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(共18张PPT)
第十九章　二次根式
章 末 复 习
考点1　二次根式的相关概念及性质
1.下列式子中，是二次根式的是(　 　)
A.　　 B.　　
C.　　 D.
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C
2.下列二次根式中，与是同类二次根式的是(　 　)
A.　　 B.　　
C.　　 D.
B
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3.(2025福州联考期中)下列二次根式中，是最简二次根式的是
(　 　)
A.　　 B.　　
C.　　 D.
D
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4.(2025北京)若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________.
5.化简：(1)()2＝_______； (2)＝_______.
6.若实数a，b满足＋｜b＋2｜＝0，则＝______.
x≥1
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7.若与最简二次根式－4是同类二次根式，则a＝_______.
8.(2025龙岩漳平期中)一个三角形的三边长分别为3，4，x，则化简＋｜x－7｜的结果为_______.
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考点2　二次根式的计算
9.下列计算正确的是(　 　)
A.3＋＝3　　 B.3－＝3　　
C.×＝　　 D.÷＝3
D
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10.计算：
(1)＋5－； (2)×÷；　　
解：原式＝3＋5×－2　
解：原式＝×
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＝＋.　
＝12.
(3)÷；　　
解：原式＝＋
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＝＋×
＝2＋.　
(4)(＋1)2＋(＋2)(－2).
解：原式＝()2＋2＋12＋()2－22
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＝3＋1＋2＋5－4
＝2＋5.
考点3　二次根式的化简求值
11.已知a＝，b＝－，则a与b的关系是(　 　)
A.a＝b　　 B.a＝－b　　
C.a＝　　 D.a＝－
A
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12.若x＝＋1，则代数式x2－2x＋2的值为(　 　)
A.3　　 B.4　　
C.7　　 D.3－2
A
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13.已知a＝－2，b＝＋2，求下列代数式的值：
(1)a2b－ab2；　
解：原式＝ab(a－b)
＝(－2)(＋2)［(－2)－(＋2)］
＝－1×(－4)
＝4.　　
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(2)a2＋ab＋b2.
解：原式＝a2＋2ab＋b2－ab
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＝(a＋b)2－ab
＝［(－2)＋(＋2)］2－(－2)(＋2)
＝(2)2－(－1)
＝13.
14.先化简，再求值：÷，其中x＝＋3.
解：原式＝ ＝.
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当x＝＋3时，原式＝＝.
考点4　二次根式的应用
15. 意大利数学家斐波那契曾经研究了一列数，该数列(按照一定的顺序排列的一列数)中的第n(n≥1)个数可以用an＝来表示，该数列也被称为“斐波那契数列”，则“斐波那契数列”中的第一个数a1＝_______，第二个数a2＝_______.
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16.某居民小区有块形状为长方形的绿地如图所示，长方形绿地的长BC为 m，宽AB为 m.现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的长为(＋1)m，宽为
(－1)m.
(1)长方形ABCD的周长是多少？
解：∵长方形的长BC为 m，宽AB为 m，
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∴长方形ABCD的周长为2(＋)＝(4＋2)m.
答：长方形ABCD的周长是(4＋2)m.
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，则通道的面积是多少？
解：由题意，得
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×－(＋1)×(－1)
＝－(2－1)
＝2－1.
答：通道的面积是(2－1)m2.(共17张PPT)
第十九章　二次根式
19.1　二次根式及其性质
第2课时　二次根式的性质
知识点1　≥0(a≥0)
1.若＋＝0，则a＝________，b＝_______.
变式1　若x，y为实数，且｜x＋3｜＋＝0，则2 026的值为
(　 　)
A.－3　　 B.3　　
C.1　　 D.－1
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C
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变式2　(2025南平建阳区期中)若a，b为实数，且＋(b－8)2＝0，则＝_______.
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知识点2　()2＝a (a≥0)
2.()2的值是(　 　)
A.　　 B.3　　
C.±3　　 D.9
B
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3.计算：
(1)2＝______；　　 (2)(－)2＝_______；
(3)(3)2＝________；　　 (4)2＝________.
4.若()2＝2，则a的值为_______.
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知识点3　＝a (a≥0)
5.计算等于(　 　)
A.±2　　 B.2　　
C.4　　 D.
B
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6.若用一个x的值说明“＝x”是错误的，则x的值可以是(　　)
A.2　　 B.0　　
C.－1　　 D.1
C
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7.计算：
(1)＝_________；　　 (2)＝______；
(3)－＝_________；　　 (4)＝______.
0.6
－3
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8.已知a＝，b＝，求的值.
解：∵a＝，b＝，
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∴＝＝＝＝2.
9.若＝2－x，则x的取值范围是(　 　)
A.x＜2　　 B.x≤2　　
C.x≥2　　 D.全体实数
B
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10.已知x，y为实数，若满足y＝＋＋2，则xy的值为__.
11.(教材P5T9变式)若是一个整数，则正整数m＝____________.
(写出一个符合条件的数即可)
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8(答案不唯一)
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12.已知实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则化简｜a－2｜＋的结果为_______.
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13. (2025南通改编)我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S＝.若a＝2，b＝3，c＝1，求S的值.
解：将a＝2，b＝3，c＝1代入S ＝，得
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＝
＝.
∴S的值为.
14.先化简，再求值：a＋，其中a＝1 007.小亮和小芳的解答过程如图所示.
(1)__________的解答过程是错误的(填“小亮”或“小芳”)；
(2)解答过程错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：_____________________________(请用符号语言表达)；
小亮
＝－a(a＜0)(或＝｜a｜)
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(3)先化简，再求值：m＋2，其中m＝－2 026.
解：原式＝m＋2.
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∵m＝－2 026，∴m－3＜0.
∴原式＝m＋2
＝m＋2(3－m)
＝6－m
＝6－(－2 026)
＝2 032.(共15张PPT)
第十九章　二次根式
19.2　 二次根式的乘法与除法
第2课时　二次根式的除法
知识点1　＝(a≥0，b＞0)
1.计算÷的结果是(　 　)
A.4　　 B.2　　
C.3　　 D.－2
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B
2.若÷□＝，则□中的数是(　 　)
A.2　　 B.　　
C.　　 D.6
3.已知长方形的宽是，面积为2，则长方形的长为_______.
B
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4.计算：
(1)； (2)÷；　　
解：原式＝
解：原式＝
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＝
＝
＝2.
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＝5.
(3)÷； (4)÷.　　
解：原式＝
解：原式＝
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＝
＝
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＝.
＝
＝
＝5y.
知识点2　＝(a≥0，b＞0)
5. 化简：(1)＝＝____；
(2)＝＝＝_____.
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6.化简：
(1)； (2).
解：原式＝
解：原式＝
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＝.
＝.
7.计算：
(1)； (2)÷.　　
解：原式＝
解：原式＝＝
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＝.
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＝.
8.下列算式正确的是(　 　)
A.＝3　　 B.＝　　
C.＝－3　　 D.＝2
B
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9.若＋(a－3)2＝0，则化简的结果是(　 　)
A.　　 B.　　
C.±　　 D.
A
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10. 对于任意两个不相等的数a，b(a＞b)，定义一种新运算a※b＝，如果3※2＝＝，那么12※4＝_______.
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11.计算：
(1)3÷； (2)÷. 　　
解：原式＝×
解：原式＝
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＝2
＝2
＝2×
＝.
＝
＝
＝
＝2a.
12.(教材P21T11变式)观察下列等式：
第1个等式：＝；第2个等式：＝2；
第3个等式：＝3；第4个等式：＝4；
……
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(1)请根据以上规律写出第n个等式(n为正整数)，并证明；
解：第n个等式：＝n.证明如下：
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方法一：左边＝＝＝＝n＝右边.
方法二：左边＝＝＝＝n＝右边.
(2)请应用以上的运算规律计算：×.
解：原式＝101×
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＝101×
＝或.(共7张PPT)
第十九章　二次根式
专题强化2　二次根式的化简求值
1.(2025厦门集美区期末)先化简，再求值：÷，其
中m＝2＋.
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解：÷
＝÷
＝
＝.
当m＝2＋时，原式＝＝＝.
2.已知x＝－1，求代数式x2＋5x－6的值.
解：当x＝－1时，x2＋5x－6＝(－1)2＋5(－1)－6＝6－2＋5－5－6＝－5＋3.
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3.已知x＝2－，y＝2＋，求代数式x3y－xy3的值.
解：∵x＝2－，y＝2＋，
∴x＋y＝2－＋2＋＝4，x－y＝2－－(2＋)＝－2，xy＝(2－)(2＋)＝22－()2＝4－3＝1.
∴x3y－xy3＝xy(x－y)(x＋y)
＝1×(－2)×4
＝－8.
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4.阅料阅读：“已知a＝，求3a2－6a－3的值”.
∵a＝＝＝＋1，
∴a－1＝.
∴(a－1)2＝2.
∴a2－2a＝1.
∴3a2－6a＝3.
∴3a2－6a－3＝0.请你根据以上解答过程，解决下列问题：
(1)化简：＝_________.
＋2
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(2)若a＝，求2a2－12a＋2的值.
解：∵a＝，∴a＝＝＝3－2.
∴a－3＝－2.
∴(a－3)2＝(－2)2＝8.
∴a2－6a＋9＝8，即a2－6a＝－1.
∴2a2－12a＋2＝2(a2－6a)＋2＝0.
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5.已知x＋＝，求下列代数式的值：
(1)x2＋；　　 (2)x－.
解：∵x＋＝，　
解：∵x2＋＝5，
∴2＝x2＋＋2＝7.
∴x2＋＝5.
∴2＝x2＋－2＝3.
∴x－＝±.
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2(共7张PPT)
第十九章　二次根式
数学活动　纸张规格的奥秘
数学活动　纸张规格的奥秘
生活中，把长与宽之比为的长方形纸片称为标准纸(如A4纸).请思考解决下列问题：
(1)将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对折，如图1所示，所得的长方形纸片ABEF也是标准纸.请给予证明.
证明：∵长方形ABCD是标准纸，
∴＝.
由对折，得BE＝BC，
∴＝＝2＝＝.
∴长方形纸片ABEF也是标准纸.
(2)如图2，沿AK折叠使点B的对应点G落在AD上，再沿KI折叠使点C的对应点H落在GK上，长方形GHID是否仍为一张标准纸？为什么？
解：是标准纸.理由如下：
设AB＝CD＝a，则AD＝BC＝a.
由图形折叠，得AG＝GK＝a，
∴CK＝HI＝HK＝(－1)a.
∴GH＝a－(－1)a＝(2－)a.
∴＝＝.
∴长方形纸片GHID是一张标准纸.
(3)不难发现：将一张标准纸按如图3所示的方式一次又一次对折后，所得的长方形纸片都是标准纸.现有一张标准纸ABCD，AB＝1，BC＝，问第5次对折后所得标准纸的周长是多少.探索并直接写出第2 026次对折后所得标准纸的周长.
解：第1次对折后，周长为2＝2＋；
第2次对折后，周长为2＝1＋；
第3次对折后，周长为2＝1＋；
第4次对折后，周长为2＝；
第5次对折后，周长为2＝；
第6次对折后，周长为2＝；
……
∴第5次对折后所得标准纸的周长是.
第2 026次对折后所得标准纸的周长为(共14张PPT)
第十九章　二次根式
19.3　二次根式的加法与减法
第1课时　二次根式的加法与减法
知识点1　被开方数相同的最简二次根式
1.(2025厦门六中期中)下列二次根式中，化简后能与合并的是
(　 　)
A.　　 B.　　
C.　　 D.
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D
2.下列各根式中，不能与合并的是(　 　)
A.　　 B.　　
C.　　 D.4
B
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3.若最简二次根式与可以合并，则m＝_______.
变式　若二次根式与最简二次根式能合并，则m的值为_______.
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知识点2　二次根式的加法与减法
4.下列计算中，正确的是(　 　)
A.＋＝5　　 B.2＋＝2　　
C.－＝　　 D.3－＝2
D
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5.计算：
(1)＋－； (2)2－6＋；　　
解：原式＝＋4－6
解：原式＝2×2－6×＋4
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＝－.　　
＝4－2＋4
＝6.
(3)＋(－)； (4)－2.
解：原式＝2＋3－3
　
解：原式＝2－－2×－2
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＝3－.　
＝－.
知识点3　二次根式加法与减法的实际应用
6.(2025厦门十一中期中)如图，从一个大正方形中恰好可以裁去面积为2 cm2和8 cm2的两个小正方形，余下两个全等的长方形(图中阴影部分)，则大正方形的边长为_______cm.
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7. (2025福州联考期末)对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a b＝－，如3 4＝－＝－.请你计算7 9＝_________.
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8.(教材P14例3变式)一块长为9 dm，宽为7 dm的长方形木板如图所示，能否按照图示方式，在这块木板上裁出一个面积为27 dm2和两个面积均为12 dm2的正方形木板？
解：＋＝2＋3＝5＝，2＝.
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9
10
∵9＝＞，7＝＞，
∴能够在这块木板上裁出一个面积是12 dm2和两个面积均为12 dm2的正方形木板.
9.(教材P16T4改编)已知≈2.236，求5－＋的近似值(结果保留小数点后两位).
解：原式＝5×－×＋3
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＝－×＋3
＝3.
∵≈2.236，∴3≈3×2.236≈6.71.
∴5－＋的近似值是6.71.
10.(教材P17阅读与思考变式)已知一个三角形的三边长分别为5，，x.
(1)求它的周长(用含x的式子表示)；
解：∵这个三角形的三边长分别为5，，x，
1
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∴它的周长为5＋＋x
＝＋＋
＝.
(2)请你给一个适当的x值，使该三角形的周长为整数，并利用海伦公式求出此三角形的面积（海伦公式：，其中a，b，c分别是三角形的三边长，记） .
1
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解：由题意，得是整数，当x＝20时， ＝＝25，符合题意.
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此时三边长分别为10，10，5.
∴p＝＝.
∴S＝
＝
＝.(答案不唯一)(共6张PPT)
第十九章　二次根式
综合与实践　基本不等式应用实践
【阅读材料】
若a＞0，b＞0，则a＝()2，b＝()2，∴(－)2＝a＋b－2.
∵(－)2≥0，∴a＋b－2≥0.∴a＋b≥2.
“a＋b≥2”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题.
例：若a＞0，b＞0，ab＝16，求a＋b的最小值.
解：∵a＞0，b＞0，ab＝16，
∴a＋b≥2＝8.
∴当a＝b＝4时，a＋b取到最小值，最小值为8.
【解决问题】
(1)若m＞0，n＞0，m＋n＝24，求mn的最大值.
解：∵m＞0，n＞0，m＋n＝24，
∴2≤m＋n.
∴≤12.
∴mn≤144.
∴当m＝n＝12时，mn取到最大值，最大值为144.
(2)用篱笆围成一个面积为144 m2的长方形菜园，当这个长方形的长和宽分别为多少时，所用的篱笆最短？最短篱笆的长是多少？
解：设这个长方形菜园的长为x m，宽为y m.
∵这个长方形菜园的面积为144 m2，
∴xy＝144.
∵x＞0，y＞0，∴x＋y≥2.
∴x＋y≥24.
∴2(x＋y)≥48.
∴当且仅当x＝y＝12时，2(x＋y)的值最小，最小值为48.
∴当这个长方形的长和宽均为12 m时，所用的篱笆最短，最短篱笆的长是48 m.
(3)用一段长为80 m的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形菜园的长和宽分别是多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：设这个长方形的长为s m，宽为t m，
则2(s＋t)＝80.
∴s＋t≥2.
∴≤.
∴≤20.
∴st≤400.
∴当且仅当s＝t＝20时，st的值最大，最大值为400.
∴当这个长方形菜园的长和宽均为20 m时，菜园的面积最大，最大面积为400 m2.(共19张PPT)
第十九章　二次根式
19.1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
知识点1　二次根式的定义
1.(2025福州晋安区期末)下列各式中，一定是二次根式的是(　 　)
A.　　 B.
C.　　 D.
A
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10
11
知识点2　二次根式有意义的条件
2.(2025福建)若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是
(　 　)
A.－2　　 B.－1　　
C.0　　 D.2
D
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11
3.当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；　
解：由x＋2≥0，得x≥－2.
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∴当x≥－2时，在实数范围内有意义.
(2)；　　
解：由2－x≥0，得x≤2.
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∴当x≤2时，在实数范围内有意义.
(3)；　　　
解：∵无论x取何值，x2≥0均成立，
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∴x取任何实数，在实数范围内都有意义.
(4).　　
解：由2x－5≥0，得x≥，
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∴当x≥时，在实数范围内有意义.
知识点3　求二次根式的值
4.当x＝1时，二次根式的值是(　 　)
A.2　　 B.±2　　
C.4　　 D.±4
A
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5.当x＝－6时，二次根式的值是(　 　)
A.－3　　 B.3　　
C.　　 D.±
C
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知识点4　二次根式的实际应用
6.要画一个面积为60 m2的长方形，使它的长与宽之比为4∶3.长方形的长、宽各为多少？
解：设长方形的长为4x m，宽为3x m，
1
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11
4x 3x＝60.
解得x＝或x＝－(舍去).
∴4x＝4，3x＝3.
答：长方形的长为4 m，宽为3 m.
7.当a为任意实数时，下列式子一定有意义的是(　 　)
A.　　 B.　　
C.　　 D.
C
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11
8.(教材P5T9变式)已知是整数，则自然数n的所有可能取值的和为(　 　)
A.9　　 B.10　　
C.13　　 D.16
D
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11
9.(教材P5T7变式)要使下列式子在实数范围内有意义，x的值必须满足什么条件？
(1)；　　　　　　　
解：∵无论x取何值，(x＋2)2≥0均成立，
1
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11
∴x取任何实数，在实数范围内都有意义.
(2)；
解：由得x＞.
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∴当x＞时，在实数范围内有意义.
(3)；　　
解：由得x＜.
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∴当x＜时，在实数范围内有意义.
(4).
解：由得x≥－1且x≠3.
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∴当x≥－1且x≠3时，在实数范围内有意义.
10.(教材P5T5)已知一个大圆的面积是两个小圆的面积之和.如果大圆的半径为r，两个小圆的半径分别为2和3，求r的值.
解：∵一个大圆的面积是两个小圆的面积之和，
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∴πr2＝π×22＋π×32.
解得r＝或r＝－(舍去).
∴r＝.
11.(教材P5T8)小球从离地面为h(单位：m)的高处自由下落，落到地面所用的时间为t(单位：s).经过实验，发现h与t2成正比例关系，而且当h＝20时，t＝2.试用含h的代数式表示t，并分别求当h＝10和h＝25时，小球落地所用的时间.
解：设h＝kt2.
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11
由h＝20时，t＝2，得20＝22k，解得k＝5.
∴h＝5t2.
∴t＝.
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当h＝10时，t＝＝.
当h＝25时，t＝＝.
答：当h＝10时，小球落地所用的时间为 s.当h＝25时，小球落地所用的时间为 s.(共10张PPT)
第十九章　二次根式
专题强化1　二次根式的运算
一、用法则计算
1.计算：
(1)()2－＋；　　 (2)－3－；
1
2
3
解：原式＝2－3＋5
解：原式＝2－3×－4
＝4.　　
＝2－－4
＝－3.
(3)＋2－(－)；　 (4)2×÷；　
解：原式＝2＋2－3＋
解：原式＝2×2××
1
2
3
＝3－.　　
＝
＝.
(5)； (6)×＋÷－.　　　　
解：原式＝
解：原式＝＋－
1
2
3
＝
＝5.
＝＋－
＝2＋2－
＝2＋.
二、用运算律计算
2.计算：
(1)(2－4)÷2；　　
解：原式＝2÷2－4÷2　　
1
2
3
＝－2
＝2－2.
(2)(－2)×－6；
解：原式＝×－2×－6×
1
2
3
＝－2－3
＝3－6－3
＝－6.
(3)－2)＋；　　
解：原式＝×－×2＋2　　
1
2
3
＝2－2＋2
＝2.
(4)－｜1－｜.
解：原式＝3＋1－＋1
1
2
3
＝5－.
三、用乘法公式计算
3.计算：
(1)(＋2)(－2)－(＋2)2；　　
解：原式＝6－4－(6＋4＋4)
1
2
3
＝2－10－4
＝－8－4.
(2)(－)2＋4÷2.
解：原式＝2－2＋3＋2
1
2
3
＝5－2＋2×
＝5－2＋
＝5－.(共17张PPT)
第十九章　二次根式
19.3　二次根式的加法与减法
第2课时　二次根式的混合运算
知识点1　二次根式的混合运算
1.(2025莆田城厢区期末)下列各式运算正确的是(　 　)
A.＋＝　　 B.4－2＝2
C.×＝2　　 D.4÷2＝2
1
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4
5
6
7
8
C
2.计算：
(1)－×； (2)÷；　　
解：原式＝3－
解：原式＝÷＋÷
1
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＝3－2
＝.
＝＋
＝3＋
＝.
(3)×－÷；　　
解：原式＝×－×－
1
2
3
4
5
6
7
8
＝－－
＝6－1－2
＝3.　　
(4)(－5)(＋2).
解：原式＝×＋2－5－10
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8
＝3－3－10
＝－7－3.
知识点2　乘法公式在二次根式混合运算中的运用
3.(2025河北)计算：(＋)(－)＝(　 　)
A.2　　 B.4　　
C.6　　 D.8
B
1
2
3
4
5
6
7
8
4.计算：
(1)(＋3)(－3)；　　 (2)(2－1)2；
解：原式＝()2－32
解：原式＝(2)2－2×2×1＋12
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＝2－9
＝－7.　　
＝20－4＋1
＝21－4.
(3)(－1)2－－1)；　　
解： 原式＝()2－2＋1－()2＋
1
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3
4
5
6
7
8
＝3－2＋1－3＋
＝1－.
(4)(－)(＋)－(－)2.
解： 原式＝()2－()2－［()2－2××＋()2］
1
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4
5
6
7
8
＝7－5－(3－2＋2)
＝2－(5－2)
＝2－5＋2
＝2－3.
5.(2025福州连江期末)已知m＝＋1)(－1)，则与m最接近的整数为(　 　)
A.5　　 B.4　　
C.3　　 D.2
C
1
2
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5
6
7
8
6.(教材P16T5变式)已知a＝＋，b＝－，求下列各式的值：
(1)a2－b2；
解：∵a＋b＝(＋)＋(－)＝2，
1
2
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4
5
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7
8
a－b＝(＋)－(－)＝2，
　　
∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝2×2＝4.
(2)a2－ab＋b2.
解：∵ab＝(＋)×(－)
1
2
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5
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7
8
＝5－3＝2.
∴a2－ab＋b2＝a2－2ab＋b2＋ab＝(a－b)2＋ab
＝(2)2＋2＝12＋2＝14.
7.(2025厦门一中集美分校期中)现有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在长方形木板上截出三个面积分别为4 dm2，8 dm2和18 dm2的正方形木板A，B，C.求木板中剩余部分(阴影部分)的面积.
1
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7
8
解：由题意，得大长方形木板的长为＋＝2＋3＝5，宽为＋＝2＋2，
1
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4
5
6
7
8
∴S阴影＝5×(2＋2)－4－8－18＝20＋10－4－8－18＝10－10.
答：阴影部分的面积为(10－10)dm2.
8.观察下列等式：
第一个等式：a1＝＝－1；第二个等式：a2＝＝－；
第三个等式：a3＝＝2－；……
按上述规律，回答以下问题：
(1)请写出第四个等式：a4＝_______＝__________；
　
－2
1
2
3
4
5
6
7
8
(2)利用以上规律计算：a1＋a2＋a3＋…＋a11；
解：a1＋a2＋a3＋…＋a11
1
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4
5
6
7
8
＝－1＋－＋2－＋…＋2－
＝2－1.
(3)计算：×(＋1).
解：原式＝(－1＋－＋…＋－)×(＋1)
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8
＝(－1)(＋1)
＝2 026－1
＝2 025.(共18张PPT)
第十九章　二次根式
19.2　二次根式的乘法与除法
第3课时　最简二次根式及二次根式的乘除混合运算
知识点1　最简二次根式
1.(2025福州福清期中)下列根式是最简二次根式的是(　 　)
A.　　 B.　　
C.　　 D.
1
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10
C
若是最简二次根式，则m的值可以是____________
(写一个即可).
0(答案不唯一)
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8
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10
3.化简，使结果中的二次根式为最简二次根式：
(1)； (2)；
解：原式＝
解：原式＝
＝3. 　　
＝2.　　
1
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7
8
9
10
(3)； (4)；　　
解：原式＝
解：原式＝×
＝
＝.
＝×
＝3×4
＝12.
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
(5)； (6).　　　　
解：原式＝
解：原式＝
＝
＝
＝.
＝
＝
＝
＝.
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9
10
4.计算：
(1)；　　 (2)；　　
解：原式＝
解：原式＝　
＝.　
＝
＝3.
1
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10
(3).
解：原式＝
＝
＝
＝.
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6
7
8
9
10
知识点2　二次根式的乘除混合运算
5.下列计算正确的是(　 　)
A.＝－3　　　　 B.×＝　　　　
C.()2＝4　　　　 D.÷＝2
B
1
2
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4
5
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7
8
9
10
6.计算：
(1)÷×； (2)；　　　
解：原式＝
解：原式＝
＝
＝2.
＝
＝4.　　
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7
8
9
10
(3)4×2÷.
解：原式＝8÷
＝8
＝24.
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5
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8
9
10
7.(2025福州长乐区期中)已知n是正整数，是整数，则n的最小值是________.
35
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
8.计算：
(1)3÷2×； (2)2×÷5.
解：原式＝×
解：原式＝2×××÷5
＝.　　
＝×6÷5
＝
＝
＝.
1
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4
5
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7
8
9
10
9.已知一个三角形的最长边与最短边的长分别为10与2，最长边上的高为3，求这个三角形的最短边上的高.
解：这个三角形的最短边上的高为
÷
＝15÷
＝30.
1
2
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10
10.先观察下列等式，再解答下列问题：
①＝1＋－＝1；
②＝1＋－＝1；
③＝1＋－＝1.
1
2
3
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5
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8
9
10
(1)根据上面三个等式提供的信息，计算：；
解：由题意，得＝1＋－＝1.
∴＝1.
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3
4
5
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7
8
9
10
(2)按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n(n为正整数)表示的等式；
解：由题意，得＝1＋－＝1＋.
∴用n(n为正整数)表示的等式为＝1＋.
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10
(3)请利用上述规律来计算：.
解：由题意，得＝＝＝1＋－＝1.
∴＝1.
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8
9
10(共17张PPT)
第十九章　二次根式
19.2　 二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
知识点1　 ＝(a≥0，b≥0)
1.计算×的结果是(　 　)
A.　　 B.　　
C.3　　 D.5
2.计算：(1)×＝_______；　　 (2)×＝_______.
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8
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10
11
12
13
14
B
4
3
3.计算：
(1)×；　 (2)－×；　　　　　　
解：原式＝
解：原式＝－
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14
＝
＝6.
＝－
＝－.
(3)2×3.
解：原式＝2×3×
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4
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6
7
8
9
10
11
12
13
14
＝6.
知识点2　＝ (a≥0，b≥0)
4. 计算：＝×＝_____×_____＝____.
4
11
44
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2
3
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5
6
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10
11
12
13
14
5.(2025福州福清期中)化简，结果正确的是(　 　)
A.　　 B.±　　
C.4　　 D.±4
C
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12
13
14
6.化简：
(1)； (2)；.
解：原式＝×
解：原式＝
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12
13
14
＝6×9
＝54.
＝×
＝5.　　
(3)
解：原式＝
1
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4
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7
8
9
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11
12
13
14
＝ x
＝xy.
7.计算：
(1)×； (2)2×3；.
解：原式＝
解：原式＝2×3×
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
＝
＝5.
＝6
＝6×
＝6×7
＝42.
(3)×
解：原式＝
1
2
3
4
5
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7
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＝
＝××
＝12a.
8.若a，b是长方形的两条邻边，a＝，b＝，求该长方形的面积S.
解：长方形的面积S＝ab＝×＝＝＝＝×＝3×6＝18.
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9.若等式＝ 成立，则字母x应满足的条件是(　 　)
A.x≥0　　 B.x≥－2　　
C.－2≤x≤1　　 D.x≥1
D
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10. 如果一个无理数a与的积是一个有理数，写出a的一个值是__________________.
11. 对于正整数a，b定义新运算“◎”，规定a◎b＝
，则15◎3的运算结果为______.
(答案不唯一)
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12.计算：
(1)3××2； (2) .　　　　
解：原式＝
解：原式＝3×3××(2×2)
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＝9××4
＝9××4×
＝6×3
＝18.
＝
＝
＝
＝2y.
13.已知a＝，b＝，c＝.
(1)a2bc＝_______；
(2)ab2c＝_______；
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(3)用含a，b，c的式子表示.
解：＝＝10
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＝(×)2×
＝(ac)2 b
＝a2bc2.
14.(教材P12T12)如图，从一个大正方形纸片中裁去面积为15 cm2和24 cm2的两个小正方形，求剩下部分的面积.
解：∵两个空白小正方形的面积分别是15 cm2，24 cm2，
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∴两个空白小正方形的边长分别是 cm， cm.
∴剩下两个小长方形的长是 cm，宽是 cm.
∴剩下部分的面积是2××＝2×＝2×
＝2×3×2×＝12(cm2).

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