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8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
情境导入
在前面的学习中，我们独立地认识了空间中点、直线、平面的概念与性质，接下来，我们来研究空间中点、直线、平面之间有什么位置关系？
!
点、直线、平面之间的位置关系
点与直线
点与平面
直线与直线
直线与平面
平面与平面
既不平行
又不相交
即不在任何同一平面内
4. 空间中的两直线有哪些位置关系？
1. 同一平面内的直线有哪些位置关系？
a
b
O
a
b
相交
平行
2. 如何判断两直线相交？
两直线在同一平面，有且只有一个公共交点.
3. 如何判断两直线平行？
两直线在同一平面，无公共交点.
思考：
如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段A′B所在直线分别与线段CD′
所在直线，线段AB所在直线，线段BC所在直线的位置关系如何
C
B'
C'
A'
D'
B
A
D
①直线A′B与CD′在同一个平面A′BCD′内，
它们没有公共点，它们是平行直线.
②直线AB与BC在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点B，它们是相交直线.
③直线AB与CC′不同在任何一个平面内.
4. 空间中的两直线有哪些位置关系？
探究新知
探究1：空间中的点与直线有哪些位置关系？
长方体是我们熟悉的空间几何图形，
下面我们借助长方体进一步研究空间中点、直线、平面之间的位置关系.
探究2：空间中的点与平面有哪些位置关系？
探究新知
探究3：空间中的直线与直线有哪些位置关系？
①直线 与 在同一个平面 内，
它们没有公共点，它们是平行直线；
②直线 与 也在同一个平面 内，
它们只有一个公共点 ，它们是相交直线；
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
定义
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
都不是
没有一个公共点、不在同一个平面
异面直线
探究新知
定义
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
画法
为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。
思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
总结新知
共面直线
异面直线：
平行直线：
相交直线：
在同一平面内，有且只有一个公共点；
在同一平面内，没有公共点；
不同在任何一个平面内，没有公共点.
平行直线
相交直线
异面直线
空间中直线与直线的位置关系
探究新知
探究4：空间中的直线与平面有哪些位置关系？
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
再结合生活实例(如教室中的线、面)，我们可以看出，直线与平面的位置关系有且只有三种
(1)直线在平面内——有无数个公共点；
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点；
(3)直线与平面平行——没有公共点.
直线在平面外
总结新知
空间中直线与平面的位置关系
位置关系 公共点个数 符号表示 图形表示
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
无数个
有且只有一个
没有
探究新知
探究4：空间中的平面与平面有哪些位置关系？
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A
再结合生活实例(如教室中的面、书本等)，我们可以看出，平面与平面的位置关系有且只有2种：
(1)两个平面平行——没有公共点；
(2)两个平面相交——有一条公共直线.
两平面相交或平行的如何用符号语言与图形语言表示？
探究新知
两平面平行：画两个两个平行四边形表示，但要注意使表示
平面的两个平行四边形的对应边平行。
两平面平行：在画两个相交平面时，如果其中一个平面的一部分被另一
个平面挡住，通常把被挡住的部分画成虚线或不画
请为异面直线选择合适的定义：（ ）
A、空间中不相交的两条直线；
B、某平面内的一条直线和这平面外的直线；
C、分别在不同平面内的两条直线；
D、不同在任一平面内的两条直线.
D
2、空间中直线与平面的位置关系
(1) 直线在平面内
有无数个公共点
a

记为：a
(2) 直线与平面相交
有且只有一个公共点
a

记为：a∩ =A
A
(3) 直线与平面平行
没有公共点
a

记为：a//
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外
记为：a
或
a//
a ∩ =A
a

A

a
3、空间中平面与平面的位置关系
两个平面的位置关系有且只有两种：
(1) 两个平面平行 —— 没有公共点.
(2) 两个平面相交 —— 有一条公共直线．
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
记为： ∥β
记为： ∩β=l
图1
图2
×
√
平面平行的画法：
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
例1：如下图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系.
(1)
(2)
a
1. 选择题
(1) 如果两条直线a与b没有公共点，那么a与b ( ).
(A) 共面 (B) 平行
(C) 是异面直线 (D) 可能平行，也可能是异面直线
(2) 设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线，则a与b ( ).
(A) 平行 (B) 相交
(C) 是异面直线 (D) 可能相交，也可能是异面直线
D
D
练习2 如图，已知正方体ABCD A'B'C'D'，判断下列直线的位置关系：
①直线AB与直线AC的位置关系是 ；
②直线AC与直线A'C'的位置关系是 ；
③直线A'B与直线AC的位置关系是 ；
④直线A'B与直线C'D的位置关系是 ．
相交
平行
异面
异面
练习3 判断正误
①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α ( )
②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 ( )
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与
这个平面平行 ( )
④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公
共点 ( )
×
×
×
√
练习4 已知平面 、 ，直线a、b，且 // ，a ，b ，则直线
a与直线b具有怎样的位置关系？
a


b
答：平行或异面
练习5 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
C
平行、异面或相交
C
A
练习8 3个平面把空间分成几部分？
（2）
（1）
（3）
（4）
（5）
4
6
6
7
8
例2：如下图，AB∩α=B， A α，a α，B a. 直线AB与a具有怎样的位置关系 为什么
直线AB与a是异面直线. 理由如下：
若直线AB与直线a不是异面直线，则它们相交或平行.设它们确定的平面为β，则B∈β，a β. 由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合.从而AB α，进而A∈α，这与A α矛盾.
所以直线AB与a是异面直线.
B

α
a
A

1. 两直线位置关系
2. 直线与平面位置关系
3. 平面与平面位置关系
课堂小结
随堂练习

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