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北师大版（2024）八年级下 第3章 图形的平移与旋转 单元测试
一．选择题（共12小题）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A′B′C，且点刚好落在A'B′上．若∠ACA'=43°，∠BCA'=28°，则α等于（　　）
A．71° B．15° C．28° D．43°
3．如图，将Rt△ABC绕直角顶点顺时针旋转90°，得到△A'B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠BAC的大小是（　　）
A．20° B．25° C．30° D．45°
4．如图，小聪将三角尺ABC绕点C逆时针方向旋转到△DEC的位置，其中∠A为30°，∠B为直角，若点A、C、E在一条直线上，则此次旋转变换中旋转角的度数为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
5．围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，已知∠ACC′=70°，则旋转角的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．70°
7．如图，把△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点C刚好在边B′C′上，若∠ACB=72°，则旋转角的度数是（　　）
A．18° B．27° C．36° D．54°
8．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，O为BC的中点，将△ABC绕点O顺时针旋转得到△DEF，D、E分别在边AC和CA的延长线上，连接CF，若AD=3，则△OFC的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，将△ABC绕顶点C旋转得到△DEC，点A的对应点D刚好落在AB边上，若∠B=40°，∠BCD=10°，则旋转角的度数是（　　）
A．70° B．75° C．80° D．85°
10．如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点B旋转得到△DBE，使点D落在AC边上，DE，BC相交于点F．设∠BAC=α，∠BFD=β．则下列关系正确的是（　　）
A．α+β=150° B．2α+β=230° C．α+β=270° D．3α+β=300°
11．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上靠近点B的三等分点，将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AF，使得∠BAE=∠FAE，连接EF和CF，令∠BEA=α，则∠FCD 为（　　）
A．135° B．135°-α C．α+30° D．α+45°
12．如图，在正方形ABCD中，AD=5，E，F分别是边CD，BC上的点；且∠EAF=45°，EC=3，将△AED绕点A顺时针方向旋转90°后与△AGB重合，连接EF．给出下列结论：①DE+BF=EF；②BF=2；③AE平分∠DEF；④∠EAG=90°．其中正确的是（　　）
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④
二．填空题（共5小题）
13．将一个图形上所有点都按照某个方向作 ______的位置移动，叫作图形的平移．
14．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度得到△AB'C′，此时点C在边AB'上，若AB=4，AC′=2，则B′C的长是 ______
15．如图，△ABC中，∠A=36°，△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△DBE，若点C恰好在线段DE上，DE∥AB，则∠E的度数为 ______．
16．如图，△ABC中，∠A=60°，AC=4，D为AB边上一点，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A'B'C，点A'落在线段BC上，此时A、C、B′三点也恰好共线，点D的对应点为D′，连接DD′，则DD′长度的最小值为______．
17．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ______．
三．解答题（共5小题）
18．学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶最上层），已知这种地毯的批发价为每平方米40元，升旗台的台阶宽为3米，其侧面如图所示，请你测算一下，买地毯至少需要多少元？
19．试将一个正方形花坛分成四块大小与形状均相同的图形，使之可以看成是由“平移”“旋转”或“翻折”而成的，如图①，分成四个正方形，如图②，分成四个曲边图形．请你再设计两种图形．
20．已知直线a∥b,点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E，∠ABC=x°，∠CDE=32°．
（1）如图（1），点A在B点的左边，点C在点D的右边，求∠DAB的度数；
（2）在（1）的条件下，求∠BED的度数（用含x的式子表示）；
（3）将图（1）中的线段BC向左平移，使点B落在点A的左边，其他条件不变，在图（2）中先画出符合题意的图形，再求出∠BED与∠CBE的度数差．
21．如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，将△ABC绕着点A旋转．
（1）当△ABC旋转到图1位置时，正好使得D、B、C三点共线时，求此时∠ACE的度数；
（2）当△ABC旋转到图2位置时，连接CD、BE，并延长BA交CD于点F，若∠ABE=90°，求证：CF=DF；
（3）当△ABC旋转到图3位置时，连接CD、BE，取CD中点F，连接FA并延长交BE于点H，求证：FH⊥BE．
22．如图1，点O为直线AB上一点，将两个含60°角的三角板MON和三角板OPQ如图摆放，使三角板的一条直角边OM、OP在直线AB上，其中∠OMN=∠POQ=60°．
（1）将图1中的三角板OPQ绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得边OP在∠MON的内部且平分∠MON，求旋转角∠BOP？
（2）三角板OPQ在绕点O按逆时针方向旋转时，若OP在∠MON的内部．试探究∠MOP与∠NOQ之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）如图3，将图1中的三角板MON绕点O以每秒2°的速度按顺时针方向旋转，同时将三角板OPQ绕点O以每秒3°的速度按逆时针方向旋转，将射线OB绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转，旋转后的射线OB记为OE，射线OC平分∠MON，射线OD平分∠POQ，当射线OC、OD重合时，射线OE改为绕点O以原速按顺时针方向旋转，在OC与OD第二次相遇前，当∠COE=15°时，求出旋转时间t的值．
北师大版（2024）八年级下 第3章 图形的平移与旋转 单元测试
(参考答案)
一．选择题（共12小题）
1、B 2、D 3、B 4、C 5、D 6、C 7、C 8、D 9、C 10、C 11、B 12、B
二．填空题（共5小题）
13、平行； 14、2； 15、72°； 16、； 17、6；
三．解答题（共5小题）
18、解：如图：
利用平移线段，把台阶的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.4米，2.8米，
∴地毯的长度为6.4+2.8+2.8=12米，地毯的面积为12×3=36（平方米），
∴买地毯至少需要36×40=1440（元）．
答：买地毯需要1440元．
19、解：如图：
图③分成四个等腰直角三角形，图④分成四个长方形（答案不唯一）．
20、解：（1）∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠CDE=2×32°=64°，
∵a∥b,
∴∠DAB+∠ADC=180°，
∴∠DAB=180°-64°=116°；
（2）如图1，过点E作EM∥a,
∵a∥b,
∴a∥b∥EM，
∴∠DEM=∠CDE=32°，∠BEM+∠ABE=180°，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=x°，
∴∠BEM=180°x°，
∴∠BED=∠BEM+∠MED
=180°-x°+32°
=212°-x°，
（3）如图2，过点E作EM∥a,
∵a∥b,
∴a∥b∥EM，
∴∠MED=∠CDE=32°，∠BEM=∠ABE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC=x°，
∴∠BED=∠BEM+∠DEM
=32°+x°，
∴∠BED-∠CBE=32°+x°-x°=32°．
21、（1）解：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAB+∠BAE=∠BAE+∠EAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠ABD=135°，
∴∠ACE=135°；
（2）证明：过点D作DP⊥BF，交BF的延长线于点P，如图2所示：

∴∠P=90°，
∵∠ABE=90°，
∴∠P=∠ABE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠DAE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠3=∠2，
在△ADP和△EAB中，
，
∴△ADP≌△EAB（AAS），
∴PD=AB，
∵AB=AC，
∴AC=PD，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠P=90°，
在△CAF和△DPF中，
，
∴△DPF≌△CAF（AAS），
∴CF=DF；
（3）证明：延长AF到K，使FK=FA，连接DK，如图3所示：
∵点F是CD的中点，
∴DF=CF，
在△DKF和△CAF中，
，
∴△DKF≌△CAF（SAS），
∴DK=AC，∠K=∠CAF，
∵AB=AC，
∴DK=AB，
∵∠K=∠CAF，
∴DK∥AC，
∴∠ADK+∠CAD=180°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAE+∠CAD=180°，
∴∠ADK=∠BAE，
在△ADK和△EAB中，
，
∴△ADK≌△EAB（SAS），
∴∠DAK=∠AEB，
∵∠DAE=90°，
∴∠DAK+∠EAH=90°，
∴∠AEB+∠EAH=90°，
在△AEH中，∠AHE=180°-（∠AEB+∠EAH）=90°，
∴AH⊥BE，
即FH⊥BE．
22、解：（1）∵OP平分∠MON，
∴∠PON=∠MON=45°，
∴三角板OPQ旋转的角：∠BOP=∠PON+∠NOB=135°，
（2）当OQ在∠MON外部时，∠MOP-∠NOQ=30°，理由如下：
∵∠MON=90°，∠POQ=60°，
∴∠MOP=90°-∠POQ，∠NOQ=60°-∠POQ，
∴∠MOP-∠NOQ=90°-∠POQ-（60°-∠POQ）=30°；
当OQ在∠MON内部时，∠MOP+∠NOQ=30°，理由如下：
∵∠MON=90°，∠POQ=60°，
∴∠MOP+∠NOQ=∠MON-∠POQ=30°；
（3）∵射线OC平分∠MON，射线OD平分∠POQ，
∴∠NOC=45°，∠POD=30°，
∴选择前OC与OD的夹角为∠COD=∠NOC+∠NOP+∠POD=165°，
∴OC与OD第一次相遇的时间为165°÷（2°+3°）=33秒，此时OB旋转的角度为33×5°=165°，
∴此时OC与OE的夹角为165°-（180°-45°-2°×33）=96°，
OC与OD第二次相遇的时间为360°÷（2°+3°）=72（秒），
设在OC与OD第二次相遇前，当∠COE=15°时，需要旋转时间为t,
①（2+5）t=45+90-15，解得，；
②（2+5）t=45+90+15，解得，；
③（5-2）t=96-15，解得，t=27，
∴27+33=60；
④（5-2）t=96+15，解得，t=37，
∴37+33=70，
∴在OC与OD第二次相遇前，当∠COE=15°时，旋转时间t为或或60或70．

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