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内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼后旗2026年九年级 数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．某地提倡“节约用水，保护环境”，如果节约的水记为，那么浪费的水记为（ ）
A． B． C． D．
2．书法是我国传统文化的重要组成部分，被誉为：无言的诗，无形的舞，无图的画，无声的乐，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，是一种测量角的仪器，它依据的原理是（ ）
A．同位角相等 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．等角的余角相等
5．有着冰上“国际象棋”之称的冰壶如图放置时，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　）

A． B． C． D．
7．明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手．问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在平行四边形中，．按以下步骤作图：①以C为圆心，以适当长为半径作弧，交于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点O，交边于点F，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．2026年春节联欢晚会上，机器人表演的武术的节目引发人们对人工智能的广泛关注，据统计，2026年北京人工智能核心产业规模达3458.7亿元．数据“”用科学记数法表示为______．
10．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度．
11．如图，因地形原因，湖泊两端，的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量．他们将无人机上升并飞行至距湖面的点处．从点测得点的俯角为，测得点的俯角为（，，三点在同一竖直平面内），则湖泊两端，的距离为________（结果保留根号）．
12．如图，在边长为4的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作弧，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．
三、解答题
13．按要求完成下列各题：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，从、0、1、2四个数中选取你喜欢的一个m的值代入求值．
14．某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量．
【数据收集与整理】
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示：
型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示：
分拣快递数量（万件）
机器人台数（台）
【数据分析与运用】
两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表：
众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差
A型号 和 b
B型号
请你根据以上数据，解答下列问题：
(1)填空：表中_____________，_______________；
(2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议．
(3)若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率．
15．某商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系：，且规定商品的单价不能低于成本价，但不高于50元．
(1)销售单价为多少元时，每天能获得800元的利润；
(2)若使销售该商品每天获得的利润最大，销售单价应定为多少元 最大利润为多少元
16．如图，是的外接圆，为的直径，，连接，，的延长线交于点E，交于点F，若．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的半径；
②求的长．
17．问题背景 某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线 和“矩形” 构成，抛物线最高点 到地面 的距离为米，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系，已知米，米．
建立建模 （1）求抛物线的解析式；
问题解决
（2）冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图1，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”（即三根支架，其中，垂直地面，平行地面），求“脚手架”的最大长度；
（3）如图2，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数．
18．综合与实践
问题情境：
如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点，连接．
猜想证明：
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明；
解决问题：
（3）如图①，若，，请直接写出的长．

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