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(共19张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.2　菱形
第1课时　菱形的性质
知识点1　菱形的性质
1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　)
A.对角相等 B.对角线相等
C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直
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D
2.(2025福州长乐区期末)如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变∠BCD的大小(菱形的边长不变).当∠BCA＝25°时，∠ADC的度数为(　　)
A.25°
B.50°
C.130°
D.150°
(第2题)
C
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3.(2023福建)如图，在菱形ABCD中，AB＝10，∠B＝60°，则AC的长为____.
(第3题)
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4.如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，若∠1＝20°，则∠2的度数为______.
(第4题)
70°
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5.如图，在菱形ABCD中，点E为对角线BD上一点，连接AE，CE.求证：AE＝CE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE.
又DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS).
∴AE＝CE.
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知识点2　菱形的周长和面积
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点.若OE＝3，则菱形ABCD的周长为(　　)
A.6
B.12
C.24
D.48
C
(第6题)
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7.(2025福州仓山区期中)如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，OA＝3，OB＝4，则菱形ABCD的面积为(　　)
A.12
B.16
C.24
D.28
(第7题)
C
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变式　(教材P80T11变式)如图，在菱形ABCD中，AC＝6，BD＝8，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为.
(第7题变式)
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8.如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为(3，4)，则顶点A的坐标为(　　)
A.(－4，2)
B.(－，4)
C.(－2，4)
D.(－4，)
(第8题)
C
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9.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F，则△AEF的周长是______.
(第9题)
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10.(教材P87T6变式)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E.
(1)求证：四边形AODE是矩形；
解：证明：∵AE∥BD，DE∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
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∴AC⊥BD.
∴∠AOD＝90°.
∴四边形AODE是矩形.
(2)若AB＝2，∠ABC＝60°，求四边形AODE的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝BC.
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形.
∴AC＝AB＝2.
∴OA＝AC＝1.
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∴OD＝OB＝＝.
∵四边形AODE是矩形，
∴S矩形AODE＝OA·OD＝.
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11.在菱形ABCD中，AB＝5，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC，CD所在直线于点E，F.
(1)如图1，当点E，F分别在边BC，CD上时，求CE＋CF的值.
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解：如图1，连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴BC＝AB＝5，△ABC，△ACD都是等边三角形.
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACD＝60°.
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAC－∠CAE＝∠EAF－∠CAE，
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即∠BAE＝∠CAF.
又∠ABE＝∠ACF＝60°，
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE＝CF.
∴CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝5.
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(2)如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上时，CE，CF存在怎样的关系？证明你的结论.
解：CE－CF＝5.证明如下：
如图2，连接AC.
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAC－∠BAF＝∠EAF－∠BAF，即∠BAE＝∠CAF.
又∠ABE＝∠ACF＝120°，
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由(1)知，AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACD＝60°.
∴△ABE≌△ACF(ASA).
∴BE＝CF.
∴CE－CF＝CE－BE＝BC＝5.
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11(共19张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩形
第2课时　矩形的判定
知识点1　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.小刚和小东在做一道习题：若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是矩形.小刚补充的条件是∠A＝∠B；小东补充的条件是∠A＋∠C＝180°.你认为下列说法正确的是
(　　)
A.小刚和小东都正确 B.仅小刚正确
C.仅小东正确 D.小刚和小东都错误
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A
2.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵O是边AB的中点，
∴OA＝OB.
在△AOD和△BOC中，
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∴△AOD≌△BOC(ASA).
∴AD＝BC.
∵∠A＝∠B＝90°，
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
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知识点2　对角线相等的平行四边形是矩形
3.如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，AC＝8，当OD＝___时， ABCD是矩形.
(第3题)
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4.(教材P78习题T1改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴AC＝2OA，BD＝2OB.
∵∠1＝∠2，
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∴OA＝OB.
∴AC＝BD.
∴四边形ABCD是矩形.
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知识点3　有三个角是直角的四边形是矩形
5.工人师傅在测量一个门框是不是矩形时，只需要用到一个直角尺，那么他用到的判定方法是______________________________.
有三个角是直角的四边形是矩形
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6.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，过点A作AN∥BC，过点C作CE⊥AN，垂足为E，连接DE交AC于点F.求证：四边形ADCE是矩形.
证明：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°.
∵AN∥BC，CE⊥AN，
∴∠DCE＝∠CEA＝90°.
∵∠DCE＝∠CEA＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE是矩形.
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7.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到四边形EFGH.若要使四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD必须满足条件(　　)
A.AB＝AD
B.AB⊥AD
C.AC＝BD
D.AC⊥BD
(第7题)
D
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8.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AB至点E，使AB＝BE，连接DB，DE和CE，且AD＝DE.
(1)求证：四边形BDCE是矩形；
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC.
∵延长AB至点E，使AB＝BE，
∴BE∥CD，BE＝CD.
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∴四边形BDCE是平行四边形.
∵AD＝DE，
∴BC＝DE.
∴四边形BDCE是矩形.
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(2)若AB＝2，DE＝4，求点A和点C之间的距离.
解：如图，连接AC，则点A和点C之间的距离即为线段AC的长度.
∵AD＝DE，DE＝4，
∴AD＝4.
由(1)，得∠DBA＝90°.
∴在Rt△ABD中，DB＝＝＝2.
∵四边形BDCE是矩形，
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∴DB＝CE＝2.
∵AB＝BE，AB＝2，
∴BE＝2，AE＝4.
由(1)，得∠BEC＝90°.
∴在Rt△AEC中，AC＝＝＝2.
∴点A和点C之间的距离为2.
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9.如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，E，F是对角线上的两个动点，分别从A，C同时出发相向而行，速度均为1 cm/s，运动时间为t s，0≤t≤10.
(1)AE＝___ cm，EF＝____________ cm；(用含t的代数式表示)
t
｜10－2t｜
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(2)若G，H分别是AB，DC的中点，求证：四边形EGFH是平行四边形；
解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC.
∴∠GAF＝∠HCE.
∵G，H分别是AB，DC的中点，
∴AG＝BG＝CH＝DH.
∵AE＝CF，
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∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.
在△AFG与△CEH中，
∴△AFG≌△CEH(SAS).
∴GF＝HE，∠AFG＝∠CEH.
∴GF∥EH.
∴四边形EGFH是平行四边形.
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(3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形？
解：如图，连接GH.
由(2)可知四边形EGFH是平行四边形.
∵点G，H分别是矩形ABCD的边AB，DC的中点，
∴GB＝HC，GB∥HC，∠B＝90°.
∴四边形GBCH是矩形.
∴GH＝BC＝8.
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∴当EF＝GH＝8时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①当0≤t≤5时，EF＝10－2t＝8.
解得t＝1.
②当5＜t≤10时，EF＝2t－10＝8.
解得t＝9.
综上，当t为1或9时，四边形EGFH为矩形.
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9(共19张PPT)
第二十一章　四边形
21.2　平行四边形
21.2.2　平行四边形的判定
第2课时　平行四边形的判定(2)
知识点1　一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
1.(2025龙岩漳平期中)在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝8.要使四边形ABCD是平行四边形，则CD的长为___.
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2.如图，若再增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形ABCD为平行四边形，则这条线段为______.
(第2题)
AD
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3.(2025南平建阳区期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E，F在对角线BD上，且AE＝CF，∠AED＝∠CFB，求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD.
∵AE＝CF，∠AED＝∠CFB，
∴△ADE≌△CBF(AAS).
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∴AD＝BC.
又AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
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知识点2　平行四边形判定方法的综合应用
4.(2025福州福清期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　 )
A.AD∥BC，AB＝CD
B.∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC
C.OA＝OC，OB＝OD
D.AB∥CD，AD∥BC
(第4题)
A
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5.如图，在 ABCD中，点E，F在对角线AC上，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是平行四边形，这个条件可以是_____________
_______.(填一个条件即可，不添加任何辅助线)
(第5题)
AE＝CF(答案
不唯一)
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6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点E.小红说：若添加AE＝CE，则四边形ABCD是平行四边形；小星说：若添加∠ABD＝∠BDC，则四边形ABCD是平行四边形.
(1)请选择一位同学的说法，并证明.
解：选择小红.
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，∠BDA＝∠DBC，
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在△AED和△CEB中，
∴△AED≌△CEB(AAS).
∴AD＝CB.
又AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
选择小星.
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证明：∵∠ABD＝∠BDC，
∴AB∥CD.
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
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(2)若AC⊥BC，AB＝5，AC＝4，求BD的长.
解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°.
∴BC＝＝＝3.
由(1)，知四边形ABCD是平行四边形.
∴CE＝AC＝×4＝2，BE＝BD.
在Rt△BCE中，BE＝＝＝.
∴BD＝2BE＝2.
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7.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为(　　)
A.4
B.6
C.8
D.16
(第7题)
C
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8.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC且AD∥BC，AB＝5，AD＝3，AE平分∠DAB交BC的延长线于点F，则CF＝___.
(第8题)
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9.如图，在 ABCD中，连接对角线AC，过点B作BE⊥AC于点E.
(1)尺规作图：过点D作AC的垂线，垂足为F；(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，DF即为所求.
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(2)在(1)所作的图形中，连接BF，DE，求证：四边形BEDF是平行四边形.
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥DC.
∴∠BAE＝∠DCF.
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA＝∠DFC＝90°，∠BEF＝∠DFE＝90°.
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∴BE∥DF.
在△BAE和△DCF中，
∴△BAE≌△DCF(AAS).
∴BE＝DF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
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10.(教材P81T18变式)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝10 cm，AB＝6 cm.点Q从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发，以2 cm/s的速度
t
(8－t)
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向点C运动.已知P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，掉头沿CB方向继续运动，直至点Q到达点D，两点同时停止运动.设运动时间为t s.
(1)AQ＝___cm，DQ＝________cm；(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时，PQ＝CD且PQ∥CD？
解：若PQ＝CD且PQ∥CD，
则四边形PQDC为平行四边形.
由题意，得t≤8.
∵AD∥BC，
∴当QD＝PC时，四边形PQDC为平行四边形.
①当点P从点B出发向点C运动时，PC＝(10－2t)cm.
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∵DQ＝(8－t)cm，
∴8－t＝10－2t.解得t＝2.
②当点P沿CB方向继续运动时，PC＝(2t－10)cm.
∵DQ＝(8－t)cm，
∴8－t＝2t－10.解得t＝6.
综上，当t＝2或6时，PQ＝CD且PQ∥CD.
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10(共19张PPT)
第二十一章　四边形
21.2　平行四边形
21.2.3　三角形的中位线
知识点1　三角形的中位线定理
1.如图，把两根钢条OA，OB的一个端点连在一起，C，D分别是OA，OB的中点，若CD＝5 cm，则该工件内槽宽AB的长为(　　)
A.8 cm
B.9 cm
C.10 cm
D.11 cm
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C
(第1题)
2.如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为(　　)
A.20
B.15
C.10
D.5
(第2题)
C
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变式　如上题图，若D，E，F分别是△ABC三边的中点，△ABC的面积为1，则△DEF的面积为.
(第2题)
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3.如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝140°，E，F分别是AB，AD的中点，且∠AFE＝50°，连接BD，若CD＝3，BC＝5，求EF的长.
解：∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD，EF＝BD.
∴∠ADB＝∠AFE＝50°.
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∴∠BDC＝∠ADC－∠ADB＝140°－50°＝90°.
∵CD＝3，BC＝5，
∴BD＝＝4.
∴EF＝BD＝×4＝2.
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知识点2　三角形的中位线与平行四边形
4.(2025福州联考期中)如图， ABCD的对角线AC，BD交于点E，F是DC的中点，若EF＝2，则BC＝___.
(第4题)
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5.(教材P66T6改编)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，
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∴EO＝AO，GO＝CO，FO＝BO，HO＝DO.
∴EO＝GO，FO＝HO.
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)若AC＋BD＝36，AB＝10，求△OEF的周长.
解：∵E，F分别是AO，BO的中点，
∴EF＝AB＝×10＝5.
∵AC＋BD＝36，
∴AO＋BO＝18.
∴EO＋FO＝9.
∴C△OEF＝OE＋OF＋EF＝9＋5＝14.
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9
6.(2025广东省卷)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　　)
A.20°
B.40°
C.70°
D.110°
(第6题)
C
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7.如图，在△ABC中，∠C＝120°，AC＝BC＝6，点N是BC边上一点，点M为AB边上一点，点D，E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是.
(第7题)
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9
8.如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，DB，CE交于点F，DF＝FB，连接AF，AF∥CD.
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；
解：证明：∵E是AB的中点，
∴AE＝BE.
∵DF＝FB，
∴EF是△ABD的中位线.
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∴EF∥AD.
∴CF∥AD.
又AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形.
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(2)若∠EFB＝90°，BF＝3，EF＝1，求BC的长.
解：由(1)知，EF是△ABD的中位线，四边形ADCF为平行四边形，
∴CF＝AD＝2EF＝2.
∵∠EFB＝90°，
∴∠BFC＝90°.
∵BF＝3，
∴在Rt△CFB中，BF＝3，CF＝2，
BC＝＝＝.
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9.(教材P81T17改编)如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O.
(1)BO与OD的长度有什么关系？请证明你的结论.
解：结论：BO＝2OD.
证明：如答图，分别取BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND.
∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，
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∴ED是△ABC的中位线.
∴ED BC.
∵M，N分别是OB，OC的中点，
∴MN是△OBC的中位线，
∴MNBC.
∴ED MN.
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∴四边形DEMN是平行四边形.
∴OD＝MO.
∵BO＝2MO，
∴BO＝2OD.
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(2)BC边上的中线是否一定过点O？为什么？
(提示：分别取BO，CO的中点)
解：BC边上的中线一定过点O.理由如下：
如题图，作BC边上的中线AF交BD于点O'.
同(1)证明过程可得O'B＝2O'D.
∴点O与点O'重合.
∴BC边上的中线一定过点O.
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9
本节结束后请使用阶段训练3.(共17张PPT)
第二十一章　四边形
21.2　平行四边形
21.2.1 　平行四边形及其性质
第2课时　平行四边形的性质(2)
知识点1　平行四边形的性质综合运用
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D＝125°，则∠CBE的度数为(　　)
A.75°
B.65°
C.55°
D.45°
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(第1题)
C
2.如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为____.
(第2题)
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3.如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且BE∥DF.求证：AE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠EAB＝∠FCD.
∵BE∥DF，
∴∠BEF＝∠DFE.
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∴∠AEB＝∠CFD.
在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD(AAS).
∴AE＝CF.
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4.(2025宜宾)如图，点E是 ABCD边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝5，BC∥AD.
∴∠EFC＝∠EAD，∠ECF＝∠EDA.
∵点E是 ABCD边CD的中点，
∴CE＝DE.
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∴△ADE≌△FCE(AAS).
∴CF＝AD＝5.
∴BF＝BC＋CF＝5＋5＝10.
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知识点2　两条平行线之间的距离
5.如图，在 ABCD中，CE⊥AD于点E，CF⊥AB于点F，则可以表示直线AB与CD的距离的线段是(　　)
A.CE
B.CD
C.AC
D.CF
(第5题)
D
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6.(2025厦门集美区期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，则直线AB，CD之间的距离为___.
(第6题)
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11
7.(教材P59练习T2变式)如图， ABCD的对角线相交于点O，OE⊥BD，交AD于点E，连接BE，若△ABE的周长为8，则 ABCD的周长为(　　)
A.12
B.16
C.20
D.24
(第7题)
B
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11
8.(教材P66T10变式)如图，在 ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，若∠EBC＝30°，BE＝10，则 ABCD的面积为____.
(第8题)
50
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9.(2025福州连江期末)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，若图中阴影部分的面积为3 cm2，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为___cm.
(第9题)
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10.(教材P58例3变式)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠B，求证：AD＝BC.
证明：如图，过点C作CE⊥AB交AB于点E，过点D作DF⊥AB交AB于点F.
∴∠AFD＝∠BEC＝90°.
∵AB∥CD，
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∴DF＝CE.
∵∠A＝∠B，
∴△AFD≌△BEC(AAS).
∴AD＝BC.
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11.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，求PQ的最小值.
解：设PQ与AC交于点O，过点O作OP'⊥BC于点P'，如图所示.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝4，
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∴△BAC为等腰直角三角形.
∴AC＝AB＝4.
∵四边形PAQC是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC＝2.
∵∠OP'C＝90°，
∴OC2＝CP'2＋OP'2.
∵∠ACB＝45°，
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∴OP'＝CP'.
∴2OP'2＝OC2＝8.
∴OP'＝2.
当P与P'重合时，OP的值最小，则PQ的值最小，
∴PQ的最小值＝2OP'＝4.
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11(共18张PPT)
第二十一章　四边形
21.2　平行四边形
21.2.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定(1)
知识点1　两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形
1.用长分别为5，5，7，a的四根木条，恰好能钉成一个平行四边形的木框(接头忽略不计)，则a的值是 (　　)
A.5 B.7
C.2 D.12
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B
2.(2025福州鼓楼区期中)如图，D是直线l外一点，在直线l上取两点A，B，连接AD，分别以点B，D为圆心，AD，AB的长为半径画弧，两弧交于点C，连接CD，BC，则四边形ABCD是平行四边形，依据是______________________________________.
(第2题)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
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3.(2025福州连江期中)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C，E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：四边形ABED是平行四边形.
证明：∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，
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∴AB∥DE.
∴∠B＝∠DEC.
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形.
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10
知识点2　两组对角分别相等的四边形是平行四边形
4.下列四个选项中，给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A.1∶2∶3∶4 B.2∶2∶3∶3
C.2∶3∶2∶3 D.2∶3∶3∶2
C
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知识点3　对角线互相平分的四边形是平行四边形
5.如图，O是四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，且OB＝OD，AC＝24 cm，则当OA＝____cm时，四边形ABCD是平行四边形.
(第5题)
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6.如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF.
求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：如图，连接AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
又BE＝DF，
∴OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
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7.阅读以下作图步骤：
①如图，任意画两条相交直线m，n，记交点为O；
②以点O为中心，分别在直线m，n上截取OB与
OD，OA与OC，使OB＝OD，OA＝OC；
③顺次连接所得的四点得到四边形ABCD.
可以推断四边形ABCD是平行四边形的依据是___________________
_________________.
(第7题)
对角线互相平分的四
边形是平行四边形
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8.如图，在平面直角坐标系中，已知A(－3，0)，B(3，0)，C(2，4)，则以A，B，C三个点为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为______________________________.
(第8题)
(8，4)或(－4，4)或(－2，－4)
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9.(教材P67T14改编)如图，在四边形ABCD中，AD＝12，OD＝OB＝5，AC＝26，∠ADB＝90°.
(1)求BC的长；
解：∵∠ADB＝90°，
∴AO＝＝＝13.
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∴CO＝AC－AO＝13.
∴CO＝AO.
又DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴BC＝AD＝12.
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(2)求四边形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADB＝90°，DO＝OB＝5.
∴BD＝10.
∴S ABCD＝BD·AD＝10×12＝120.
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10.如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠A＝∠C.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形.
解：证明：∵AB∥CD，
∴∠B＋∠C＝180°.
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∵∠A＝∠C，
∴∠A＋∠B＝180°.
∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
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(2)在(1)的条件下，如图2，若F为AB边上一点，E为BC的中点，连接DF，EF，DE.若∠DEF＝90°，请你写出线段AF，BF，DF之间的数量关系，并证明.
解：DF＝AF＋2BF.
证明：如图2，延长FE，DC，交于点G.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝AF＋BF.
∵AB∥CD，
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∴∠B＝∠ECG.
∵E为BC的中点，
∴BE＝CE.
又∠BEF＝∠CEG，
∴△BEF≌△CEG(ASA).
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∴BF＝CG，EF＝FG.
∵∠DEF＝90°，
∴DE垂直平分FG.
∴DF＝DG＝CD＋CG＝AF＋BF＋BF＝AF＋2BF.
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10(共19张PPT)
第二十一章　四边形
21.1　四边形及多边形
21.1.2　多边形及其内角和
知识点1　正多边形的概念
1.下列说法不正确的是(　　)
A.各边相等的多边形是正多边形
B.等边三角形是正多边形
C.正多边形的各个内角都相等
D.正多边形的各条边都相等
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A
知识点2　多边形的对角线
2.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是(　　)
A.6 B.7
C.8 D.9
C
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5
6
7
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9
10
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13
14
3.从一个九边形的一个顶点出发的对角线把这个九边形分割成的三角形的个数是(　　)
A.10 B.12
C.7 D.6
C
1
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识点3　多边形的内角和与外角和
4.一个八边形的内角和等于(　　)
A.540° B.720°
C.900° D.1 080°
D
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5.正九边形的外角和为(　　)
A.360° B.1 260°
C.1 440° D.1 620°
A
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14
6.(2025北京)若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为(　　)
A.60 B.90
C.120 D.150
C
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11
12
13
14
变式　正n边形的每个内角都是140°，则n的值为(　　)
A.7 B.8
C.9 D.10
C
7.(2025长沙)如图，五边形ABCDE中，∠B＝120°，∠C＝110°，∠D＝105°，则∠A＋∠E＝_____°.
(第7题)
205
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5
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13
14
8.如图，小明从A点出发，向前走30 m后向右转36°，继续向前走30 m，再向右转36°，他回到A点时共走了_____m.
(第8题)
300
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6
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8
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14
9.如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的4个外角.若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝_____°.
(第9题)
300
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
10.已知一个多边形的内角和比外角和的3倍还多180°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数是n.
由题意，得(n－2)×180°＝360°×3＋180°.
解得n＝9.
答：这个多边形的边数是9.
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14
11.(2025自贡)如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝
(　　)
A.140°
B.150°
C.160°
D.170°
B
(第11题)
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13
14
12.用若干个全等的正五边形按如图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为24°，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是正____边形.
(第12题)
六
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13.如图，在六边形ABCDEF中，CD∥AF，∠D＝∠A，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，求∠F的度数.
解：延长CB，FA交于点G，如图所示.
∵CD∥AF，
∴∠C＋∠G＝180°.
∵∠C＝120°，
∴∠G＝60°.
∵AB⊥BC，
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∴∠ABG＝90°.
∴∠BAF＝∠G＋∠ABG ＝150°.
∴∠D＝∠BAF＝150°.
∵∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠BAF＋∠ABC＝(6－2)×180°＝720°，
∴∠F＝720°－120°－150°－80°－150°－90°＝130°.
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14.【观察思考】
【规律发现】
(1)七边形的对角线条数为____.
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14
(2)三角形的对角线条数可表示为，四边形的对角线条数可表示为，五边形的对角线条数可表示为，……，n边形的对角线条数可表示为.
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14
【规律应用】
(3)(2025武威改编)如图1，一个多边形纸片的内角和为1 620°，按图示的剪法剪去一个内角后，求所得新多边形的边数和对角线的条数.
解：设原多边形的边数为n，
则(n－2)×180°＝1 620°.
解得n＝11.
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14
∴原多边形剪去一个角后所得新多边形的边数为12，
对角线为＝54(条).
∴新多边形的边数为12，对角线的条数为54.
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14(共18张PPT)
第二十一章　四边形
21.2　平行四边形
21.2.1 　平行四边形及其性质
第1课时　平行四边形的性质(1)
知识点1　平行四边形的概念
1.如图，已知AB∥CD，AD∥EF，EF∥BC，则图中有___个平行四边形，分别是_____________________________.
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3
ABCD， AEFD， BCFE
知识点2　平行四边形边、角的性质
2.(2025厦门同安区期中)在 ABCD中，∠A＝115°，则∠C的度数是(　　)
A.125° B.115°
C.75° D.65°
B
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变式　(2025福州联考期中)如图，在 ABDC中，若∠B＝2∠A，则∠C的度数为(　　)
A.30°
B.40°
C.60°
D.120°
D
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3.(2025新疆)如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点E，若AD＝2，则BE＝___.
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知识点3　平行四边形对角线的性质
4.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论中，错误的是(　　)
A.AB∥CD
B.OB＝OD
C.∠ABD＝∠CBD
D.AC＝2OC
C
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5.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AD⊥BD，若AC＝10，AD＝4，则BD的长为(　　)
A.4
B.5
C.6
D.8
C
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6.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BC＝8，AC＋BD＝20，则△AOD的周长为____.
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7.如图，在 ABCD中，BD＝CD，AE⊥BD于点E，若∠C＝70°，则∠BAE的度数是(　　)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
B
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8.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O.已知AB＝5 cm，△COB的周长比△AOB的周长多3 cm，则AD的长为(　　)
A.3 cm
B.5 cm
C.8 cm
D.9 cm
C
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9.(2025福州延安中学期中)如图，在平面直角坐标系中， AOCB的顶点A的坐标为(1，3)，顶点C的坐标为(5，0)，则顶点B的坐标为________.
(6，3)
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10.(2025福州福清期末改编)如图，在 ABCD中，若∠B＝60°，AB＝6，BC＝10，AE⊥CD于点E，求CE的长及 ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝6，∠D＝∠B＝60°.
∵AE⊥CD，
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∴CE＝DC－DE＝6－5＝1.
在Rt△ADE中，AD＝10，DE＝5，
∴AE＝＝＝5.
∴S ABCD＝CD·AE＝6×5＝30.
∴∠DEA＝90°.
∴∠DAE＝90°－∠D＝90°－60°＝30°.
∴在Rt△AED中，DE＝AD＝×10＝5.
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11.如图，在 ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与AD相交于点E，F，BE与CF相交于点G.
(1)求证：BE⊥CF；
证明：∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠CBE＝∠ABC，∠BCF＝∠BCD.
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∴AB∥CD.
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∴∠CBE＋∠BCF＝(∠ABC＋∠BCD)＝90°.
∴∠CGB＝90°.
∴BE⊥CF.
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∵四边形ABCD是平行四边形，
(2)若AB＝3，BC＝5，CF＝2，求BE的长.
解：过点E作EP∥FC，交BC的延长线于点P，如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝5，AD∥BC.
∴四边形CPEF是平行四边形.
∴EP＝CF＝2.
∵BE平分∠ABC，
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∴∠ABE＝∠CBE.
∵在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE.
∴∠ABE＝∠AEB.
∴AB＝AE＝3.
同理可得DF＝DC＝3.
∴EF＝AE＋DF－AD＝1.
∴CP＝EF＝1.
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∴BP＝6.
由(1)，知BE⊥CF.
∴BE⊥EP.
∴在Rt△BPE中，
BE＝＝＝4.
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11(共17张PPT)
第二十一章　四边形
21.1　四边形及多边形
21.1.1　四边形及其内角和　
1. 四边形的内角和是_______，四边形的外角和是_______.
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360°
360°
2.在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠B＝120°，则∠D的度数为(　　)
A.60° B.90°
C.120° D.150°
A
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3.如图，∠2＋∠3＋∠4＝320°，则∠1＝____°.
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4. 如图，在纸片△ABC中剪去∠C得到四边形ABDE，且∠1＋∠2＝230°，则纸片中∠C的度数为______.
50°
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5.(1)根据图中的相关数据，求出x的值；
解：∵四边形的内角和是360°，∠A＝90°，
∴90＋x＋(x＋9)＋115＝360.
解得x＝73.
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(2)若四边形四个内角的度数之比为1∶2∶3∶4，求其中最大的内角的度数.
解：设四个内角的度数分别为x°，2x°，3x°，4x°.
∴x＋2x＋3x＋4x＝360.
解得x＝36.
∴4x＝144.
∴四边形最大的内角的度数是144°.
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知识点2　四边形的不稳定性
6.下列图形中，具有稳定性的是(　　)
A B C D
C
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7.2025年，中国载人航天工程将扎实推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务.如图，这是登月探测器中的机械臂，这个机械臂伸缩自如、灵活性强，其原理主要是运用了(　　)
A.三角形的稳定性
B.四边形的不稳定性
C.三角形任意两边之和大于第三边
D.两点之间线段最短
B
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8.如图所示的五边形木架不具有稳定性，若要使该木架稳定，则要钉上的细木条的数量至少为___.
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9.如图，两根细绳将一物体E挂在两面互相垂直的墙面AD与AB上，若∠ABC＝60°，BC⊥CD，CE∥AD，则∠DCE的度数为(　　)
A.90°
B.100°
C.110°
D.120°
D
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10. 如图，若∠B＋∠C＝160°，则∠A＋∠D＋∠E＋∠F＝_____°.
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11. 有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫作“等对角四边形”.若四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A＝60°，∠D＝80°，则∠C的度数为_____________.
140°或60°
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12. (1)如图1，在△ADC中，DP，CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系为__________________；
∠P＝90°＋∠A
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(2)如图2，在四边形ABCD中，DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，请你利用上述结论探究∠P与∠A＋∠B的数量关系，并说明理由；
解：∠A＋∠B＝2∠P.理由：
∵DP，CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PCD＝∠BCD，∠PDC＝∠ADC.
∵在四边形ABCD中，∠ADC＋∠BCD＝360°－∠A－∠B，
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∴∠P＝180°－(∠PDC＋∠PCD)
＝180°－(∠ADC＋∠BCD)
＝180°－(360°－∠A－∠B)
＝∠A＋∠B，
即∠A＋∠B＝2∠P.
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(3)如图3，AE，DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD，∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数.
解：∵∠B＋∠C＝240°，
∴∠MDA＋∠NAD＝240°.
∵AE，DE分别是∠NAD，∠MDA的平分线，
∴∠ADE＝∠MDA，∠DAE＝∠NAD.
∴∠ADE＋∠DAE＝(∠MDA＋∠NAD)＝×240°＝120°.
∴∠E＝180°－(∠ADE＋∠DAE)＝180°－120°＝60°.
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12(共19张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.3　正方形
第1课时　正方形的性质
知识点　正方形的性质
1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是(　　)
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.一条对角线平分一组对角
D.对角线相等
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D
2.若正方形的一条对角线长为8 cm，则这个正方形的面积是(　　)
A.64 B.32
C.48 D.36
B
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3.如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，若DE＝2，EC＝1，则AE的长为.
(第3题)
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4.如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝___.
(第4题)
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5.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，连接BE，AF.求证：BE＝AF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD.
∵AE＝DF，
∴△ABE≌△DAF(SAS).
∴BE＝AF.
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6.(2025浙江改编)如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上.
(1)该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程.
解：证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.
又BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS).
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(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°.
∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠DEA.
∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°.
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.
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7.(2025福州福清期末)如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC上一点，连接OE，若AB＝4，BE＝1，则OE的长为(　　)
A.
B.
C.
D.
A
(第7题)
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8.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A的坐标为(1，3)，则点C的坐标是(　　)
A.(3，1)
B.(2，－1)
C.(3，－1)
D.(4，－1)
(第8题)
C
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9.(2025厦门翔安区期末改编)如图，正方形ABCD的边长为8，点M在对角线AC上运动，E为DC上一点，DE＝2，则DM＋ME的长的最小值为____.
(第9题)
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10.(教材P81T16改编)如图， 四边形ABCD是正方形，G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，BF∥DE，交AG于点F.求证：
(1)∠BAF＝∠ADE；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°.
∴∠BAF＋∠EAD＝∠BAD＝90°.
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∵DE⊥AG，
∴∠AED＝90°.
∴∠ADE＋∠EAD＝180°－∠AED＝90°.
∴∠BAF＝∠ADE.
(2)DE－BF＝EF.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD.
∵BF∥DE，
∴∠AFB＝∠DEF＝∠DEA＝90°.
在△ABF和△DAE中，
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∴△ABF≌△DAE(AAS).
∴BF＝AE，AF＝DE.
∵AF－AE＝EF，
∴DE－BF＝EF.
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11.(教材P88T15改编)如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.
(1)求证：AE＝EF；
解：证明：如图，取AB的中点G，连接EG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°.
∵G，E分别是AB，BC的中点，
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∴BG＝BE，AG＝CE.
∴∠BGE＝∠BEG＝45°.
∴∠AGE＝180°－∠BGE＝135°.
∵CF是正方形ABCD外角的平分线，且∠BCD＝90°，
∴∠DCF＝45°.
∴∠ECF＝∠BCD＋∠DCF＝135°＝∠AGE.
∴BG＝AG＝AB，BE＝CE＝BC.
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∵∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠GAE＝90°－∠AEB＝∠CEF.
∴△AGE≌△ECF(ASA).
∴AE＝EF.
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(2)连接AC，求的值.
解：如图，连接AC.
∵△AGE≌△ECF，
∴CF＝GE.
∵G是边AB的中点，E是边BC的中点，
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即CF＝AC.
∴＝.
∴GE是△ACB的中位线.
∴GE＝AC，
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11(共7张PPT)
第二十一章　四边形
数学活动　黄金矩形
把一条线段分为两部分，其中长段与短段之比恰好等于，这个奇妙的分割，是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的，后被古希腊美学家柏拉图称为黄金分割.某数学兴趣小组在研究“黄金分割与黄金矩形”时，发现可以通过折叠纸片得到黄金矩形，以下是小组操作过程(矩形纸宽MN＝2 cm)：
①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平，则NC＝___cm
②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平，则AC＝___cm
2
1
③折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处，则AD＝AB＝cm
④如图4，展平纸片，按照所得到的点D折出DE，则＝.我们将这个比值称为黄金比，将宽与长的比等于黄金比的矩形称为黄金矩形，如矩形BCDE就是一个黄金矩形
(1)请根据每一步的操作完成填空；
(2)如图3，求证：四边形ABFD是菱形；
证明：由折叠的性质，得∠BAF＝∠DAF.
由矩形的性质，得BF∥AD.
∴∠BFA＝∠DAF.
∴∠BFA＝∠BAF.
∴AB＝BF＝AD.
∴四边形ABFD是平行四边形.
又AB＝AD，
∴四边形ABFD是菱形.
(3)如图4，求证：矩形MNDE是黄金矩形.
证明：根据题意，得MN＝NC＝2 cm，CD＝(－1)cm.
∴DN＝NC＋CD＝(＋1)cm.
∴＝＝.
∴矩形MNDE是黄金矩形.(共17张PPT)
第二十一章　四边形
专题强化5　特殊四边形的性质与判定
1.(2025福州仓山区期末)如图，在 ABCD中，E，F是对角线BD上的点，若BE＝DF，AE⊥CE，求证：四边形AECF是矩形.
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证明：如图，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，
∴BO－BE＝DO－DF，
即EO＝FO.
∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AE⊥CE，
∴四边形AECF是矩形.
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2.(2025福州福清期末)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点.
(1)尺规作图：作BC边上的中线AF；(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，线段AF即为所求.
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解：证明：如图，连接DF，EF.
∵AF是BC边上的中线，
∴点F是BC的中点.
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(2)连接DE，交AF于点O，求证：点O为DE的中点.
∵D，E分别是AB，AC边上的中点，
∴DF∥AE，EF∥AD.
∴四边形ADFE是平行四边形.
∴AF与DE互相平分.
∴点O为DE的中点.
3.如图，在△ABC中，AE⊥BC，作∠ADC＝∠B，且AD∥BC.
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADC＋∠BCD＝180°.
又∠ADC＝∠B，
∴∠B＋∠BCD＝180°.
∴AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
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(2)在线段AD上取一点F，使得AF＝EC.求证：四边形AECF是矩形.
证明：∵AD∥BC，
∴AF∥EC.
∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形.
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4.(2025福州联考期末)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在OA，OC上，连接DE，EB，BF，FD，且DE＝BF.求证：四边形DEBF是菱形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD＝OB.
∴∠DOE＝∠BOF＝90°.
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∵DE＝BF，
∴Rt△DOE≌Rt△BOF(HL).
∴OE＝OF.
∴四边形DEBF是平行四边形.
∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形.
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5.(2025厦门翔安区期中改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE.
(1)求证：四边形ADEC是平行四边形.
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解：证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴AC∥DE.
又MN∥AB，
∴四边形ADEC是平行四边形.
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(2)当D是AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？并说明理由.
解：四边形BECD是菱形.理由如下：
∵四边形ADEC是平行四边形，
∴CE＝AD.
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴BD＝AD＝CE.
∵CE∥BD，
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∴四边形BECD是平行四边形.
∵DE⊥BC，
∴四边形BECD是菱形.
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6
(3)在(2)的条件下，当∠A＝____°时，四边形BECD是正方形.
45
1
2
3
4
5
6
6.如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连接AE，AF，已知BF＝DE，AF⊥AE.
(1)求证：四边形ABCD是正方形；
解：证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D＝∠BAD＝∠ABC＝90°.
∴∠ABF＝∠D＝90°，∠DAE＋∠BAE＝90°.
∵AF⊥AE，
1
2
3
4
5
6
∴∠BAF＋∠BAE＝90°.
∴∠BAF＝∠DAE.
在△ABF和△ADE中，
∴△ABF≌△ADE(AAS).
∴AB＝AD.
∴四边形ABCD是正方形.
1
2
3
4
5
6
(2)若∠DAE＝30°，DE＝1，求四边形AECB的面积.
解：在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，DE＝1，
∴AE＝2DE＝2.
由勾股定理，得AD＝＝.
∴S正方形ABCD＝AD2＝3，
S△ADE＝AD·DE＝.
∴S四边形AECB＝S正方形ABCD－S△ADE＝3－.
1
2
3
4
5
6(共19张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩形
第1课时　矩形的性质
知识点1　矩形的性质
1.(2025福州福清期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(　　)
A.∠ABC＝90°
B.AC＝BD
C.AC⊥BD
D.∠OAD＝∠ODA
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9
10
C
(第1题)
2.(2025厦门同安区期中)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠AOB＝60°，AB＝4，则AC的长为(　　)
A.4
B.6
C.8
D.10
C
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6
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8
9
10
(第2题)
3.(2025吉林)如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF.
(1)求证：△ABE≌△DCF；
解：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠B＝∠C＝90°.
∵∠BAE＝∠CDF，
∴△ABE≌△DCF(ASA).
1
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9
10
(2)当AB＝12，DF＝13时，求BE的长.
解：∵△ABE≌△DCF，
∴AE＝DF＝13.
∵∠B＝90°，AB＝12，
∴BE＝＝5.
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5
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7
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9
10
知识点2　直角三角形斜边上的中线
4.(2025福建)某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8 m，则DE的长为___m.
(第4题)
4
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10
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝____°.
(第5题)
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10
6.(2025扬州改编)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°，若AC＝4，BC＝8，求DF的长.
解：∵在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，AC＝4，
∴DE＝AC＝2.
∵∠BFC＝90°，BC＝8，
∴EF＝BC＝4.
∴DF＝DE＋EF＝6.
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10
7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC边于点E，F，若AB＝AO＝2，则图中阴影部分的面积为(　　)
A.
B.2
C.2
D.4
A
(第7题)
1
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6
7
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9
10
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B'处，则DF＝___.
(第8题)
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6
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8
9
10
9.如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上一点，AE＝AD，DF⊥AE于点F.
(1)求证：AB＝DF；
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC.
∴∠AEB＝∠DAF.
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10
∵DF⊥AE，
∴∠B＝∠DFA.
又AE＝AD，
∴△ABE≌△DFA(AAS).
∴AB＝DF.
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9
10
(2)若AB＝8，CE＝4，求BC的长.
解：设AE＝AD＝BC＝x，则BE＝x－4.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，
即82＋(x－4)2＝x2.
解得x＝10.
∴BC＝10.
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10
10.【定理证明】
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，求证： CD＝AB.
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10
证明：如图1，延长CD到点E，使DE＝CD，连接AE，BE，则CD＝CE.
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AD＝BD.
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10
∴ ACBE是矩形.
∴CE＝AB.
∴CD＝AB.
∴四边形ACBE是平行四边形.
∵∠ACB＝90°，
【定理应用】
(1)如图2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，CE是AB边上的中线，DG垂直平分CE.求证：∠B＝2∠BCE.
证明：如图2，连接DE.
∵CE是AB边上的中线，
∴AE＝BE.
∵AD⊥BC，
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10
∴DE＝AB＝AE＝BE.
∴∠B＝∠BDE.
∵DG垂直平分CE，
∴DE＝DC.
∴∠DEC＝∠BCE.
∴∠BDE＝2∠BCE.
∴∠B＝2∠BCE.
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(2)在(1)的条件下，若BF⊥AC于点F，连接DE，EF，FD.当△DEF是等边三角形，且BD＝3时，求△DEF的周长.
解：如答图，连接DE，EF，FD.
∵BF⊥AC，△DEF是等边三角形，
∴∠BFC＝90°，DF＝DE.
∵DG垂直平分CE，
∴DE＝DC.
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10
∴∠DCF＝∠DFC.
∵∠DCF＋∠DBF＝∠DFC＋∠DFB＝90°，
∴∠DBF＝∠DFB.
∴DB＝DF＝3.
∴△DEF的周长为9.
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10
∴DF＝DC.(共7张PPT)
第二十一章　四边形
综合与实践　正方形与折纸
折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.
【猜想计算】
(1)如图1，把边长为8的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕EF.
如图2，将正方形纸片ABCD沿经过点A的直线折叠，使点D落在EF上的点N处，展开后连接AN，DN，则△AND为______三角形，线段NF＝________.
等边
8－4
【类比探究】
(2)如图3，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在点F处，折痕与CD边交于点M，与AB边交于点N，展开后连接DF.
①线段DF与线段MN之间的关系为____________；
②CM＝___.
垂直且相等
3
(3)如图4，将正方形纸片ABCD沿经过点A的直线AM折叠，使点D落在正方形纸片ABCD内部的点N处，折痕与CD边交于点M，展开后延长MN交BC于点G.
①猜想BG与NG的数量关系，并证明；
解：BG＝NG.证明如下：
如图4，连接AG.
由折叠的性质，知AD＝AN＝8，DM＝MN.
∵AB＝8，
∴AB＝AN.
在Rt△ABG和Rt△ANG中，
∴Rt△ABG≌Rt△ANG(HL).
∴BG＝NG.
②若DM＝2，则S△CMG＝.(共14张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.2　菱形
第2课时　菱形的判定
知识点1　一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.(2025福州台江区期中)如图，在 ABCD中，AB＝3，BC＝5，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形，则a的值为(　　)
A.1
B.2
C.3
D.4
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5
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8
9
10
B
(第1题)
2.如图，在 ABCD中，邻边AD，CD上的高相等，即BE＝BF.求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
BE⊥AD，BF⊥CD，
∴S ABCD＝AD·BE＝CD·BF.
∵BE＝BF，
∴AD＝CD.
∴四边形ABCD是菱形.
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知识点2　对角线相互垂直的平行四边形是菱形
3.(2025湖南)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为(　　)
A.6
B.9
C.12
D.18
(第3题)
C
1
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6
7
8
9
10
4.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8.求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，BD＝8，
∴AO＝AC＝3，BO＝BD＝4.
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∵AO2＋BO2＝32＋42＝52＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°.
∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD是菱形.
1
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知识点3　四条边相等的四边形是菱形
5.如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝80°，连接AC，那么∠ACD的度数为(　　)
A.45°
B.50°
C.55°
D.60°
(第5题)
B
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6.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，点E与点D关于直线AC对称，连接AE，CE.求证：四边形AECD是菱形.
证明：∵点E与点D关于直线AC对称，
∴CE＝CD，AE＝AD.
∵∠ACB＝90°，CD为边AB上的中线，
∴CD＝AB＝AD.
∴CE＝CD＝AD＝AE.
∴四边形AECD是菱形.
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10
7.如图，两张宽度为2的矩形纸片交叉叠放在一起，若∠ABC＝45°，则重合部分四边形ABCD的面积为(　　)
A.4
B.4
C.8
D.8
A
(第7题)
1
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9
10
8.(2025徐州)如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD各边的中点.若AB＝3，BC＝4，则四边形EFGH的周长为____.
(第8题)
10
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9.如图，在 ABCD中，BD平分∠ABC，且交AC于点O.
(1)求证： ABCD是菱形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∴∠ADB＝∠DBC.
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10
∴AB＝AD.
∴ ABCD是菱形.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC.
∴∠ABD＝∠ADB.
(2)延长BC至点E，使得EC＝BC，连接DE.求证：∠BDE＝90°.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
又点E在BC的延长线上，BC＝CE，
∴AD∥CE，AD＝CE.
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10
∴四边形ACED是平行四边形.
∴AC∥DE.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°.
∴∠BDE＝90°.
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10
10.如图，已知△ABC.
(1)尺规作图：作菱形AMNP，使点M，N，P在边AB，BC，CA上(不写作法，保留作图痕迹)；
解：如图，菱形AMNP即为所求.
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(2)若∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝3时，则菱形AMNP的面积为______.
2(共22张PPT)
第二十一章　四边形
章 末 复 习
考点1　四边形及多边形
1.(2025云南)一个六边形的内角和等于(　　)
A.360° B.540°
C.720° D.900°
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C
2.(2025扬州)若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为___.
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3.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是___.
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17
4.(2025吉林)如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为____°.
(第4题)
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5.已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以引___条对角线.
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考点2　平行四边形的性质与判定
6.在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠D＝120°，则∠A的度数为(　　)
A.60° B.70°
C.80° D.90°
A
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17
7.如图，在 ABCD中，AC⊥AB，∠ACB＝30°，AC与BD交于点O，若BC＝4，则AO的长为(　　)
A.2
B.2
C.
D.
(第7题)
C
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8.(2025福州台江区期中)如图，在 ABCD中，AE是∠BAD的平分线，AB＝6，CE＝2，则 ABCD的周长是____.
(第8题)
20
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9.如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，EF交AC于点O，且BE＝DF.求证：点O是线段EF的中点.
证明：如图，连接AF，CE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵BE＝DF，
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∴OE＝OF.
∴O是线段EF的中点.
∴AB－BE＝CD－DF，即AE＝CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
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考点3　三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用
10.如图，在Rt△ABC中，D为AB的中点，连接CD，E，F分别为AC，AD的中点，连接EF.若AB＝4，则EF的长是 (　　)
A.0.5
B.1
C.1.5
D.
(第10题)
B
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11.如图，DE 是△ABC的中位线，延长CB至点F，使BF＝BC，连接BE，DF.求证：四边形BEDF 是平行四边形.
证明：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC.
∵BF＝BC，
∴DE＝BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
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考点4　特殊的平行四边形的性质与判定
12.(2025泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角相等
A
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13.如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论错误的是(　　)
A.当AB＝BC时， ABCD是菱形
B.当AC⊥BD时， ABCD是菱形
C.当∠ABC＝90°时， ABCD是矩形
D.当AC＝BD时， ABCD是正方形
D
(第13题)
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14.(2025福建)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F.若OA＝2，OD＝1，则△AOE与△DOF的面积之和为___.
(第14题)
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15.(2025凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为___.
(第15题)
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16.如图，正方形ABCD与菱形AECF有一条共同的对角线AC，若∠EAF＝60°，AE＝2，则正方形ABCD的边长是.
(第16题)
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17.(2025福州闽侯期中)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接EC，ED.
(1)求证：四边形BECO是矩形；
解：证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC.
∵BE＝AC，
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∴BE＝OC.
又BE∥AC，
∴四边形BECO是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴四边形BECO是矩形.
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(2)若AB＝AC＝3，求DE的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝3，OC＝AO＝AC＝.
∴在Rt△BOC中，根据勾股定理，得
BO＝＝＝.
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∴BD＝2BO＝2×＝3.
由(1)，知四边形BECO是矩形.
∴∠DBE＝90°.
在Rt△DBE中，BE＝OC＝，BD＝3，
∴DE＝＝.
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17(共17张PPT)
第二十一章　四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.3　正方形
第2课时　正方形的判定
知识点　正方形的判定
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，要使该矩形成为正方形，则应添加的条件是(　　)
A.AB＝CD
B.CD＝AD
C.BD＝AC
D.∠ABC＝90°
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B
(第1题)
2.如图，已知四边形ABCD是菱形，从①AB＝AD，②∠ABC＝∠ADC，③AC＝BD，④∠ABC＝90°中选择一个作为条件，使四边形ABCD成为正方形，则应该选择的是__________.(填序号)
(第2题)
③(或④)
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3.(2025乐山)如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组合是______________.(只需填一种组合即可)
(第3题)
①②(或①③)
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4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形AEDF是正方形.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°.
又∠BAC＝90°，
∴四边形AEDF是矩形.
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝45°.
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∵DE⊥AB，
∴△ADE是等腰直角三角形.
∴AE＝DE.
∴四边形AEDF是正方形.
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5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，E，F分别为AB，BC，AC边上的中点，连接DE，DF.求证：四边形DECF为正方形.
证明：∵点D，E，F分别为AB，BC，AC边上的中点，
∴DE∥FC，DF∥EC，DE＝AC，DF＝BC.
∴四边形DECF是平行四边形.
∵AC＝BC，
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∴DE＝DF.
∴四边形DECF是菱形.
又∠ACB＝90°，
∴四边形DECF为正方形.
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6.(2024福建)如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为___.
(第6题)
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7.(教材P88T16改编)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A'B'C'O的一个顶点.如果两个正方形的边长都等于2，那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积是___.
(第7题)
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8.如图，在菱形ABCD中，点E，F在BD上，∠ABC＝45°，BE＝DF＝AE，求证：四边形AECF是正方形.
证明：如图，连接AC交BD于点O.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，AB＝AD.
∵BE＝DF，
∴OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
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∵AC⊥BD，
∴四边形AECF是菱形.
∴AE＝AF.
∵AE＝BE，
∴∠ABE＝∠BAE＝ ∠ABC＝22.5°.
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∴∠AEF＝∠ABE＋∠BAE＝45°.
∵AE＝AF，
∴∠AEF＝∠AFE＝45°.
∴∠EAF＝90°.
∴四边形AECF是正方形.
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9.如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，作射线ED.
(1)尺规作图：作正方形EFGH，点D为对角线EG和FH的交点，顶点E，F，G，H按逆时针排列；(不写作法，保留作图痕迹)
解：正方形EFGH如图所示.
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(2)在(1)的条件下，连接CF，求证：AE2＋EC2＝2ED2.
解：证明：如图，连接CF.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∠DAE＝∠DCA＝45°.
∵四边形EFGH是正方形，EG和FH相交于点D，
∴ED＝FD，∠EDF＝90°.
∴∠ADC－∠EDC＝∠EDF－∠EDC，
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即∠ADE＝∠CDF.
∴△ADE≌△CDF(SAS).
∴AE＝CF，∠DCF＝∠DAE＝45°.
∴∠ACF＝∠DCA＋∠DCF＝90°.
∴在Rt△CEF中，由勾股定理，得
CF2＋EC2＝AE2＋EC2＝EF2.
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又在Rt△EDF中，由勾股定理，得
EF2＝ED2＋DF2＝2ED2.
∴AE2＋EC2＝2ED2.
本节结束后请使用阶段训练4.

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