这款笔记本的单价为x元.
由题意，得－＝20.解得x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解且符合题意.
答：这款笔记本的单价为10元.
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(2)求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义；
解：∵当x＞30时，y1＝10×30＋10×0.9(x－30)＝9x＋30，
∴当x＞30时，y1关于x的函数解析式为y1＝9x＋30.
∵当x＞50时，y2＝10×50＋10×0.8(x－50)＝8x＋100，
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∴当x＞50时，y2关于x的函数解析式为y2＝8x＋100.
由图象可知，M是函数y1＝9x＋30(x＞30)和y2＝8x＋100(x＞50)图象的交点，
∴令9x＋30＝8x＋100.
解得x＝70，此时y1＝y2＝660.
∴点M的坐标为(70，660).
点M表示的实际意义：当学校购买70本笔记本时，在甲、乙两家商店购买所花费用相同，均为660元.
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(3)当x＞50时，根据图象直接写出该校选择哪家商店购买笔记本更合算.
解：当50＜x＜70时，应选择甲商店购买；
当x＝70时，在甲、乙两家商店购买所花费用相同，任选一家购买即可；
当x＞70时，应选择乙商店购买.
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4(共22张PPT)
第二十三章　一次函数
章 末 复 习
考点1　一次函数的概念
1.(2025上海)下列函数中，为正比例函数的是(　　)
A.y＝3x＋1 B.y＝3x2
C.y＝ D.y＝
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D
2.若函数y＝(m－1)x｜m｜＋m＋2是一次函数，则m的值为(　　)
A.1 B.－1
C.±1 D.－2
B
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3.已知y是关于x的正比例函数，当x＝－2时，y＝4.
(1)求y关于x的函数解析式；
解：设正比例函数的解析式为y＝kx(k≠0).
将点(－2，4)代入，得4＝－2k.
解得k＝－2.
∴y关于x的函数解析式为y＝－2x.
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(2)若点(a，－6)是该函数图象上的一点，求a的值.
解：把点(a，－6)代入y＝－2x，得
－6＝－2a.解得a＝3.
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考点2　一次函数的图象和性质
4.在正比例函数y＝kx(k≠0)中，y随着x的增大而减小，则k的值可以是(　　)
A.3 B.－3
C.0 D.
B
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5.将直线y＝2x＋1向上平移3个单位长度后，所得直线对应的函数解析式为(　　)
A.y＝2x－2 B.y＝2x＋2
C.y＝2x＋4 D.y＝2x－4
C
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6.(2025福州仓山区期中)关于一次函数y＝3x－1，下列说法正确的是(　　)
A.函数值y随着x的增大而减小
B.点(1，2)在该函数图象上
C.图象不经过第一象限
D.图象与y轴的交点坐标为(0，1)
B
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7.(2025厦门外国语学校期末)若点A(－2，y1)，B(4，y2)在一次函数y＝－3x＋5的图象上，则y1____y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
＞
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8.(2025厦门湖里区期末)在平面直角坐标系中，直线y＝2x－6与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为___.
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9.(2025福州延安中学期末)已知直线y＝kx＋b与直线y＝－3x＋1平行，且经过点(－2，4)，则b的值是_____.
－2　
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10.在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，k≠0)的图象经过点(1，0)和(0，2).
(1)求这个一次函数的解析式，并画出该一次函数的图象；
解：∵一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，k≠0)的图象经过点(1，0)和(0，2)，
∴解得
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∴这个一次函数的解析式为y＝－2x＋2.
画出一次函数的图象如图所示.
(2)当－2＜x≤3时，求y的取值范围.
解：由(1)，得一次函数解析式为y＝－2x＋2.
∵k＝－2＜0，
∴y随x的增大而减小.
当x＝－2时，y＝－2×(－2)＋2＝6；
当x＝3时，y＝－2×3＋2＝－4.
∴当－2＜x≤3时，－4≤y＜6.
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考点3　一次函数与方程(组)、不等式
11.直线y＝ax＋b(a≠0)与x轴交于点(2，0)，则关于x的方程ax＋b＝0的解为______.
　x＝2　
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12.如图，直线y＝x＋2与直线y＝ax＋c相交于点P(m，3)，则关于x的不等式x＋2≥ax＋c的解集为______.
(第12题)
x≥1
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13.如图，直线y1＝2x－2与y轴交于点A，直线y2＝－2x＋6与y轴交于点B，两条直线相交于点C.
(1)方程组的解是；
(2)当y1＞0与y2＞0同时成立时，x的取值范
围为_________；
1＜x＜3
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(3)在直线y1＝2x－2上存在异于点C的另一点P，使得△ABC与△ABP的面积相等，请求出点P的坐标.
解：∵令x＝0，得y1＝－2，y2＝6，
∴A(0，－2)，B(0，6).
∴AB＝8.
∴S△ABC＝×8×2＝8.
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∴m＝±2.
设点P的坐标为(m，2m－2)，则S△ABP＝×8×｜m｜＝8.
∵点P异于点C，
∴m＝－2，2m－2＝－6.
∴点P的坐标为(－2，－6).
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考点4　实际问题与一次函数
14.(2025苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(单位：m/s)与温度t(单位：℃)的部分对应数值如下表：
温度t/℃ －10 0 10 30
声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348
研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a≠0).当温度t为15 ℃时，声音传播的速度v为(　　)
A.333 m/s B.339 m/s C.341 m/s D.342 m/s
B
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15.(2025西宁)某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区.已知购买12株白丁香和7株紫丁香共花费1 160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共花费1 570元.
(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少.
解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元.
由题意，得
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解得
答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元.
(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？
解：设购买紫丁香m株，总费用为w元.
w＝80m＋50×(45－m)＝30m＋2 250.
∵30＞0，
∴ w随m的增大而增大.
又m≥20，
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此时45－m＝45－20＝25.
答：当购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2 850元.
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∴当m＝20时， w有最小值， w最小＝30×20＋2 250＝2 850.(共18张PPT)
第二十三章　一次函数
23.3　一次函数与方程(组)、不等式
第1课时　
一次函数与一元一次方程、不等式
知识点1　一次函数与一元一次方程的关系
1.若关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝7，则直线y＝kx＋b一定过点
(　　)
A.(3，0) B.(7，0)
C.(3，7) D.(7，3)
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D
2.如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为________.
(第2题)
x＝－2
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3. 如图，根据所给信息回答下列问题：
(1)关于x的方程kx＋b＝0的解为______；
(2)关于x的方程kx＋b＝2的解为______；
(3)关于x的方程kx＋b＝4的解为______.
(第3题)
x＝2
x＝1
x＝0　
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知识点2　一次函数与一元一次不等式的关系
4.(2025厦门九中期中)一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当kx＋b≥0时，x的取值范围是(　　)
A.x≤3
B.x≤0
C.x≤2
D.x≥2
(第4题)
C
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5.一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是
(　　)
A.x＞0
B.x＞2
C.x＞－3
D.x＜－3
(第5题)
D
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6.如图，函数y＝kx＋b的图象经过点P，则关于x的不等式kx＋b＞3的解集为________.
(第6题)
x＜－1
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7.一次函数y＝k1x＋b1和y＝kx＋b的图象如图所示，两直线交于点C，且分别与x轴交于A，B两点.已知点A(－1，0)，B(2，0)，观察图象并回答下列问题：
(1)关于x的方程k1x＋b1＝0的解是________；关于x的不等式kx＋b＜0的解集是______.
x＝－1
x＞2　
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(2)若点C的坐标为(1，3)，求△ABC的面积.
解：∵点A(－1，0)，点B(2，0)，点C的坐标为(1，3)，
∴AB＝2－(－1)＝3.
∴S△ABC＝AB·yC＝×3×3＝.
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8.已知不等式ax＋b＜0的解集是x＜－2，下列有可能是一次函数y＝ax＋b的图象的是(　　)
A
A B C D
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9.(2025徐州)如图为一次函数y＝kx＋b的图象，关于x的不等式k(x－3)＋b＜0的解集为(　　)
A.x＜－4
B.x＞－4
C.x＜2
D.x＞2
(第9题)
C
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10.已知一次函数y＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)，x与y的部分对应值如下表：
x －2 －1 0 1 2 3
y 6 4 2 0 －2 －4
不等式ax＋b＜0的解集是______.
x＞1
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11.已知一次函数y＝－2x＋4.
(1)如图，在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象.
∴当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝2.
∴该函数的图象过点(0，4)，(2，0).
画出函数图象如图所示.
解：∵y＝－2x＋4，
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(2)根据函数图象回答下列问题：
①当x_____时，y＞2.
②当－4≤y≤0时，求x的取值范围.
解：∵－2＜0，
∴y随x的增大而减小.
当y＝－4时，－4＝－2x＋4，解得x＝4.
当y＝0时，0＝－2x＋4，解得x＝2.
∴当－4≤y≤0时，x的取值范围是2≤x≤4.
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12.已知一次函数y＝kx＋b(k，b是常数，且k≠0).
(1)若－k＋b＝0，则此函数的图象经过的点是(　　)
A.(0，1) B.(0，－1)
C.(1，0) D.(－1，0)
D
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(2)若该函数的图象经过(1，2)，(3，－4)两点，则当x＞1时，函数y＝kx＋b的取值范围是______；
y＜2　
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(3)若k＋b＜0，点M(4，q)(q＞3)在该一次函数的图象上，求k的取值范围.
解：∵点M(4，q)(q＞3)在该一次函数y＝kx＋b的图象上，
∴q＝4k＋b.
∵q＞3，
∴4k＋b＞3.
∴3k＋k＋b＞3.
∴k＋b＞3－3k.
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∵k＋b＜0，
∴3－3k＜0.
∴k＞1.
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第二十三章　一次函数
专题强化6　求一次函数的解析式
1.(2025福州长乐区期中)已知三点A(1，1)，B(2，－1)，C(4，－5)，试判断这三点是否在同一直线上，并说明理由.
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解：这三点在同一直线上.理由如下：
设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
把点A(1，1)，B(2，－1)代入，得
解得
∴直线AB的解析式为y＝－2x＋3.
∴当x＝4时，y＝－2×4＋3＝－5.
∴点C(4，－5)在直线AB上.
∴点A(1，1)，B(2，－1)，C(4，－5)在同一直线上.
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2.(2025福州仓山区期末)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(－2，－3)和点(0，1).
(1)求这个一次函数的解析式；
解：∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－2，－3)和点(0，1)，
∴
解得
∴这个一次函数的解析式为y＝2x＋1.
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2
3
4
(2)当1≤x＜5时，求函数值y的取值范围.
解：由(1)，得一次函数的解析式为y＝2x＋1.
∵2＞0，
∴y随着x的增大而增大.
在y＝2x＋1中，当x＝1时，y＝3；当x＝5时，y＝11.
∵1≤x＜5，∴3≤y＜11.
∴函数值y的取值范围为3≤y＜11.
1
2
3
4
3.(2025福州联考期中)已知y与2x－3成正比例关系，且当x＝2时，y＝4.
(1)求y关于x的函数解析式；
解：设y＝k(2x－3)(k≠0).
把x＝2，y＝4代入，得(2×2－3)k＝4.
解得k＝4.
∴y关于x的函数解析式为y＝4(2x－3)，即y＝8x－12.
1
2
3
4
(2)将(1)中所得函数的图象向下平移a(a＞0)个单位长度，使它过点(1，2)，请求出a的值.
解：将(1)中所得函数的图象向下平移a(a＞0)个单位长度，
平移后图象的解析式为y＝8x－12－a，
把点(1，2)代入，得8×1－12－a＝2.
解得a＝－6.
1
2
3
4
4.对于老师给定的一次函数y＝kx＋b，有以下三条关于该函数图象与性质的正确信息：
①函数图象与x轴交于点A(－2，0)；②函数图象与y轴交于点B，且OB＝2OA；③y随x的增大而增大.
(1)填空：点B的坐标是________；
(0，4)
1
2
3
4
(2)若直线y1＝mx－4与该一次函数的图象平行，求直线y1与两坐标轴围成的三角形的面积.
解：∵一次函数y＝kx＋b的图象过点A(－2，0)，B(0，4)，
∴
解得
1
2
3
4
∴y＝2x＋4.
∵直线y1＝mx－4与直线y＝2x＋4平行，
∴m＝2.
∴y1＝2x－4.
∴在函数y1＝2x－4中，当x＝0时，y1＝－4；当y1＝0时，2x－4＝0，x＝2.
∴直线y1与两坐标轴围成的三角形的面积为×4×2＝4.
1
2
3
4(共18张PPT)
第二十三章　一次函数
23.3　一次函数与方程(组)、不等式
第2课时　一次函数与二元一次方程组
知识点1　一次函数与二元一次方程组的关系
1.如图，一次函数y＝2x＋a的图象与y＝－x－b的图象交于点A，则关于x，y的方程组的解是(　　)
A. B.
C. D.
1
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7
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(第1题)
B
2.已知直线y＝－x＋4与直线y＝2x＋1相交于点A(1，3)，则关于x，y的方程组的解是.
1
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7
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9
10
3.已知关于x，y的二元一次方程组的解为则在同一平面直角坐标系中，直线l1：y＝x－n与直线l2：y＝－x＋m的交点坐标为__________.
(1，－1)　
1
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10
知识点2　根据两条直线的交点求不等式的解集
4.一次函数y＝－x＋2和y＝2x－1的图象如图所示，则关于x的不等式－x＋2＜2x－1的解集是(　　)
A.x＞1
B.x＝1
C.x＜1
D.不确定
(第4题)
A
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10
5.(2025福州联考期中)如图，已知函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P，则不等式kx－3＞2x＋b的解集是______.
(第5题)
x＜4
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10
6.如图，直线y1＝kx＋b经过点A(－6，0)，B(－1，5).
(1)求直线AB的解析式；
解：把点A(－6，0)，B(－1，5)代入y1＝kx＋b，得
解得
∴直线AB的解析式为y1＝x＋6.
1
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8
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10
(2)若直线y2＝－2x－3与直线AB相交于点M，求点M的坐标；
∵直线y2＝－2x－3与直线AB相交于点M，
解：由(1)，得直线AB的解析式为y1＝x＋6.
∴联立方程组，得
解得
∴点M的坐标为(－3，3).
1
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10
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx＋b≤－2x－3的解集.
解：关于x的不等式kx＋b≤－2x－3的解集为x≤－3.
1
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10
7.(2025福州一中期末)如图，一次函数y＝ax＋b与y＝x＋1的图象交于点P(2，m)，则关于x，y的方程组的解为.
(第7题)
1
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7
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9
10
8.一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图所示，则kx＋b－(x＋a)＞0的解集是________.
(第8题)
x＜－1　
1
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7
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10
9.已知A，B两地相距4 800 m，甲从A地出发，步行到B地，20 min后乙从B地出发，骑自行车到A地.设甲步行的时间为x min，甲、乙两人离A地的距离分别为y1 m，y2 m，y1，y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题.
(1)求出y1，y2关于x的函数解析式.
解：设y1关于x的函数解析式为y1＝k1x.
把点(60，4 800)代入y1＝k1x，得
60k1＝4 800.
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解得k1＝80.
∴y1关于x的函数解析式为y1＝80x.
设y2关于x的函数解析式为y2＝k2x＋b.
把点(20，4 800)，(60，0)代入y2＝k2x＋b，得
解得
∴y2关于x的函数解析式为
y2＝－120x＋7 200.
1
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10
(2)求甲出发后多少分钟两人相遇.
解：由题意，得两人相遇时y1＝y2，即80x＝－120x＋7 200.
解得x＝36.
答：甲出发后36 min两人相遇.
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10.(2025福州联考期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx＋b(k≠0)与x轴交于点A(3，0)，与y轴交于点B(0，3)，与直线CD交于点E.已知点D的坐标为(0，1)，点C在点A的左侧且AC＝6.
(1)直接写出直线AB的解析式：___________和直线CD的解析式：_________；
　y＝－x＋3　
　y＝x＋1　
1
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10
(2)在直线CD上，是否存在一点P，使得S△BEP＝？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在.
设P，
联立方程组解得
1
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3
4
5
6
7
8
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10
∴E.
∵BD＝OB－OD＝3－1＝2，
∴S△BEP＝BD·＝.
∴×2×＝.
解得m＝－6或9.
1
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8
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10
当m＝－6时，m＋1＝－1；
当m＝9时，m＋1＝4.
∴点P的坐标为(－6，－1)或(9，4).
∴存在点P，使得S△BEP＝，且点P的坐标为(－6，－1)或(9，4).
1
2
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9
10(共16张PPT)
第二十三章　一次函数
23.4　实际问题与一次函数
第1课时　分段函数
知识点　运用一次函数解决实际问题
1.为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6 m3时，水价为每立方米2元；超过6 m3时，超过的部分按每立方米3元收费.该市某户居民5月份用水x m3，应缴水费y元.
(1)请写出y关于x的函数解析式.
1
2
3
4
5
6
解：由题意，得
当0≤x≤6时，y＝2x；
当x＞6时，y＝6×2＋3(x－6)＝3x－6.
∴y关于x的函数解析式为
y＝
1
2
3
4
5
6
(2)如果该户居民这个月缴水费27元，那么这个月该户居民用了多少立方米水？
解：∵27＞2×6，
∴该户居民用水超过6 m3.
∴当y＝27时，27＝3x－6.
解得x＝11.
答：这个月该户居民用了11 m3水.
1
2
3
4
5
6
2.甲超市进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg，如果一次购买4 kg以上的苹果，超过4 kg的部分按标价的六折售卖.若x(单位：kg)表示购买苹果的质量，y(单位：元)表示付款金额.
(1)文文购买3 kg苹果需付款____元，购买5 kg苹果需付款____元；
30
46
1
2
3
4
5
6
(2)求付款金额y关于购买苹果的质量x的函数解析式.
解：由题意，得当0＜x≤4时，y＝10x；
当x＞4时，y＝4×10＋(x－4)×10×0.6＝6x＋16.
综上，付款金额y关于购买苹果的质量x的函数解析式为y＝
1
2
3
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5
6
3.某农户欲购买“白银2号”种子，如果一次性购买10 kg以上的种子，那么超过10 kg部分的种子价格会打折.购买种子所需的付款金额y(单位：元)与购买量x(单位：kg)之间的函数关系如图所示.
(1)根据图象，购买种子不超过10 kg时，每千克种子的价格为____元，写出此时y关于x的函数解析式：________(不用写出自变量的取值范围)；
　10　
y＝10x
1
2
3
4
5
6
(2)当顾客的付款金额为340元时，求此顾客购买了多少千克种子.
解：当x＞10时，
由图象，得y是x的一次函数，且过点A(10，100)，B(20，160)，
∴设y＝kx＋b(k≠0)，则
解得
1
2
3
4
5
6
由图象，得当顾客的付款金额为340元时，购买量大于10 kg.
令y＝6x＋40＝340.解得x＝50.
∴当顾客的付款金额为340元时，此顾客购买了50 kg种子.
∴y＝6x＋40(x＞10).
1
2
3
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5
6
4.某地出租车的计费方法如图所示，x(单位：km)表示行驶里程，y(单位：元)表示车费，请根据图象回答下面的问题：
(1)该地出租车的起步价是___元；
8
1
2
3
4
5
6
(2)当x＞3时，求y关于x的函数解析式；
解：当x＞3时，设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点(3，8)，(5，12)代入y＝kx＋b(k≠0)，得
解得
∴当x＞3时，y关于x的函数解析式为y＝2x＋2.
1
2
3
4
5
6
(3)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程.
解：∵40＞8，∴x＞3.
∴当y＝40时，40＝2x＋2.解得x＝19.
答：这位乘客乘车的里程是19 km.
1
2
3
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5
6
5.(教材P135T3变式)某网店销售一款手工编织品，在销售过程中发现，当这款手工编织品的销售单价为60元时，每星期可卖出100个.如果调整销售单价，每涨价1元，每星期就少卖出2个.现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期的销售量为y个，则y关于x的函数解析式为______________.
y＝－2x＋220　
1
2
3
4
5
6
6.甲、乙两台机器共同加工一批茶叶，共用了6 h.在加工过程中乙机器因故障停止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率继续加工，甲机器在加工过程中工作效率保持不变.甲、乙两台机器加工茶叶的总量y(单位：kg)与甲机器加工时间x(单位：h)之间的关系如图所示.
(1)甲机器每小时加工茶叶____kg，乙机器排除故障后每小时加工茶叶____kg；
20
40
1
2
3
4
5
6
(2)当3≤x≤6时，求y关于x的函数解析式；
解：设当3≤x≤6时，y关于x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点(3，90)，(6，270)代入，得
解得
∴y关于x的函数解析式为y＝60x－90(3≤x≤6).
1
2
3
4
5
6
(3)当加工茶叶的总量为210 kg时，乙机器实际工作了多长时间？
解：由图象，得当y＝210时，210＝60x－90.
解得x＝5.
乙机器因故障停止工作3－1＝2(h)，5－2＝3(h)，
∴乙机器实际工作了3 h.
1
2
3
4
5
6(共10张PPT)
第二十三章　一次函数
数学活动　水龙头的滴水量与纸杯的高度
1.我国是世界上水资源最缺乏的国家之一，同时又有很多水龙头由于漏水造成大量的浪费.某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组用最大容量为200 mL的量筒接水，每隔10 s观察量筒中水的体积，记录1 min内量筒中水的体积变化如下表(精确到1 mL)：
1
2
时间t/s 10 20 30 40 50 60
量筒中水的体积V/mL 30 45 60 75 90 105
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点；
时间t/s 10 20 30 40 50 60
量筒中水的体积V/mL 30 45 60 75 90 105
解：描点如图所示.
1
2
(2)量筒中水的体积V(单位：mL)是否为时间t(单位：s)的函数？如果是，试求出符合表中数据的函数解析式；
时间t/s 10 20 30 40 50 60
量筒中水的体积V/mL 30 45 60 75 90 105
解：筒中水的体积V(单位：mL)是时间t(单位：s)的函数，
当0≤t≤10时，V＝3t.
当t＞10时.设V＝kt＋b(k≠0).
1
2
由题意，得解得
∴V＝1.5t＋15.
∴V＝
1
2
(3)按此漏水速度，半小时会浪费多少毫升水？
时间t/s 10 20 30 40 50 60
量筒中水的体积V/mL 30 45 60 75 90 105
解：t＝0.5×60×60＝1 800(s)，1.5×1 800＋15＝2 715(mL).
答：半小时会浪费2 715 mL水.
1
2
2.如图，图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为10 cm，6个叠放在一起的纸杯的高为14 cm.
1
2
(1)求4个叠放在一起的纸杯的高为多少厘米.
解：∵量得1个纸杯的高为10 cm，6个叠放在一起的纸杯的高为14 cm，
∴5个叠放在一起的纸杯增加的高为14－10＝4(cm).
∴增加1个纸杯，高度增加4÷5＝0.8(cm).
∴4个叠放在一起的纸杯的高为10＋0.8×3＝12.4(cm).
1
2
(2)若设x个叠放在一起的纸杯的高为y cm(如图2)，并将这x个叠放在一起的纸杯按如图3所示的方式放进竖立的方盒中，方盒的厚度忽略不计.
①求y关于x的函数解析式；
解：由题意，得y是x的一次函数，设y＝kx＋b(k≠0).
1
2
将x＝1，y＝10和x＝6，y＝14代入，得
解得
∴y关于x的函数解析式为y＝0.8x＋9.2.
②若竖立的方盒的高为33.5 cm，求x的最大值.
解：由题意，得0.8x＋9.2＜33.5.
解得x＜30.375.
∵x为正整数，
∴x的最大值为30.
1
2(共22张PPT)
第二十三章　一次函数
23.2　一次函数的图象和性质
第3课时　用待定系数法求一次函数的解析式
知识点1　已知点的坐标，求一次函数的解析式
1.(2025广西)已知一次函数y＝－x＋b的图象经过点P(4，3)，则b＝
(　　)
A.3 B.4
C.6 D.7
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
D
2.已知一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象过A(3，5)与B(－4，－9)两点.
(1)求该一次函数的解析式；
解：∵一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象过A(3，5)与B(－4，－9)两点，
∴解得
∴该一次函数的解析式为y＝2x－1.
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
(2)若C(a，3)是该一次函数图象上一点，求a的值.
解：将C(a，3)代入y＝2x－1，得
3＝2a－1.
解得a＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
3.已知一次函数，当x＝1时，y＝－2；当x＝0时，y＝－1.
(1)求这个函数的解析式；
解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k≠0).
由题意，得解得
∴这个函数的解析式为y＝－x－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(2)若这个函数的图象与x轴交于点C，与y轴交于点B，求△OBC的面积.
解：令y＝0，得－x－1＝0.
解得x＝－1.
∴点C(－1，0).∴OC＝1.
由题意，得点B(0，－1).∴OB＝1.
∴S△OBC＝OB·OC＝×1×1＝.
1
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10
知识点2　根据平移变化，求一次函数的解析式
4.若把一次函数y＝2x－3的图象向上平移3个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为(　　)
A.y＝2x B.y＝2x－6
C.y＝5x－3 D.y＝－x－3
A
1
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10
5.直线y＝2x＋2沿x轴向右平移2个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为(　　)
A.y＝2x B.y＝x－2
C.y＝2x－2 D.y＝2x－1
C
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10
6.若直线y＝kx＋b与直线y＝2x平行且经过点A(0，－1)，则直线的解析式为__________.
y＝2x－1
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知识点3　简单的一次函数的实际应用
7.小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y(单位：元)与销售量x(单位：kg)之间的关系如图所示.求降价后销售额y关于销售量x的函数解析式.
解：设降价后销售额y关于销售量x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0).
把点A(40，160)，B(80，260)代入，得
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解得
∴降价后销售额y关于销售量x的函数解析式为y＝2.5x＋60(x＞40).
1
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5
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7
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8.(2025厦门大同中学期末)已知一次函数y＝kx＋2的图象经过点(－1，0).
(1)求该一次函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该一次函数的图象；
解：将点(－1，0)代入y＝kx＋2，
得0＝－k＋2.
1
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7
8
9
10
解得k＝2.
∴该一次函数的解析式为y＝2x＋2.
画出该一次函数的图象如图所示.
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
(2)若点P(3，t)与点Q(m，n)都在该函数图象上，且t＜n，求m的取值范围.
解：由(1)，得y＝2x＋2.\
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大.
∵点P(3，t)与点Q(m，n)都在该函数图象上，且t＜n，
∴m＞3.
1
2
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10
9.某游乐园为了吸引游客，特别推出了团体门票优惠活动，当一次性购票不超过4张时，按原价售出；当一次性购票超过4张时，超过的部分给予优惠.团体购票数量x(单位：张)与所付门票的总费用y(单位：元)之间存在如图所示的函数关系.根据图中信息，解答下列问题：
(1)求y关于x的函数解析式；
解：当0≤x≤4时，y＝20x.
当x＞4时，设y关于x的函数解析式为y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
将点(4，80)，(12，200)代入，得
解得
∴y关于x的函数解析式为y＝15x＋20(x＞4).
综上，y关于x的函数解析式为
y＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(2)若某团体在活动期间去该游乐园游玩，所付门票的总费用为320元，求该团体的总人数.
解：∵320＞80，
∴x＞4.
令y＝320，得15x＋20＝320.
解得x＝20.
∴该团体的总人数是20.
1
2
3
4
5
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10
10.如图，一次函数y＝－x＋5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数l2与l1交于点C(m，4).
(1)求m的值及l2的函数解析式；
解：将C(m，4)代入一次函数解析式y＝－x＋5中，得－m＋5＝4，
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解得m＝2.
∴点C的坐标为(2，4).
设l2的函数解析式为y＝kx(k≠0)，
将C(2，4)代入，得4＝2k.
解得k＝2.
∴l2的函数解析式为y＝2x.
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(2)若点D在x轴上，且满足S△DOC＝2S△BOC，求点D的坐标.
解：将x＝0代入y＝－x＋5中，得y＝5.
∴点B的坐标为(0，5)，即OB＝5.
又C(2，4)，
∴S△BOC＝×5×2＝5.
∵S△DOC＝2S△BOC，
∴S△DOC＝10.
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又C(2，4)，
∴OD×4＝10.
解得OD＝5.
∴点D的坐标为(－5，0)或(5，0).
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本节结束后请使用阶段训练6.(共24张PPT)
第二十三章　一次函数
23.2　一次函数的图象和性质
第2课时　一次函数的图象和性质
知识点　一次函数的图象和性质
1. 已知一次函数y＝－x＋1，它的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B.
(1)求A，B两点的坐标；
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解：令y＝0，得－x＋1＝0.
解得x＝2.
∴点A的坐标为(2，0).
令x＝0，得y＝－×0＋1＝1.
∴点B的坐标为(0，1).
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(2)在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
解：画出该函数的图象如图所示.
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(3)若点M(－2，n)，N(4，q)都在该函数的图象上，则n与q的大小关系是______；
n＞q
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(4)画出该函数图象向下平移3个单位长度后得到的图象；
解：将y＝－x＋1的图象向下平移3个单位长度后得到的图象如图所示.
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(5)一次函数y＝－x＋1的图象向下平移3个单位长度后所得到的图象对应的解析式为___________.
y＝－x－2　
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2.一次函数y＝kx＋3(k＞0)的图象大致是(　　)
A B C D
A
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变式　若一次函数y＝kx＋b的图象经过第一、第二、第四象限，则有(　　)
A.k＞0，b＞0 B.k＜0，b＞0
C.k＜0，b＜0 D.k＞0，b＜0
B
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3.(2025厦门外国语学校期中)已知一次函数y＝(k＋3)x－1的函数值y随x的增大而减小，则k的值可能是(　　)
A.2 B.0
C.－2 D.－4
D
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4.一次函数y＝2x－1的图象，可由函数y＝2x＋1的图象(　　)
A.向左平移2个单位长度而得到
B.向右平移2个单位长度而得到
C.向上平移2个单位长度而得到
D.向下平移2个单位长度而得到
D
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5.点A(2，y1)，B(3，y2)都在一次函数y＝2x＋b的图象上，则y1，y2的大小关系是(　　)
A.y1＜y2 B.y1＝y2
C.y1＞y2 D.不确定
A
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6.已知点A(m，7)在函数y＝3x＋1的图象上，则m的值为___.
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7.(2025福州连江期中)在平面直角坐标系中，直线y＝3x＋b经过第一、第三、第四象限，则b的值可以是_________________(写出一个即可).
－1(答案不唯一)
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8.(2025福州连江期中)若直线y＝2x－1向下平移2个单位长度后经过点(2，m)，则m的值为(　　)
A.1 B.7
C.10 D.－2
A
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9.(2025安徽)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是(　　)
A.(－2，2) B.(2，1)
C.(－1，3) D.(3，4)
D
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10.(2025福州联考期中)已知直线y＝kx＋b经过第一、第二、第四象限，则直线y＝－kx＋b的图象可能是(　　)
B
A B C D
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11.(2025福州闽清期末)若直线y＝－3x＋2过点P(a，b)，则3a＋b＋2 025的值为_______.
2 027
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12.已知一次函数y＝－2x＋4.
(1)求函数图象与坐标轴围成的三角形的面积；
解：当x＝0时，y＝4；
当y＝0时，－2x＋4＝0，x＝2.
∴一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴交点坐标为(2，0)，与y轴交点坐标为(0，4).
∴此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是×4×2＝4.
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(2)当0＜x≤4时，求y的取值范围；
解：∵k＝－2＜0，
∴y随x的增大而减小.
∵0＜x≤4，
∴当x＝0时，y取最大值，y＝4；
当x＝4时，y取最小值，y＝－4.
∴当0＜x≤4时，y的取值范围是－4≤y＜4.
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(3)将直线y＝－2x＋4沿y轴平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线的函数解析式.
解：平移后的直线的函数解析式为y＝－2x＋1或y＝－2x＋7.
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13.已知一次函数y＝kx＋k－1(k为常数，k≠0).
(1)一次函数的图象过定点C，则点C的坐标为____________；
(－1，－1)
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(2)若一次函数的图象经过点(2，5)，求一次函数的解析式；
解：∵一次函数y＝kx＋k－1的图象经过点(2，5)，
∴5＝2k＋k－1.
∴k＝2.
∴一次函数的解析式为y＝2x＋1.
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(3)在(2)的条件下，当m≤x≤m＋3时，记函数的最大值为M，最小值为N，求M－N的值.
解：∵在y＝2x＋1中，k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大.
∵m≤x≤m＋3，
∴当x＝m时，y有最小值N，N＝2m＋1.
当x＝m＋3时，y有最大值M，M＝2m＋7.
∴M－N＝2m＋7－2m－1＝6.
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第二十三章　一次函数
23.4　实际问题与一次函数
第3课时　选择方案(2)
知识点　“根据一次函数增减性求最值”类方案设计
1.(2025深圳改编)某学校采购体育用品，需要购买篮球和足球.已知某体育用品商店中篮球、足球的价格如下表：
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①购买2个足球比购买1个篮球多花费40元
②购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1)请你根据上述条件，求出篮球和足球的单价；
解：设每个篮球x元，每个足球y元.
由题意，得解得
答：每个篮球60元，每个足球50元.
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4
(2)若该学校要购买篮球和足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，那么购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？
①购买2个足球比购买1个篮球多花费40元
②购买5个篮球与购买6个足球花费相同
解：设购买篮球m个，则购买足球(10－m)个.
由题意，得2m≥10－m.
解得m≥.
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设购买的总费用是w元.
则w ＝60m＋50(10－m)＝10m＋500.
∵10＞0，
∴ w随m的减小而减小.
∵m≥且m为整数，
∴当m取最小值4时，w取最小值，为10×4＋500＝540(元).
答：当购买4个篮球时所花费用最少，最少费用是540元.
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2.(2025烟台)为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
解：设甲种路灯的单价为x元，乙种路灯的单价为y元.
由题意，得解得
答：甲种路灯的单价为60元，乙种路灯的单价为80元.
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(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40－m)盏.
由题意，得m≤(40－m).
解得m≤10.
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设购买费用为n元.
由题意，得n＝60m＋80(40－m)＝－20m＋3 200.
∵－20＜0，
∴n随m的增大而减小.
∴当m＝10时，n有最小值，最小值为－20×10＋3 200＝3 000.
此时40－m＝40－10＝30.
答：当购买甲种路灯10盏，购买乙种路灯30盏时，所需费用最少.
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3.(2025厦门翔安一中期中)为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2 500元购买航空模型的数量是用2 400元购买航海模型数量的.
(1)求航空模型和航海模型的单价；
解：设航海模型的单价为x元，则航空模型的单价为(x＋35)元.
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4
由题意，得＝×.
解得x＝90.
经检验，x＝90是方程的解且符合题意，
则x＋35＝90＋35＝125.
答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元.
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3
4
(2)学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠.若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少.
解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型(120－
m)个.
由题意，得m≥(120－m).
解得m≥40.
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由题意，得y＝125×0.8m＋90(120－m)＝10m＋10 800.
∵10＞0，
∴y随m的增大而增大.
∴当m＝40时，y有最小值，最小值为10×40＋10 800＝11 200.
此时120－m＝120－40＝80.
答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少.
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4.(2025福州长乐区期末)为迎接国际玩具博览会，某厂家计划生产塑料积木套装和环保积木套装两款产品，总产量为1 200套.厂家经过市场调研，制定了定价和产量，相关信息如表：
成本/(元/套) 定价/(元/套) 产量/套
塑料积木套装 50 100 ①__________
环保积木套装 100 120 x
总利润W与x的解析式：②___________________
(1)请直接写出表格中的①②；
1 200－x
W＝－30x＋60 000
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(2)若环保积木套装的产量不少于塑料积木套装产量的3倍，且生产的产品全部售出，求厂家可获取的最大利润.
解：由题意，得x≥3(1 200－x).
解得x≥900.
由(1)，知总利润W与x的解析式为W＝－30x＋60 000.
∵－30＜0，
∴W随x的增大而减小.
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3
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∴当x＝900时，W取得最大值，最大值为－30×900＋60 000＝
33 000.
答：厂家可获取的最大利润为33 000元.
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本节结束后请使用阶段训练7.(共16张PPT)
第二十三章　一次函数
综合与实践　跨学科学习
1.【问题背景】弹簧测力计主要由弹簧、挂钩、刻度板构成，在弹性限度内，拉力与弹簧的伸长量成正比(弹性限度指弹簧符合该变化规律的最大长度).综合实践小组准备用弹簧自制一个弹簧测力计，为此他们准备了若干个质量为5 N的砝码、刻度尺，探究在弹性限度内弹簧的长度与拉力的关系，再根据实验数据制作弹簧测力计.
1
2
【实验探究】综合实践小组先测量弹簧的初始长度，然后在弹簧尾部的挂钩上每次加一个砝码，并分别测量弹簧挂上砝码后的长度y(单位：cm)，获得的数据如表所示.
拉力x/N 0 5 10 15 20 25 30
弹簧长度y/cm 6 8 10 12 14 16.8 20
1
2
【建立模型】
任务一：观察以上实验数据，请估计该弹簧的弹性限度所在的范围是____(填序号)；
①14～16.8 cm；②16.8～20 cm；③大于20 cm.
拉力x/N 0 5 10 15 20 25 30
弹簧长度y/cm 6 8 10 12 14 16.8 20
①
1
2
任务二：在图1的平面直角坐标系中，描出在弹性限度范围内的实验数据，顺次连接各点，合理估计在弹性限度范围内弹簧长度y(单位：cm)与拉力x(单位：N)之间的函数关系，并求出该函数的解析式.
1
2
解：描点、连线如图1所示.
设弹簧长度y关于拉力x的函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将点(0，6)，(5，8)代入，得
解得
∴在弹性限度范围内，弹簧长度y关于拉力x的函数解析式为y＝x＋6.
1
2
【产品制作】综合实践小组将弹簧装入刻度板中，弹簧的顶部与刻度板顶部重合，通过观察弹簧底部在刻度板上对应的刻度值直接读取重力.
任务三：在图2中，从0刻度线开始，每隔1 N在刻度板上找到对应的刻度线(画出0～10 N即可)，并直接写出相邻刻度线间的距离.
解：如图2所示.
相邻刻度线间的距离是0.4 cm.
1
2
2.实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关.
实验过程：如图1，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20 cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化.(溢水杯的杯底厚度忽略不计)
1
2
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，和它浸在液体中的体积有关，和液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大，液体的密度越大，浮力就越大.
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉＝G铝块；
当小铝块浸入液面后，F拉＝G铝块－F浮.
1
2
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉(单位：N)与小铝块各自下降的高度x(单位：cm)之间的关系如图2所示.
1
2
【解决问题】
(1)当小铝块下降10 cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数.
解：由图2可知，当小铝块下降10 cm时，弹簧测力计A的示数为2.8 N，弹簧测力计B的示数为2.5 N.
1
2
(2)当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉关于x的函数解析式.
解：设当6≤x≤10时，弹簧测力计A的示数F拉A关于x的函数解析式为F拉A＝k1x＋b1(k1≠0).
由图2可知，F拉A＝k1x＋b1(k1≠0)经过点(6，4)，(10，2.8).
1
2
分别将点(6，4)，(10，2.8)代入F拉A＝k1x＋b1(k1≠0)，得
解得
∴F拉A＝－0.3x＋5.8(6≤x≤10).
1
2
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8 cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m(单位：N)，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m(单位：N)，则乙液体中小铝块浸入的深度为n(单位：cm)，请直接写出m，n的值.
1
2
解：m＝0.6，n＝1.6.　
将x＝8代入F拉A＝－0.3x＋5.8，得F拉A＝3.4.
则F浮＝G铝块－F拉A＝4－3.4＝0.6(N)，即m＝0.6.
∵乙液体中的小铝块所受的浮力也为0.6 N，
解析：由题意可知，小铝块重为4 N.
1
2
设当6≤x≤10时，弹簧测力计B的示数F拉B关于x的函数解析式为F拉B＝k2x＋b2(k2≠0).
由图2可知，F拉B＝k2x＋b2(k2≠0)经过点(6，4)，(10，2.5).
∴F拉B＝G铝块－F浮＝4－0.6＝3.4(N).
解得
∴F拉B＝－x＋(6≤x≤10).
将F拉B＝3.4代入，得－x＋＝3.4.
1
2
解得x＝.
∴乙液体中小铝块浸入的深度为－6＝1.6(cm)，即n＝1.6.
分别将点(6，4)，(10，2.5)代入F拉B＝k2x＋b2(k2≠0)，得(共17张PPT)
第二十三章　一次函数
23.1　一次函数的概念
知识点1　正比例函数与一次函数的概念
1.(2025厦门双十中学期末)下列函数中，表示y是x的正比例函数的是(　　)
A.y＝x＋5 B.y＝2x
C.y＝2x2 D.y＝
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B
变式　下列函数中，不是一次函数的是(　　)
A.y＝＋1 B.y＝3x－1
C.y＝－3(x＋1) D.y＝－
A
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2.(2025福州立志中学期中)如果y＝x＋3a－1是正比例函数，那么a的值是(　　)
A.－3 B.－
C.0 D.
D
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变式　若y＝(k－3)x＋b－2是一次函数，但不是正比例函数，则
(　　)
A.k＝3，b＝2 B.k≠－3，b＝2
C.k≠3，b≠2 D.k＝－3，b≠2
C
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知识点2　求正比例函数的解析式
3.已知y与x成正比例关系，且当x＝－1时，y＝3.
(1)求y关于x的函数解析式；
解：设y关于x的函数解析式为y＝kx(k≠0)，将x＝－1，y＝3代入，得3＝－k.解得k＝－3.
∴y关于x的函数解析式为y＝－3x.
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(2)当x＝2时，求y的值；
解：把x＝2代入y＝－3x，得
y＝－3×2＝－6.
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(3)当y＝5时，求自变量x的值.
解：把y＝5代入y＝－3x，得5＝－3x.
解得x＝－.
知识点3　实际问题中的函数解析式
4.用函数解析式表示下列问题中y与x之间的关系，并判断y是否为x的一次函数，y是否为x的正比例函数.
(1)等边三角形的周长y与边长x之间的关系；
解：y＝3x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数.
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5
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8
(2)汽车行驶前，油箱中有油65 L，已知汽车每行驶1 km耗油0.2 L，油箱的余油量y(单位：L)与已行驶的距离x(单位：km)之间的关系；
解：y＝－0.2x＋65，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
1
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(3)有一长方体盒子高为10 cm，底面是正方形，求这个长方体的体积y(单位：cm3)与底面边长x(单位：cm)之间的关系.
解：y＝10x2，y既不是x的一次函数，也不是x的正比例函数.
5. 若y＝(a－3)x＋a2－9为正比例函数，则a的值为(　　)
A.3 B.－3
C.±3 D.9
B
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6.已知函数y＝(m＋1)x2－｜m｜＋n＋4.
(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？
解：由题意，得m＋1≠0，2－｜m｜＝1.
∴当m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数.
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解得m＝1.
(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
解：由题意，得m＋1≠0，2－｜m｜＝1，n＋4＝0.
∴当m＝1，n＝－4时，这个函数是正比例函数.
解得m＝1，n＝－4.
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7.(教材P116T5)学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包60元.张华现有积攒的零花钱480元，记她用零花钱捐献的书包数为x个，剩余的钱数为y元.
(1)求y关于x的函数解析式，以及自变量x的取值范围；
解：y关于x的函数解析式为y＝480－60x.
由题意，得解得0≤x≤8.
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(2)若她至少要留下180元购买课外书，则她最多能捐献几个书包？
解：由题意，得480－60x≥180.解得x≤5.
答：她最多能捐献5个书包.
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8.已知y＝y1＋y2，其中y1是x的正比例函数，y2与x＋1成正比例关系，当x＝1时，y＝3；当x＝－3时，y＝－1.
(1)求y关于x的函数解析式，并判断y是否为x的一次函数，y是否为x的正比例函数；
解：设y1＝k1x，y2＝k2(x＋1)，
则y＝k1x＋k2(x＋1)，其中k1≠0，k2≠0.
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把x＝1，y＝3和x＝－3，y＝－1分别代入，得
解得
∴y关于x的函数解析式为y＝－x＋2(x＋1)＝x＋2，
即y＝x＋2.
∴y是x的一次函数，但不是正比例函数.
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(2)若点(a－3，4)是该函数图象上的一点，求a的值.
解：由(1)，知y＝x＋2.
∵点(a－3，4)是该函数图象上的一点，
∴把点(a－3，4)代入y＝x＋2，得
a－3＋2＝4.解得a＝5.
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8(共11张PPT)
第二十三章　一次函数
专题强化7　求直线围成的图形面积
1.已知一次函数y＝kx＋b的图象与y轴交于点A(0，4)，且过点B(1，2).
(1)求这个一次函数的解析式；
1
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解：由题意，得
解得
∴这个一次函数的解析式为y＝－2x＋4.
(2)若P为该一次函数上的一点，C为该函数图象与x轴的交点，且S△PCO＝10，求点P的坐标.
解：令y＝0，得－2x＋4＝0.
∴x＝2.
∴点C的坐标为(2，0).
∴OC＝2.
设点P的坐标为(x，－2x＋4).
∵S△PCO＝10，
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3
∴×2×｜－2x＋4｜＝10.
∴－2x＋4＝10或－10.
当－2x＋4＝10时，解得x＝－3.
当－2x＋4＝－10时，解得x＝7.
∴点P的坐标为(－3，10)或(7，－10).
1
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3
2.(2025福州一中期中)如图，根据图中信息回答下面的问题：
(1)求直线AP，BP的解析式及点P的坐标；
解：∵直线AP：y1＝x＋n经过点C(0，1)，
∴1＝0＋n.
∴n＝1.
∴直线AP的解析式为y1＝x＋1.
∵直线BP：y2＝－x＋m经过点B(3，0)，
∴0＝－3＋m.
1
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3
∴m＝3.
∴直线BP的解析式为y2＝－x＋3.
联立方程组，得解得
∴P(1，2).
1
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(2)根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；
解：y1＞y2时，x的取值范围为x＞1.
1
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3
(3)连接CB，求S△CPB.
解：如图，设直线BP与y轴的交点为D.
把x＝0代入y2＝－x＋3，得y2＝3.
∴D(0，3).
∴CD＝3－1＝2.
∴S△CPB＝S△BCD－S△PCD＝×2×3－×2×1＝2.
1
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3
3.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝－x＋5与x轴、y轴分别交于点A，B.直线l2：y＝mx＋m(m＞0)与l1交于点E.若点E的坐标为(1，n).
(1)求点E的坐标和m的值；
解：当x＝1时，y＝－1＋5＝4.
∴E(1，4).
将点E(1，4)代入y＝mx＋m，得
4＝m＋m.
解得m＝2.
1
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3
(2)已知点P在直线l2上，若S△AEP＝3，求点P的坐标.
解：由(1)，知直线l2：y＝2x＋2.
设点P的横坐标为t，则P(t，2t＋2).
如图，过点P作PM∥y轴，交直线l1于点M，
则M(t，－t＋5).
∴PM＝｜2t＋2－(－t＋5)｜＝｜3t－3｜.
∵直线l1：y＝－x＋5与x轴、y轴分别交于点A，B.
1
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3
∴A(5，0).
∴S△AEP＝PM·(xA－xE)＝3，
即｜3t－3｜×(5－1)＝3.
解得t＝1.5或t＝0.5.
∴点P的坐标为(1.5，5)或(0.5，3).
1
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3(共20张PPT)
第二十三章　一次函数
23.2　一次函数的图象和性质
第1课时　正比例函数的图象和性质
知识点1　正比例函数的图象
1.(2025厦门一中期中)在下列各图象中，表示函数y＝x的图象大致是(　　)
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A
A B C D
知识点2　正比例函数的性质
2. 已知y是x的正比例函数，且图象经过点A(3，－6).
(1)求y关于x的函数解析式；
解：设y关于x的函数解析式为y＝kx(k≠0).
∵图象经过点A(3，－6)，
∴－6＝3k.
解得k＝－2.
∴y关于x的函数解析式为y＝－2x.
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(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
解：画出该函数的图象如图所示.
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(3)若点(－1，y1)，(－2，y2)在该函数图象上，则y1，y2的大小关系是________(用“＜”连接).
y1＜y2　
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3.下列关于正比例函数y＝2x的说法中，正确的是(　　)
A.它的图象经过点(2，1)
B.它的图象是一条过原点的直线
C.y随x的增大而减小
D.它的图象经过第二、第四象限
B
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4. (2025南平期末)若直线y＝kx(k是常数，k≠0)经过第一、第三象限，请写出一个满足条件的k的值：_______________.
1(答案不唯一)
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5.已知正比例函数y＝3x的图象经过点(a，6)，则a的值为___.
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6.已知函数y＝－8x上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＜x2，则y1____y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
＞
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7.已知正比例函数y＝(2m＋4)x.
(1)如果y随x的增大而减小，求m的取值范围；
解：∵y随x的增大而减小，
∴2m＋4＜0.解得m＜－2.
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(2)当m为何值时，点(1，m)在该函数图象上？
解：∵点(1，m)在该函数图象上，
∴2m＋4＝m.解得m＝－4.
8.(2025厦门双十中学期末)在平面直角坐标系中，已知正比例函数y＝kx的图象经过点P1(－1，y1)，P2(2，y2).若y1＞y2，则k的值可能为 (　　)
A.2 B.1
C.0 D.－1
D
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9.(2025长春)已知点A(－3，y1)，B(3，y2)在同一正比例函数y＝kx(k＜0)的图象上，则下列结论正确的是(　　)
A.y1＝－y2 B.y1＝y2
C.y2＞0 D.y1＜0
A
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10.若正比例函数y＝(2k－1)x的图象上有一点A(x1，y1)，且x1y1＜0，则k的取值范围是_____.
k＜　
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11.已知函数y＝(10－k)x＋k－5是关于x的正比例函数.
(1)求k的值；
解：由正比例函数的定义，得
解得k＝5.
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(2)若点(a，y1)，(a＋2，y2)在该函数图象上，试比较y1，y2的大小；
解：由(1)，得函数的解析式为y＝5x.
∵5＞0，
∴y随x的增大而增大.
又a＋2＞a，
∴y2＞y1.
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(3)当－＜x＜2时，求y的取值范围.
解：与(2)同理，得y随x的增大而增大.
∵－＜x＜2，
∴当x＝－时，y取最小值，y＝－1；
当x＝2时，y取最大值，y＝10.
∴当－＜x＜2时，－1＜y＜10.
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12.每年的3月22日是“世界水日”.联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性.水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小明同学在如图所示的滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每5 min记录一次容器中的水量，如下表.
时间t/min 0 5 10 15 20 25 …
量杯中的水量y/mL 0 15 30 45 60 75 …
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(1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑的线连接这些点；
时间t/min 0 5 10 15 20 25 …
量杯中的水量y/mL 0 15 30 45 60 75 …
解：如图所示.
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(2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出y关于t的函数解析式；
解：根据图象，得y是关于t的正比例函数，
设函数解析式为y＝kt(k≠0).
把点(5，15)代入y＝kt，得5k＝15.
解得k＝3.
∴y关于t的函数解析式为y＝3t.
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(3)请根据(2)中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下一天的漏水量.
解：当t＝60×24＝1 440时，
y＝3t＝3×1 440＝4 320.
答：估计这种漏水状态下一天的漏水量有4 320 mL.
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12(共9张PPT)
第二十三章　一次函数
综合与实践　生活中的数学
项目主题 如何确定单肩包的最佳背带长度
素材1 图1是一款单肩包，背带由双层部分、单
层部分和调节扣构成.使用时可以通过调
整调节扣的位置加长或缩短单层部分和双
层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短(总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计)
项目主题 如何确定单肩包的最佳背带长度
素材2 对该单肩包的背带长度进行测量，记双层部分的长度为x cm，单层部分的长度为y cm，y与x满足一次函数关系，其部分数据如下表：
双层部分的长度x/cm 2 6 10 14
单层部分的长度y/cm 116 108 100 92
项目主题 如何确定单肩包的最佳背带长度
素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为2∶3
素材4 小明爸爸购买了此款单肩包，他将该单肩包的
背带总长度调整到最短后提在手上，然后自然
站立，此时背包的悬挂点离地面的高度为53.5
cm；已知爸爸的臂展和身高一样(如图2)，且肩宽为38 cm，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的
任务1 直接写出y与x的函数解析式，并确定x的取值范围
解：任务1　y与x的函数解析式是y＝－2x＋120，x的取值范围是0≤x≤60.
解析：设y与x的函数解析式为y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0).
将x＝2，y＝116和x＝10，y＝100代入y＝kx＋b，
得
解得
∴y与x的函数解析式是y＝－2x＋120，x的取值范围是0≤x≤60.
任务2 设人的身高为h cm，当单肩包的背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时h与x之间的函数解析式
解：单肩包背带总长度为y＋x＝－2x＋120＋x＝－x＋120.
当单肩包背带总长度调整为最佳背带总长度时，
∶h＝2∶3.
∴h＝－x＋180.
任务3 当小明爸爸的单肩包背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时背带双层部分的长度
解：设小明爸爸身高为h cm.
∵y＋x＝－x＋120(0≤x≤60)，
∴当x＝60时，单肩包的背带总长度调整到最短为－60＋120＝60(cm).
∴h＝h＋＋＋53.5.
解得h＝172，即小明爸爸身高为172 cm.
∴172＝－x＋180.
解得x＝.
∴小明爸爸的单肩包背带总长度调整为最佳背带总长度时，背带双层部分的长度为 cm.

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