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2026年北京市第十三中学分校九年级4月模拟 九年级 数学试卷（零模）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ）
A． B． C． D．
3．若一个五边形的每个内角都是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．2 B． C．或6 D．或5
6．2025年7月15日，某航天项目探测器成功发射，开启对某小行星的探测之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球近地点距离的30倍，月球近地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在菱形中，，，分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于两点，作直线与交于点，如果点为线段上一动点，那么的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．
8．如图，在平面直角坐标系中，分别是反比例图象上两个动点，轴于点A，轴于点，直线与轴、轴分别交于点和点．给出下面四个结论：①，②，③可能是等腰直角三角形，④与的面积相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．③④ B．①② C．②③ D．①③④
二、填空题
9．若有意义，则x的取值范围为_____．
10．因式分解：_____．
11．方程的解是_____．
12．为了解同学们对数学考卷难度的看法，桃李中学数学教研组进行了调研活动．学校随机对若干名学生进行了调查，绘制出了下表，部分内容不慎被墨水涂黑．已知认为二次函数较难的同学占，如果全校共有1500个学生，那么估计认为动点问题较难的学生有_____个．
类别 动点问题 二次函数 相似三角形 翻折旋转问题
认为较难人数
13．在菱形中，，于点E，，连接交于点F，则的长为_______．
14．如图，B，D，E为上的三个点，，过点作的切线，交的延长线于点，连接．若，则的度数为__________．

15．如图，在边长为1的正方形的对角线上取一点E，使，连接并延长至点F，连接，使，与相交于点H．则________．
16．甲、乙两个商家销售某款电子产品，原价都是100元/件．
甲商家的促销方式为：
购买件数（单位：件） 1～5 6～10 11～15 16～20 20以上
每件价格（单位：元） 95 90 85 80 75
乙商家的促销方式为：
购买件数（单位：件） 1～8 9～16 17～24 24以上
每件价格（单位：元） 90 85 80 75
若A公司在甲商家一次性购买10件该款电子产品，则购买的总费用为______元；
若B公司分三次购买该款电子产品共35件，且每次至少购买5件，则购买的总费用最少为______元．
三、解答题
17．计算：
18．解不等式组：
19．已知，求代数式的值．
20．如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作，交的延长线于点，平分交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
21．随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．某汽车前轮轮胎在行驶6万公里时报废，后轮轮胎在行驶8万公里时报废，每个新轮胎报废时的总磨损量为1．（轮胎的磨损量等于汽车行驶的单位路程的磨损量乘以汽车行驶的路程）
(1)若每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____；
(2)若在轮胎使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，请问行驶多少万公里后交换前后轮继续行驶，可使两对轮胎同时报废，并判断报废时行驶里程是否能达到万公里．
22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1)求该函数解析式；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围．
23．商品成本影响售价，为避免因成本波动导致售价剧烈波动，需要控制售价的涨跌幅．下面给出了商品售价和成本（单位：元）的相关公式和部分信息：
．计算商品售价和成本涨跌幅的公式分别为：
，；
．规定当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半；
．甲、乙两种商品成本与售价信息如下：
甲商品的成本与售价信息表
第一周 第二周 第三周 第四周 第五周
成本
售价 m n p
乙商品的成本与售价统计图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲商品这五周成本的平均数为___________，中位数为___________；
(2)表中m的值为____________，从第三周到第五周，甲商品第_______周的售价最高；
(3)记乙商品这周售价的方差为，若将规定“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的一半”更改为“当周售价涨跌幅为当周成本涨跌幅的四分之一”，重新计算每周售价，记这周新售价的方差为，则________；（填“”“”或“”）．
24．如图，为的直径，，与分别相切于点，，连接，，与相交于点．
(1)求证：；
(2)连接交于点，补全图形，若，，求的长．
25．某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：．
在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下：
添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120
保质期（天） 3 5 8 10 9 7 4
(1)以添加剂浓度为横坐标，保质期为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接．
(2)①工厂分析发现，每增加添加剂，成本增加2元；而每延长1天保质期，可减少5元的损失．若增加添加剂能使保质期延长超过____天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）．
②若面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）．当添加剂A浓度为时，总成本（添加剂成本与损失之和）为____元．
(3)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省____的添加剂（保留整数）．
②当浓度在________范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）．
26．在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点．
(1)求该抛物线解析式（用含的式子表示）；
(2)过点作轴的平行线，将抛物线（）在直线右侧的部分沿轴翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为，直线与直线交于点，与图形交于点（不与重合）．
①若的长度随的增大而减小，求所有满足题意的的取值范围；
②当时，至少存在两个不同的值使得长度相等，求的取值范围．
27．如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，连接交于点．
(1)依据题意，补全图形；
(2)求证：；
(3)用等式表示线段，，之间的数量关系．
28．在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”．
(1)已知，，，其中．
若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”；
若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围；
(2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）．

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