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(共14张PPT)
第二十章　勾股定理
20.2　勾股定理的逆定理及其应用
第2课时　勾股定理及其逆定理的综合应用
知识点1　勾股定理逆定理的应用
1.小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边AB和BC的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断∠B是不是直角，这样做的依据是(　 　)
A.勾股定理
B.若三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，
则这个三角形是直角三角形
C.三角形内角和定理
D.直角三角形的两锐角互余
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B
2. 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里(1里＝500 m)、12里、13里，则该沙田的面积为(　 　)
A.30平方里　　 B.50平方里　　
C.60平方里　　 D.65平方里
A
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3.木工要切割一块直角三角形木板，量得切割好的木板的三边长分别为1.2 m，09 m，1.5 m，则这块木板__________(填“合格”或“不合格”).
合格
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4.如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行.已知甲、乙两船每小时分别航行12 n mile和16 n mile，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20 n mile.如果知道甲船沿北偏西55°方向航行，求乙船的航行方向.
解：由题意，得AP＝1×12＝12，BP＝1×16＝16，∠APN＝55°，AB＝20.
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∴AP2＋BP2＝400＝AB2.
∴△APB是直角三角形，∠APB＝90°.
∴∠BPN＝35°.
∴乙船沿北偏东35°方向航行.
知识点2　勾股定理及其逆定理的综合应用
5.如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于点D，BD＝9，BC＝15，AC＝20.
(1)求CD的长；
解：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝∠ADC＝90°.
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∵BD＝9，BC＝15，
∴CD＝＝＝12.
(2)判断△ABC的形状，并说明理由.
解：△ABC是直角三角形.理由如下：
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∵AC＝20，∠ADC＝90°，
∴AD＝＝＝16.
∵BD＝9，∴AB＝AD＋BD＝16＋9＝25.
∵BC2＋AC2＝152＋202＝625，AB2＝252＝625，
∴BC2＋AC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形.
6.(2025福州仓山区期中)某文化创意工作室为打造
具有特色的旅游纪念品，开展手工饰品制作项目，
其中一款饰品的部件形状是一个不规则四边形，工
作室需要确定这个部件平面图的面积，以便估算材
料用量.如图所示，四边形ABCD是该饰品部件的平面图，通过高精度测量仪器测量得出∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，CD＝2，AD＝2.请根据以上数据求出该饰品部件平面图的面积.
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解：如图，连接AC.
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在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2，
由勾股定理，得AC＝＝2.
∵CD＝2，AD＝2，
∴AC2＋CD2＝24，AD2＝24.
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°.
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∴S△ACD－S△ABC＝AC CD－AB BC
＝×2×2－×2×2
＝6－2.
∴该饰品部件平面图的面积为6－2.
7.(教材P38T5改编)如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD.
求证：∠AEF＝90°.
证明：如图，连接AF.
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设CF＝a，则CD＝4a.
∴DF＝3a，AD＝BC＝4a，
BE＝CE＝BC＝2a.
由勾股定理，得AE＝＝2a，
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EF＝＝a，
AF＝＝5a.
在△AEF中，
∵AE2＋EF2＝25a2＝AF2，
∴△AEF是直角三角形，∠AEF＝90°.
8.如图，△ACB和△ECF都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CF，△ACB的顶点A在△ECF的斜边EF上.求证：AE2＋AF2＝2AC2.
证明：如图，连接BF.
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∵△ACB和△ECF都是等腰直角三角形，CA＝
CB，CE＝CF，
∴∠ACB＝∠ECF＝90°.
∴∠ACB－∠ACF＝∠ECF－∠ACF，即∠BCF＝∠ACE.
在△ACE和△BCF中，
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∴△ACE≌△BCF(SAS).
∴BF＝AE，∠BFC＝∠E.
∵∠E＋∠CFE＝90°，
∴∠BFC＋∠CFE＝90°，即∠BFE＝90°.
在Rt△ABF中，BF2＋AF2＝AB2.
又AB2＝AC2＋CB2＝2AC2，BF＝AE，
∴AE2＋AF2＝2AC2.(共17张PPT)
第二十章　勾股定理
章 末 复 习
考点1　勾股定理及其应用
1.已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝3，AB＝4，则BC的长为
(　 　)
A.　　 B.3　　
C.5或　　 D.5
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D
2.(2025福州连江期中)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－5，12)，则OA的长为(　　)
A.5　　 B.12　　
C.13　　 D.10
C
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3.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的角平分线，若AD＝BC＝2，则AB的长为(　 　)
A.2　　
B.　　
C.4　　
D.
D
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4.(2025福州台江区期中)如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地距离AB＝2.5 m，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6 m的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2 m的地方时(BC＝1.2 m)，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于(　 　)
A.1.2 m　　 B.1.5 m　　
C.2.0 m　　 D.2.5 m
B
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5.(2025福州福清期中)学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶部的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1 m，将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AB＝5 m(如图)，则旗杆的高度BC为(　　)
A.10 m　　
B.11 m　　
C.12 m　　
D.13 m
C
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6.(2025厦门外国语学校期中)如图，以Rt△ABC的三边为边长往外作正方形，以AB，AC为边长的两个正方形的面积分别为225，289，则BC的长为_______.
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7.如图，在数轴上点A表示的实数是________.
－
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8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，点A与点B重合.若AD＝5，BC＝6，则CE的长为______.
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9.11月9日是我国的消防日，某校师生举行消防演练.如图，云梯AC长为25 m，云梯顶端C靠在教学楼外墙OC上(墙与地面垂直)，云梯底端A与墙角O的距离为7 m.
(1)求云梯顶端C与墙角O的距离CO的长；
解：∵AC＝25，AO＝7，CO⊥OA，
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∴AO2＋CO2＝AC2，
即72＋CO2＝252.
解得CO＝24.
答：云梯顶端C与墙角O的距离CO的长为24 m.
(2)现云梯顶端C下方4 m的D处发生火灾，需将云梯顶端C下滑到着火点D处，则云梯底端水平方向向右滑动的距离AB为多少米？
解：∵CD＝4，CO＝24，
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∴OD＝CO－CD＝24－4＝20.
在Rt△OBD中，BD＝25，
由勾股定理，得OD2＋OB2＝BD2，
即202＋OB2＝252.
解得OB＝15.
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∵OA＝7，
∴AB＝OB－OA＝15－7＝8.
答：云梯底端水平方向向右滑动的距离AB为8 m.
考点2　勾股定理的逆定理及其应用
10.(2025福州福清期中)下列各组数据，能作为直角三角形边长的是
(　 　)
A.a＝3，b＝3，c＝3　　
B.a＝3，b＝4，c＝7
C.a＝5，b＝8，c＝10　　
D.a＝1，b＝，c＝
D
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11.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是(　 　)
A.BC＝5　　
B.∠BAC＝90°
C.△ABC的面积为10　　
D.点A到直线BC的距离是2
C
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12.(2025福州闽清期中)某占地面积为400 m2的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化.该办公区的规划如图所示，已知AB＝12 m，BC＝9 m，CD＝8 m，AD＝17 m，∠ABC＝90°.
(1)为方便工作人员进出，计划在绿化区中铺设一条连接点A到点C的直道，求直道AC的长；
解：∵∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝9，
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∴AC＝＝＝15.
答：直道AC的长是15 m.
(2)若规划时，要求该办公区的绿化面积不低于30％，请判断上述设计方案是否符合规划要求，并说明理由.
解：设计方案不符合规划要求.理由如下：
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∵AD＝17，AC＝15，CD＝8，
∴AC2＋CD2＝152＋82＝289，AD2＝172＝289.
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴∠ACD＝90°.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
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＝AB BC＋AC CD＝×12×9＋×15×8＝54＋60＝114.
∵400×30％＝120，且114＜120，
∴设计方案不符合规划要求.(共11张PPT)
第二十章　勾股定理
专题强化4　勾股定理及其逆定理的综合应用
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，BC＝15，CD＝9，BD＝12.
(1)求证：△BDC是直角三角形；
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证明：∵BC＝15，CD＝9，BD＝12，
∴CD2＋BD2＝92＋122＝225＝BC2.
∴△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°.
(2)求AB的长.
解：设AB＝AC＝x，则AD＝x－9.
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∵∠BDC＝90°，
∴∠ADB＝90°.
∴AB2＝AD2＋BD2，
即x2＝(x－9)2＋122.
解得x＝.
∴AB的长为.
2.如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB＝15 m，CD＝8 m，AD＝17 m.从点A出发修了一条垂直于BC的小路AE(垂足为E)，E恰好是BC的中点，且AE＝12 m.
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(1)求边BC的长；
解：∵AE⊥BC，
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∴∠AEB＝90°.
在Rt△ABE中，
∵AB＝15，AE＝12，
∴BE＝＝＝9.
∵E是BC的中点，
∴BC＝2BE＝18 m.
(2)连接AC，判断△ACD的形状；
解：如图.
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∵AE⊥BC，E是BC的中点，
∴AC＝AB＝15.
∵AD＝17，CD＝8，
∴CD2＋AC2＝82＋152＝289＝AD2.
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°.
(3)求这块空地的面积.
解：由(2)可知，△ADC是直角三角形，AC＝15.
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∴S△ACD＝AC CD＝×15×8＝60.
由(1)可知，BC＝18.
∴S△ABC＝BC AE＝×18×12＝108.
∴这块空地的面积为S△ABC＋S△ACD＝108＋60＝168(m2).
3.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离CA，CB分别为150 km，200 km，若AB＝250 km，以台风中心为圆心周围130 km以内为受影响区域.
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(1)海港C受台风影响吗？为什么？
解：海港C受台风影响.理由如下：
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如图，过点C作CD⊥AB于点D.
∵CA＝150，CB＝200，AB＝250，
∴CA2＋CB2＝1502＋2002＝62 500，AB2＝2502＝62 500.
∴CA2＋CB2＝AB2.
∴∠ACB＝90°.
∴S△ABC＝CA CB＝AB CD.
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∴CD＝＝＝120.
∵120＜130，
∴海港C受台风影响.
(2)若台风中心移动的速度为20 km/h，台风影响海港C持续的时间有多长？
解：如图，在线段AB上取两点E，F，
连接CE，CF，使得CE＝CF＝130.
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在Rt△CED中，由勾股定理，得DE＝＝＝50.
∴EF＝DE＋DF＝100.
∵台风中心移动的速度为20 km/h，且100÷20＝5，
∴台风影响海港C持续的时间有5 h.
在Rt△CDF中，由勾股定理，得DF＝＝＝50.(共9张PPT)
第二十章　勾股定理
专题强化3　勾股定理与特殊角
1.如图，这是一台手机支架及其侧面示意图，AB，DC可分别绕点A，B转动，当AB，DC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝45°时，点E在DC的延长线上.若AE＝2，则AB的长为(　 　)
A.2　　
B.3　　
C.1＋　　
D.
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C
2.如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝1，则BC的长是(　 　)
A.　　 B.1＋　　
C.2　　 D.2＋
B
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3.(2025福州台江区期中)如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AB＝4，AC＝2，则BC的长为(　　)
A.2　　
B.4　　
C.2　　
D.4
C
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4.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，∠D＝30°，AB＝2，BC＝3，则AD的长为_______.
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5.(2025苏州改编)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，在△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12 cm.
(1)如图1，将三角尺的直角顶点和两条直角边分别重合，AB，DE交于点F，求线段AD的长.
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，
AB＝12，
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∴CA2＋CB2＝AB2，即2CA2＝144.
解得CA＝6.
∵在△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，CE＝12，
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∴DE＝2CD，CD2＋CE2＝DE2.
∴CD2＋122＝4CD2.
解得CD＝4.
∴AD＝CA－CD＝(6－4)cm.
(2)在图1的基础上，保持△CDE不动，把△ABC绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边DE上(如图2).求线段AD的长.
解：如图2，过点C作CG⊥DE，垂足为G.
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∵∠DCE＝90°，∠E＝30°，∴∠CDE＝60°.
∵在△CDG中，∠CGD＝90°，∠CDE＝60°，
∴∠DCG＝30°.
由(1)，知CD＝4，
∴DG＝CD＝2.
在Rt△CDG中，CG2＋DG2＝CD2，即CG2＋(2)2＝(4)2.
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解得CG＝6.
∵在△CGA中，∠CGA＝90°，CA＝6，CG＝6.
∴AG＝＝6.
∴AD＝AG＋DG＝(6＋2)cm.(共18张PPT)
第二十章　勾股定理
20.2　勾股定理的逆定理及其应用
第1课时　勾股定理的逆定理
知识点1　勾股定理的逆定理
1.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.若b2＝a2＋c2，则(　 　)
A.∠A＝90°　　 B.∠B＝90°　　
C.∠C＝90°　　 D.无法确定
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B
2.(2025福州台江区期中)下列各组长度的线段中，首尾顺次相接能构成直角三角形的是(　 　)
A.1，，　　 B.2，3，4　　
C.1，2，2　　 D.1，1，
A
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3.若一个三角形的三边长分别为a，b，c，满足(a－3)2＋＋｜c－5｜＝0，则这个三角形的形状是(　 　)
A.锐角三角形　　 B.直角三角形　　
C.钝角三角形　　 D.不能确定
B
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4.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.若a，b，c满足下列条件，判断△ABC是不是直角三角形.如果是，请说明哪个角是直角.
(1)a＝2.5，b＝2，c＝1.5；
解：∵b2＋c2＝4＋2.25＝6.25，　　
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a2＝6.25，
∴b2＋c2＝a2.
∴△ABC是直角三角形，且∠A为直角.
(2)a＝2，b＝，c＝3.
解：∵a2＋b2＝4＋5＝9，c2＝9，
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∴a2＋b2＝c2.
∴△ABC是直角三角形，且∠C为直角.
5.如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
解：△ABC是直角三角形.理由如下：
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AB＝＝5，AC＝＝，
BC＝＝2.
∵(2)2＋()2＝52，∴BC2＋AC2＝AB2.
∴△ABC是直角三角形.
(2)求AB边上的高h.
解：∵S△ABC＝AC BC＝AB h，
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∴××2＝×5h.
∴h＝2.
知识点2　勾股数
6.下列四组数中，不是勾股数的是(　 　)
A.a＝15，b＝8，c＝17　　
B.a＝6，b＝8，c＝10
C.a＝6，b＝5，c＝8　　
D.a＝7，b＝24，c＝25
C
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7.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.若9，12，a是勾股数，则a的值是________.
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8.(2025福州联考期末)满足下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是(　 　)
A.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5　　
B.a＝1，b＝3，c＝
C.∠A＝∠B－∠C　　
D.(b＋c)(b－c)＝a2
A
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9.如图，在2×3的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，则∠AMB的度数是(　 　)
A.25°　　
B.30°　　
C.45°　　
D.60°
C
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10.如图，在四边形ABCD中，AD＝AB＝6，∠A＝60°，CD＝8，BC＝10.
(1)求∠ADC的度数；
解：如图，连接BD.
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∵AD＝AB＝6，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形.
∴BD＝6，∠ADB＝60°.
∵BC＝10，CD＝8，
∴BD2＋CD2＝62＋82＝100，
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BC2＝102＝100.
∴BD2＋CD2＝BC2.
∴△BDC是直角三角形，边BC所对的角是直角.
∴∠BDC＝90°.
∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°＋90°＝150°.
(2)求四边形ABCD的面积.
解：如图，过点B作BE⊥AD，垂足为E.
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∵△ABD是等边三角形，
∴AE＝AD＝3.
∴BE＝＝3.
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD
＝×6×3＋×6×8
＝9＋24.
11.已知满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数，很多勾股数组具有一定的规律.
(1)设a＜b＜c，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数.
当a为奇数时，如①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；⑤11，________，________.
当a为偶数时，如①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；
④12，35，37；⑤14，________，________.
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(2)猜想：三个整数中，若最小的数为奇数n，另外两个数分别
为　　　　，　　　　，则这三个数为勾股数.请你将猜想补充完整，并验证这一猜想是否正确.
证明：∵n2＋2＝n2＋＝，2＝，
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∴n2＋2＝2.
又n为奇数，
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∴，为整数.
∴这三个数为勾股数.
∴这一猜想正确.(共12张PPT)
第二十章　勾股定理
20.1　勾股定理及其应用
第1课时　勾股定理
知识点1　认识勾股定理
1.已知a，b，c分别为△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，下列说法错误的是(　 　)
A.若∠C＝90°，则a2＋b2＝c2　　
B.若∠B＝90°，则a2＋c2＝b2
C.若∠A＝90°，则b2＋c2＝a2　　
D.总有a2＋b2＝c2
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D
知识点2　利用勾股定理进行计算
2.(2025南平一中期中)如图，以Rt△ABC(AC⊥BC)的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3，若S2＝1，S3＝4，则S1的值是(　 　)
A.4　　
B.5　　
C.6　　
D.3
B
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3.(2025福州一中期中)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，则BC＝_______.
4.(2025龙岩长汀期中)在平面直角坐标系中，点P的坐标为(1，4)，则点P到原点的距离是______.
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5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示∠A，∠B，∠C的对边.
(1)已知c＝6，a＝5，求b；
解：根据勾股定理，得
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b2＝c2－a2＝62－52＝11.
∴b＝.
(2)已知b＝，∠A＝60°，求a，c.
解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，∴∠B＝30°.
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∴c＝2b.
∵b＝，∴c＝2.
根据勾股定理，得
a2＝c2－b2＝(2)2－()2＝9.
∴a＝3.
6.如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是边AB上的点，连接CD.若AD＝8，DB＝2，CD＝17，求AC和BC的长.
解：∵∠A＝90°，AD＝8，CD＝17，
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∴AC＝＝＝15.
∵AD＝8，DB＝2，
∴AB＝10.
∴BC＝＝＝5.
7. 若一个直角三角形的两条边长分别为3，4，则第三条边的长是(　 　)
A.3　　 B.4　　
C.5　　 D.5或
D
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8.(2025福州长乐区期中)在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝，则AB2＋BC2＋AC2＝_____.
9.(2025安徽改编)如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是_____.
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10. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，求BD的长.
解：在Rt△ABD中，AD2＝AB2－BD2＝42－BD2，
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在Rt△ACD中，AD2＝AC2－CD2＝52－(6－BD)2.
∴42－BD2＝52－(6－BD)2.
解得BD＝.
11.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.
(1)如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是_______.
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(2)如图2，小明把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件不变，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？
解：图形的总面积可以表示为c2＋2×ab＝c2＋ab或a2＋b2＋2×ab＝a2＋b2＋ab.
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∴c2＋ab＝a2＋b2＋ab.
∴a2＋b2＝c2.(共6张PPT)
第二十章　勾股定理
综合与实践　勾股弦图
【课本再现】
(1)如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理.请证明：a2＋b2＝c2.
解：证明：S大正方形＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
S大正方形＝c2＋4×ab＝c2＋2ab.
∴a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab.
∴a2＋b2＝c2.
【类比迁移】
(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若a＝3，b＝4，则空白部分的面积为________.
13
【方法运用】
(3)如图3，将四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成“勾股风车”，已知外围轮廊(实线)的周长为24，OC＝3，求该“勾股风车”图案的面积.
解：设AC＝x.
∵外围轮廊的周长为24，OC＝3，
∴4AB＋4AC＝24，即4AB＋4x＝24.
∴AB＝6－x.
在Rt△OAB中，AB2＝OB2＋OA2，
OB＝OC＝3，OA＝OC＋AC＝3＋x，
∴(6－x)2＝32＋(3＋x)2.
解得x＝1，即AC＝1.
∴OA＝3＋1＝4，OB＝3.
∴S△OAB＝×3×4＝6.
∴“勾股风车”图案的面积是6×4＝24.
(4)如图4，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作三个正方形，连接EC，BG.若设S△EBC＝S1，S△BCG＝S2，S正方形BCIH＝S3，则S1，S2，S3之间的关系为_____________________.
2S1＋2S2＝S3(共6张PPT)
第二十章　勾股定理
数学活动　勾股定理与美丽的图案
1.“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边为边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，若第一个正方形的面积为1，则第2 026代勾股树中所有正方形的面积为___________.
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2 027
2.某校开展数学文化节，向同学们征集文化节LOGO，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计.如图，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1，S2，直角三角形的面积为S3，它们满足S1＋S2＝S3吗？若满足，请证明；若不满足，请求出S1，S2，S3之间的数量关系.
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2
3
解：满足S1＋S2＝S3.证明如下：
1
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3
由题意，知a2＋b2＝c2，S1＋S2＝＋＋－＝，
S3＝，
∴S1＋S2＝S3.
3.规律探索：如图，认真分析下列各式，然后解答问题.
O＝()2＋12＝2，S1＝(S1是△OA1A2的面积)；
O＝()2＋12＝3，S2＝(S2是△OA2A3的面积)；
O＝()2＋12＝4，S3＝(S3是△OA3A4的面积)；
……
(1)OA10＝______；　　(2)Sn＝______；
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(3)求出＋＋＋…＋的值.
解：＋＋＋…＋
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＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝2×(－1＋－＋－＋…＋－)
＝2×(－1)
＝2－2.(共15张PPT)
第二十章　勾股定理
20.1　勾股定理及其应用
第3课时　利用勾股定理作图与计算
知识点1　数轴上的无理数
1.(2025福州福清期中)如图，点A在数轴上，OA＝3，AB＝2，∠BAO＝90°.以原点O为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的实数是(　 　)
A.　　 B.　　
C.3　　 D.4
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B
2.(2025福州闽清期中)如图，数轴上点B所表示的数为0，点C所表示的数为2，DC垂直于该数轴，且DC＝1，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为(　 　)
A.－1－　　 B.1－　　
C.－　　 D.－1＋
C
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3.(教材P30T6改编)如图，在数轴上画出表示的点.
解：如图，点B即为所求.
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知识点2　网格中的无理数
4.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点叫作格点.请你在图中以格点为顶点画一个△ABC，使其三边长分别为AB＝2，BC＝，AC＝3.
解：如图，△ABC即为所求.(答案不唯一)
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知识点3　勾股定理的综合应用
5.(教材P29练习T3变式)如图，在四边形ABCD中，已知∠ABC＝∠CDA＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1，S2，S3，S4，若S1＝8，S2＝11，S3＝15，则S4的值是________.
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6.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝8，∠ACB＝30°，以点A为圆心，AB的长为半径作弧，交BC于点D，连接AD；再分别以点B和点D为圆心，大于BD的长为半径作弧，两弧交于点P，射线AP交BC于点E.则BD的长是_______.
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7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝1，BC在数轴上，点B对应的数为1，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是(　 　)
A.1－　　 B.2－　　
C.1－　　 D.－1
A
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8.(2025广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝_________.
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9.(教材P31T11改编)如图，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝6 cm，AB＝10 cm，现将纸片折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长.
解：在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，
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∴BC＝＝8.
由折叠，得DB＝AD.
设CD＝x，则AD＝DB＝8－x.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得
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AD2－CD2＝AC2，
即(8－x)2－x2＝36.
解得x＝.
∴CD＝ cm.
10.(2025福州福清期中)阅读材料，解答下列问题：
如果平面直角坐标系内有两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，那么这两点的横向(或纵向)距离可以用两点横坐标(或纵坐标)的差的绝对值来表示，即｜x1－x2｜(或｜y1－y2｜).根据勾股定理，其两点间的距离MN＝.例如，若点M(2，1)，N(3，2)，则MN＝＝.
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(1)如图1，已知点A(3，7)，B(－3，－1)，则A，B两点的横向距离BC＝____，纵向距离AC＝____.根据勾股定理，可得AB＝______.
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(2)若点A1(3，3)，点B1在x轴上，A1B1＝5，请根据上述材料，求点B1的坐标.
解：∵点B1在x轴上，∴设B1(x，0).
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∴A1B1＝＝5.
∴(x－3)2＋9＝25，即(x－3)2＝25－9＝16.
∴x－3＝4或x－3＝－4.
∴x＝7或x＝－1.
∴点B1的坐标为(7，0)或(－1，0).
(3)如图2，在平面直角坐标系中，点A2(0，1)，B2(3，2)，P为x轴上任意一点，求PA2＋PB2的最小值.
解：如图，作点A2关于x轴的对称点A′(0，－1)，连接B2A′交x轴于点P，此时PA2＋PB2的值最小，最小值为B2A′的长.
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∵B2A′＝＝3，
∴PA2＋PB2的最小值为3.(共17张PPT)
第二十章　勾股定理
20.1　勾股定理及其应用
第2课时　勾股定理的应用
知识点　勾股定理的实际应用
1.如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸工厂B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝45°，∠C＝90°，AC＝2 km.据此，可求得学校与工厂之间的距离AB等于(　 )
A.2 km　　
B.3 km
C.2 km　　
D.2 km
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C
2. 《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何.”其大意如下：如图，一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高.若设折断处离地面x尺，则下面所列方程正确的是(　 　)
A.x2＋32＝(1－x)2　　 B.x2＋(1－x)2＝32
C.x2＋(10－x)2＝32　　 D.x2＋32＝(10－x)2
D
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3. 某款自动感应水龙头的示意图如图所示，在距离洗手台面20 cm的点C处连接着出水口D所在的水管，水管AB上的点E处安装有红外线感应装置.已知出水口D到点C的距离CD为15 cm，出水口D到点E的距离为17 cm，且CD⊥AB，则红外线感应装置距离洗手台面的高度BE为(　 　)
A.8 cm　　 B.12 cm　　
C.15 cm　　 D.17 cm
B
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4.(2025连云港)如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为_________m.
2.4
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5.(教材P30T3变式)如图，人字梯撑开后从侧面看是一个等腰三角形，若梯子的长AB为2.5 m，梯子完全撑开后顶端离地面的高度AD为2.4 m，则此时梯子的侧面宽度BC为________m.
1.4
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6.(教材P31T10改编)如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺(AB＝10尺)的正方形，在水池正中央有一根芦苇(P是AB的中点)，它高出水面1尺(MP＝1尺). 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度PN与这根芦苇MN的长度分别是多少？
解：∵AB＝10，P是AB的中点，
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∴BP＝5.
∵MP＝1，MN＝MP＋PN＝BN，
∴1＋PN＝BN.
在Rt△BPN中，根据勾股定理，得
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BN2＝52＋PN2.
∴(1＋PN)2＝52＋PN2.
解得PN＝12.
∴MN＝BN＝1＋PN＝1＋12＝13.
答：水的深度PN为12尺，芦苇MN的长度为13尺.
7.(2025厦门大同中学期中)如图，小岛A在港口B北偏东30°方向上，“远航号”从港口B出发由西向东航行15 n mile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上.此时“远航号”与小岛A的距离为
(　 　)
A.5 n mile　　 B.15 n mile　　
C.30 n mile　　 D.30 n mile
B
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8.如图，一根长20 cm的吸管置于底面直径为9 cm、高为12 cm的杯子中，若吸管一端始终在杯底平面上，则吸管露在杯子外面的长度不可能是(　 　)
A.5 cm　　
B.7 cm　　
C.8 cm　　
D.10 cm
D
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9.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”又到了放风筝的最佳时节.如图，八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，在放风筝时进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15 m；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25 m；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7 m.
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(1)求风筝的垂直高度CE；
解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD＝＝＝20.
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∴CE＝CD＋DE＝20＋1.7＝21.7.
答：风筝的垂直高度CE为21.7 m.
(2)若小明想要风筝沿CD方向下降12 m，则他应该往回收线多少米？
解：如图，由题意，得CM＝12.
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∴DM＝8.
在Rt△BMD中，由勾股定理，得BM＝
＝＝17.
∴BC－BM＝25－17＝8.
∴他应该往回收线8 m.
10. (1)如图，铁路上A，B两点(看作直线上的两点)相距40 km，C，D为两个村庄(看作两个点)，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝24 km，BC＝16 km，则两个村庄的距离为______km；
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(2)在(1)的条件下，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的长；
解：由题意可知，点P在CD的垂直平分线上，如图，连接CD，作CD的垂直平分线交AB于点P，则点P即为所求.
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设AP＝x，则BP＝AB－AP＝40－x.
在Rt△APD中，根据勾股定理，得PD＝＝.
在Rt△BPC中，根据勾股定理，得PC＝＝.
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∵PC＝PD，∴＝.
解得x＝16.
∴AP的长为16 km.
(3)借助上面的思考过程与几何模型，可以得到代数式＋(0＜x＜16)的最小值为________.
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