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(共24张PPT)
20.1勾股定理及其应用
1. 会运用勾股定理在数轴上表示无理数.
2. 会运用勾股定理求最短路径问题.
学习目标
重点
难点
重点
难点
新课引入
你能借助勾股定理画出表示的线段长吗？
画一个等腰直角三角形，令直角边长为1，则斜边长为.
1
1
你能在数轴上画出表示的点吗？
探究新知
在《周髀算经》的开篇，商高(约公元前11世纪)构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
决解
归纳：
1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的 AC 方向上一点，测得 BC = 60 m，AC = 20m. 求A，B 两点间的距离.(结果取整数)
解：在Rt△BAC 中，BC ＝60m，AC ＝20m，由勾股定理，得AB ＝
＝ ≈57(m)．
答：A，B 两点间的距离约为57m.
针对练习
探究新知
商高所指的面积关系可以用图形表示.
如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.
从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？
探究新知
如图所示，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？ A3，B3，C3呢？
A1
B1
A2
C1
B2
C2
B3
C3
A3
命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
通过上面的思考和探究，我们可以猜想：
是不是所有的直角三角形都具有这样的结论呢？这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．
有哪些证明方法呢？
证法一：赵爽弦图
b
b
a
a
c
c
a
b
边长分别为a，b的两个正方形分割成四个直角三角形和一个小正方形.
四个直角三角形和一个小正方形拼接成边长为c的大正方形.
0
1
2
3
4
l
A
B
C
3. 在数轴上画出表示 的点.
画一画：在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中以A出发分别画出长度为 的线段AB．
B
B
B
二、利用勾股定理确定网格里表示实数的线段
合作探究
利用勾股定理表示无理数的方法:
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
【归纳总结】
例1 如图，数轴上点 A 所表示的数为 a，求 a 的值.
解：∵图中的直角三角形的两直角边长为 1 和 2，
∴斜边长为 ，即 －1 到 A 的距离是 ，
∴点 A 所表示的数为 .
易错点拨：求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起，则所表示的数不是斜边长.
证法四：刘徽“青朱出入图”



a
b
c
青出
青出
青入
青入
朱入
朱出
青方
朱方
B
C
A
a（勾）
c（弦）
b（股）
勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么a2+b2=c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形．与上面的方法类似，根据这一图形，尝试证明勾股定理．
化简得：c2 ＝a2＋b2．
S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形
(b＋a)2 ＝ c2＋4·．
证明：
c
b
a
a
b
a
a
b
c
c
c
b
解：（1）∵a2＋b2＝c2，即 62＋b2＝102，
又 b＞0，∴ b＝8．
例1　设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c．
（1）已知 a＝6，c＝10，求 b；
（2）已知 a＝5，b＝12，求 c；
（3）已知 c＝25，b＝15，求 a．
1.如图，池塘边有两点 A，B，点 C 是与 BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得 BC=60m，AC=20m. 求 A，B 两点间的距离（结果取整数）.

A
B
C
随堂练习
2.（2021 宿迁中考）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处（如图1），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是 ______尺．
解决几何体表面上两点之间最短路线问题的关键是把立体图形转化为平面图形，具体步骤为：
1、把立体图形展开成平面图形；
2、确定最短路线；
3、确定直角三角形；
4、根据直角三角形的边长，利用勾股定理求解.
归纳
随堂练习
1.在数轴上画出表示的点.
O 1 2 3
B
A
l
如图，
①在数轴上找出表示3的点A,则OA=3，
②过点A作直线 l 垂直于OA，在 l 上取点B，使AB=1，
③以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点
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