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21.2.2平行四边形的判定
导入新课
1．回顾平行四边形的性质．
B
2．不一定具有的性质是(　 　)
A．对角平行四边形相等 B．对角互补
C．邻角互补 D．内角和是360°
两组对边分别平行，相等.
两组对角分别相等，邻角互补.
两条对角线互相平分.
两条平行线间的距离相等
探究新知
思考
如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？
由上面的过程你得到了什么结论？
是平行四边形，
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
如何证明这个结论呢？
A
B
C
D
证明：连接BD．
∵　AB=CD，AD=BC，BD是公共边，
∴　△ABD≌△CDB．
∴　∠1=∠2，∠3=∠4．
∴　AB∥DC，AD∥BC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
D
A
B
C
1
2
3
4
你能用平行四边形的定义来证明吗？
请写出平行四边形对角相等的逆命题.
性质：如果一个四边形是平行四边形，
那么它的两组对角相等.
逆命题：如果一个四边形的两组对角分别相等，
那么这个四边形是平行四边形.
课堂导入
这个逆命题是真命题吗？
例 已知四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴2∠A+2∠B=360 ，
即∠A+∠B=180 .
∴AD//BC,
同理可得 AB//CD,
知识点：平行四边形的判定
新知探究
平行四边形的判定方法1
A
B
C
D
数学语言：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
通过以上证明，我们可以得到平行四边形的判定方法3：
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
现在，我们一共有哪些判定平行四边形的方法呢？　　
知识归纳
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．　
判定定理：
（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
练习
如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF.
图中有哪些互相平行的线段？
解：AB∥CD∥EF，AD∥BC，DE∥CF.
归纳
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
平行四边形判定定理2：
A
B
C
D
数学语言：
∵ ∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形.
猜想3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，且 OA = OC，OB = OD. 求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵ OA = OC，OB = OD，
∠AOD = ∠COB
∴△AOD ≌ △COB
∴∠OAD = ∠OCB.
∴AD∥BC
同理 AB∥DC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
如图，AE = DF，BE = CF，AD = BC，且∠AEB = ∠DFC，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：在△AEB 和△DFC中，
AE = DF，
∠AEB = ∠DFC，
BE = CF，
∴ △AEB ≌ △DFC（SAS），
∴AB = DC.
又AD = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
已知：如图所示，在四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°，
∠A = ∠C，∠B = ∠D，
∴∠A + ∠B = 180°，∠C + ∠B = 180°，
∴ AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
猜想：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
例1 如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F是 AC上的两点，并且 AE=CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
分析：点E，F在平行四边形的对角线上，可考虑利用对角线互相平分来证明四边形BFDE是平行四边形.
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO=CO， BO=DO.
∵ AE=CF,
∴ AO-AE=CO-CF， 即EO=FO.
又 BO=DO,
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
1.在四边形ABCD中，AD∥BC，再从下列四个条件中：①AB∥CD；②AB=CD；③AD=BC；④∠B=∠C任选一个，能使四边形ABCD为平行四边形的条件的序号是　　　　.
课堂练习
①或③
解析　添加①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形；
添加②，不能判定四边形ABCD为平行四边形；
添加③，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可判定四边形ABCD为平行四边形；
添加④，不能判定四边形ABCD为平行四边形.
2.如图所示，在四边形ABCD中，∠1=∠2，请添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形.可添加的条件是　　 　　　　 　.(只填一个即可)
AB=CD(答案不唯一)
解析　添加AB=CD，
∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，
又∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
课堂练习
例题练习
如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F是 AC上的两点，并且 AE=CF.
求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
A
B
C
D
O
E
F
【分析】点E，F在平行四边形的对角线上，可考虑利用对角线互相平分来证明四边形BFDE是平行四边形.
例题练习
A
B
C
D
O
E
F
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO=CO， BO=DO.
∵ AE=CF，
∴ AO - AE=CO - CF， 即EO=FO.
又 BO=DO，
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
同理可得 CF∥AE，
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴OA=OC，OE=OF.
又∵BE=DF，
∴OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
B
A
D
C
E
F
O
G
H
如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.试说明四边形 DAEF 是平行四边形．
证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°.
∴∠DBF＝∠ABC.又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△DBF≌△ABC(SAS).∴AC＝DF.
又∵△ACE是等边三角形，∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD.
∴四边形DAEF是平行四边形．
思维拓展
练 习
1. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ADB =∠CBD，∠C +∠ABC =180°，
四边形 ABCD 是平行四边形吗？请说明理由.
解：四边形 ABCD 是平行四边形.
理由如下：
∵∠ADB =∠CBD，∴AD∥BC.
∵∠C + ∠ABC = 180°，∴AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
C
A
D
【选自教材第60页 练习 第1题】

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