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(共29张PPT)
8.3 内切球和外接球
扇形面积公式：
圆的面积公式：
请同学回顾下面公式：
扇形弧长公式：
想一想，扇环的面积公式是什么？
温故知新（忆一忆）
(可借助梯形的面积公式记忆)
可借助三角形的
面积公式记忆
S上=S下
S上=0
复习回顾
公式归纳：
圆柱
圆锥
圆台
球
l
O
O'
2πr
r


O'
O
r'
2πr'
r
l
2πr


2πr
O
S
l
r


O
R
体积：
表面积：
类型：内切球、棱切球、外接球
内切球：
球体在几何体里面，且球体与几何体每个面均相切。
棱切球：
球体与几何体每条棱均相切。
外接球：
几何体在球体里面，且几何体每顶点均在球体上。
方法一：球与长(正)方体的简单切、接问题
(1)正方体
切点：各个面的中心.
球心：正方体的中心.
直径：相对两个面中心连线.
直径等于正方体的棱长.
①内切球

O
O

②棱切球
O


O
切点：各棱的中点.
球心：正方体的中心.
直径： “对棱”中点连线.
直径等于正方体一个面的对角线长.
③外接球
O
A
B
C
D
O

A
B
C
D
直径等于正方体的体对角线长.
a是正方体棱长
球心：正方体的中心.
直径： 体对角线.
练习册P70
思考：一般的长方体有内切球吗？
如果一个长方体有内切球，那么它一定是
正方体
例如，装乒乓球的盒子
（2）长方体
①内切球
没有
球直径等于长方体的（体）对角线
O
若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c
O

A
B
C
D
A
B
C
D
②外接球
（2）长方体
例1、长方体的共顶点的三个侧面的对角线长分别为 ，则它的外接球的表面积为__________.
O
a
b
c
练习册P70
☆
3、如图：先将直三棱柱放进圆柱中，
在△ABC中用______________求出r，
再建立勾股定理________________求出R.
正弦定理
注：有一条侧棱垂直于底面的棱椎都可补型为直棱(圆)柱.
圆柱、直棱柱
②外接球
类型二：构造圆柱、直棱柱、可补形为直棱柱的(统称为圆柱型)
1、球心是上、下底面外接圆圆心所连线段的中点；
2、球心到底面的距离是侧棱长的一半
D
LOGO
例题讲解
（2）直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，若
，则此球的表面积等于 。

O

O2
C
B
A
2

O1
2
20π
例7
B
C
A
2
2
120°
补体法：有一条侧棱垂直于底面的棱椎都可补型为直棱(圆)柱.
LOGO
例题讲解
（3）已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，
AD=2，∠AEB=60°，则多面体E-ABCD的外接球的表面积为 。
16π
例7
B
A
E
3
3
60°
3
例7 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为3，则这个球的体积为
例题讲解
r
o1
o
o2
●
R
o1
r
A
B
a
补体法：有一条侧棱垂直于底面的棱椎都可补型为直棱(圆)柱.
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥
正棱锥外接球半径求法——可补体为圆锥、轴截面法
1.球心在棱锥的高所在的直线上
2.球心到底面外接圆圆心的距离d等于锥体
的高h 减去球半径R的绝对值d= |h －R |
②外接球

O
D
R
a

O1
P
C
B
A
R
E
轴截面法
3.如图：先将直棱锥放进圆锥中，在△ABC中用_________
求出r，再建立勾股定理____________________求出R.
正弦定理
O
A
O1
P


R
a=l
E
R
r
|h-R|
LOGO
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥
②外接球
例8、求棱长为1的正四面体外接球的体积．

O
D
R
1

O1
P
C
B
A
R
E
轴截面法
O
A
O1
P


R
1
E
R
补体法：正棱锥可补体为圆锥、轴截面法
LOGO
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥
②外接球
轴截面法
R

O1
P
R
E

O
A
O
A
O1
P


R
E
R
扇形面积公式：
扇形弧长公式：
2πr
α
圆锥展开图
LOGO
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥
36π
②外接球
O
O
A
O′
P


R
R
O′

PO′= 4，OO′=4－R，AO=R
AO2 = OO′ 2 + AO′ 2，
R=3
2.
O

O′
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥
②外接球
如图：取球表面上任意的点P1，P2，P3，P4，P5，AB是球的直径，则∠AP1B=∠AP2B=∠AP3B=∠AP4B=∠AP5B=90 ；
反之，如发现一条线段AB所对的两个不共面
的角∠AP1B，∠AP2B都为90 ，则可以确定线
段AB为球的直径。
例9.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为(　　)
Ｃ
几何体的内切球问题
例10.求棱长为4的正方体内切球的体积
O

O

4
R=2
轴截面法
LOGO
课堂小结

O
R
1.球的表面积、体积公式
2. 球与多面体的内切、外接
方法：
结论：
1.正方体的三个球
2.长方体的外接球
3.直棱柱
圆 柱
内切、外接球
4.正棱锥
圆 锥
内切、外接球
5.正四面体内切、外接球
等体积法
补形法
轴截面法
LOGO
同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或正方体．
P
A
B
C
补形法：
课堂小结
解决与球有关的外接、内切问题的关键
1、确定球心位置
2、构造直角三角形，确定球的半径
球与多面体
1、多面体外接球：多面体顶点均在球面上；球心到各顶点距离为R
2、多面体内切球：多面体各面均与球面相切；球心到各面距离为R
球与旋转体
旋转体的外接球与内切球：球心都在旋转轴上
①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；
②正三棱柱的外接球的球心是上下底面中心连线的中点.
球与旋转体
课堂小结
1、教材书P119练习题：第3、4题；P120习题8.3：第4、5题
2、课时作业P213：第1-10题
3、预习：教材书P124-128《8.4.1平面》
课后作业
方法五：寻求轴截面圆半径法
则其外接球
的体积为
练习册P70
☆
跟踪训练4　在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.
练习册P70
☆

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