资源简介

(共27张PPT)
第八章 立体几何初步
8.3.3 球的表面积与体积
练习1、已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. 若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于　　　.
16π
预习检测
练习2：长方体的共顶点的三个面面积分别为 ，试求它的外接球的表面积
S球=9π
练习3、正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )
C
解析：设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为
它的外接球的半径为 ，故所求的比为
练习4、已知一长方体的一个顶点处的三条棱长分别是
这个长方体的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是( 　)
A.12π　　　B.18π　　　C.36π　　　D.6π
A
解析:由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为
.从而球的半径为 ，球的表面积为12π.
一 球的定义
二 球的性质
二 球的表面积
球O
定理：球面面积等于它的大圆面积的4倍。
即 S球=4πR2(R为球的半径)
(1)球的表面积
(2)球的体积
1、球的表面积与体积
球的体积计算公式：
例题分析
球的体积计算公式：
球的表面积计算公式：S球=4πR2(R为球的半径)
例1、(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积；
(2)已知球的表面积为64πcm2，求它的体积；
解：(1)∵球的直径为6cm，所以半径R=3cm
∴表面积S球=4πR2=36π(cm2)
解：(2)设球的半径为R，
∴表面积S球=4πR2=64π(cm2)
∴R2=16，R=4
例题分析
球的体积计算公式：
球的表面积计算公式：S球=4πR2(R为球的半径)
例1、(1)已知球的直径为6cm，求它的表面积和体积；
(2)已知球的表面积为64πcm2，求它的体积；
用一个平面α去截一个球O，截面是圆面
α
球心和截面圆心的连线垂直于截面
球心到截面的距离为d，球的半径为R，截面半径为r，则
r2=R2-d2
2、球的截面性质
球的截面问题
解：作轴截面，如图所示，根据球的性质，可得OO′=1，设截面圆的半径为r，球的半径为R，
因为截面圆的面积为π，所以可得πr2=π，解得r=1
又由R2=OO′2+r2=2，所以
所以球的表面积S球=4πR2=8π
例题解析
例2、一个距离球心为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为_______。
8π
定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球 。
1、内接问题
3、球的内接外切问题
正方体的外接球的球心是体对角线的交点，半径是体对角线的一半.
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
1、各个顶点都在球O的球面上
O
例3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
2、外切问题
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
正方体的内切球的球心是体对角线的交点，半径是棱长的一半。
2、球O和这个正方体的六个面都相切
例4、一个正方体的表面积是24，则此正方体内切球的体积为_____。
与正方体的棱都相切的球的球心是体对角线的交点，半径是面对角线长的一半。
3、球O和这个正方体的各条棱都相切
例5、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( )
A、3π B、4π C、5π D、6π
例5、一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 ( )
A、3π B、4π C、5π D、6π
解：联想棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，
则四面体ACB1D1的棱长都为 ，它的外接球也是正方体的外接球，
其半径为正方体对角线长的一半，即有r＝ ，
故所求球面积为S＝3π
A
B1
C
D1
要理解和掌握“正方体与正四面体”的这种图形上的关系，对于快速解题有很大帮助。
A
例6、已知一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为_______
解析：由题意可知，球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为
圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为 .
100π
解析：如图所示，由条件知，O1A=3，OO1=4，所以OA=5，即球的半径为5，所以球的表面积为100π.
已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球. 求:
(1)圆锥的侧面积;
(2)圆锥内切球的体积.
解:(1)作出轴截面，如图所示，则等腰三角形CAB内接于圆O，而圆O1内切于△CAB，
设圆O的半径为R，由题意得
所以R3=729，所以R=9，所以CE=18.因为CD=16，所以ED=2. 连接AE，因为CE是圆O的直径，所以CA⊥AE.
因为CA2=CD·CE=16×18=288,
因为AB⊥CD,所以AD2=CD·DE=16×2=32,
已知一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥内又有一个内切球. 求:
(1)圆锥的侧面积;
(2)圆锥内切球的体积.
解:(2)设圆锥的内切球O1的半径为r，即△CAB的内切圆的半径为r.
一、球的定义，球的表面积公式和体积公式
二、理解并应用球的表面积和体积公式解决相关问题
五 课堂小结
六 作业布置 导学案
再见

展开更多......

收起↑