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第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否
正确？
（1）相等的线段在直观图中仍相等。（ ）
（2）平行的线段在直观图中仍平行。（ ）
（3）一个角的直观图仍是一个角。 （ ）
（4）相等的角在直观图中仍相等。 （ ）
×
√
√
×
预习检测
2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　)
A　　　 　B　　 　　C　 　 　D
C
3．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为 ．
10
4：用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.
x
y
O
z
A
B
C
D
E
F
A'
B'
C'
D'
E'
F'
提示：1、画出正六棱柱下底面的直观图；
2、画出与z轴平行的六条棱，并截取相同的长度；
3、顺次连接上底面的各顶点；
4、整理成图。
5：用斜二测画法画一个正六棱锥的直观图.
x
y
O
z
A
B
C
D
E
F
S
提示：1、画出正六棱锥下底面的直观图；
2、在z轴上截取棱锥的高；
3、顺次连接棱锥的各顶点；
4、整理成图。
.
请你说出下面几何体分别是什么几何体？
长方体
五棱锥
圆柱
圆锥
圆台
四棱台
这些图形就是空间几何体的直观图
问题引入
思考1：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？
眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
矩形
平行四边形
利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。
思考2：把一个正方形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图.比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？
思考 为什么是这些形状？能用平行投影知识加以解释吗？还记得初中学过的投影分为哪几类吗？
光由一点向外散形成的投影，叫做中心投影. 中心投影的投影线交于一点.
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影. 平行投影的投影线是平行的.
1. 投影
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法. 利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是:
① 画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.
画直观图时，把它们画成对应的x' 轴与y' 轴，两轴相交两轴交于点O'，且使∠xO'y＝45 (或135 )，它们确定的平面表示水平面.
2. 斜二测画法 ——画水平放置的平面图形的直观图
x
y
x'
y'
O
O'
③取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
②画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x' 轴或y' 轴的线段.
2. 斜二测画法 ——画水平放置的平面图形的直观图
④成图：连接线段，擦除辅助线．
横不变，竖减半，平行关系不变
试一试：用斜二测画法画水平放置的正方形ABCD的直观图.
x
y
A
B
C
D
x'
y'
A'
D'
C'
2. 斜二测画法
B'
例1：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
A
B
C
D
F
E
O
M
N
例题分析
O'
O
M
N
例1：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
A
B
C
D
F
E
例题分析
B'
C'
A'
D'
F'
E'
M'
N'
O'
O
M
N
例1：用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
A
B
C
D
F
E
例题分析
B'
C'
A'
D'
M'
F'
E'
N'
（1）建系画轴.
斜二测画法的基本步骤：
方法总结
（2）确定坐标轴上的点.
（3）确定平行线段.
（4）连点并擦去辅助线.
1. 在原图中选取适当的直角坐标系非常关键，一般可结合对称性，并且要使尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.
2. 画图的关键是确定多边形顶点的位置． 对于原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来确定位置，确定它的两个端点，然后连接成线段．
斜二测画法的作图技巧：
方法总结
横不变，竖减半，平行关系不变
练习1：用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．
巩固训练
练习2：下图是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图△A'B'C' ， 其中A'O'=O'B',请画出这个图形的真实图形.
巩固训练
（1）建坐标系
（2）画坐标轴上的点
（平行于x'轴的线段长度不变，
平行于y'轴的线段长度加倍）
画平行于坐标轴的线段
（本题无）；
（3）连线,擦去辅助线
练习2：下图是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图△A'B'C' ， 其中A'O'=O'B',请画出这个图形的真实图形.
巩固训练
思考：正三角形原图形与直观图的面积具有怎样的数量关系？
对任意多边形，都有
四、典型例题
练习3(1)已知等边三角形的边长为 ，则用斜二测画法画出的水平放置的直观图的面积为______.
(2)一个平面图形用斜二测画法画出的水平放置的直观图是边长为1的正方形，则这个平面图形的面积为______.
巩固训练
2. 斜二测画法
用斜二测画法画圆的直观图:
用斜二测画法画立体图形的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是在已有水平面内的x、y轴基础上，增加竖向的
z轴，竖向线段的方向和长度保持不变.
3. 斜二测画法 ——画立体图形的直观图
例1 如图，一个长方体长宽高分别是3cm，2cm，1.5cm，怎样用斜二测画法画出直观图？
例题分析
（A）
D
C
B
例1 如图，一个长方体长宽高分别是3cm，2cm，1.5cm，怎样用斜二测画法画出直观图？
例题分析
（A）
B
D
C
A'
B'
C'
D'
例2 已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.
O.
x
z
A
B
例题分析
O.
x
z
A
B
A'
B'
.O'
例2 已知圆柱底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.
例题分析
O.
例题分析
对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线.
例题分析
画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆.
同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性.
例题分析
例4：某简单几何体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.
分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图，本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了.
x'
x
O
O'
z
P
B'
B
A'
A
“取轴、定点、成图”
解：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.
例题分析
观察
水平放置在桌面的长方体盒子,你最多能看到它的几个面
三个面
讨论
如何将如图放置的长方体画下来呢
一、画底面(打地基）
二、画侧棱（砌墙）
三、连线（盖房顶）
二.画立体图形的直观图
(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.
(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴y′轴垂直，
并且平行于z轴的线段平行性和长度都不变，连线成图.
(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.
用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤
②画底面.以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=____cm；
在y轴上取线段PQ，使PQ=_____cm，
分别过点M和N作y轴的平行线，
过点P和Q作x轴的平行线，
设它们的交点分别为A，B，C，D，
四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.
例题2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
画法：①画轴.画x轴、y轴、z轴，三轴交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
4
1.5
③画侧棱.过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′,BB′,CC′,DD′.
④
例题3 已知圆柱的底面半径为1cm，侧面母线长3cm，画出它的直观图.
画圆柱、圆锥、球的直观图
画轴 → 画下底面 → 画上底面 → 画母线 → 成图
圆锥的直观图：先画圆锥的底面．再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点， 最后画出两侧的两条母线.
球的直观图：画出球的轮廓线，它是一个圆.同时还经常画出经过球心的 截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性.
·
例4 某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图
画法:
①画轴；
②画圆柱的下底面；
③画圆柱的上底面;
④画圆锥的顶点;
⑤成图。

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