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高中数学人教A版必修第二册
第八章 立体几何初步
8.1.1 圆柱、圆锥、圆台和球体
学习目标
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.(重点)
3.了解简单组合体的概念及结构特征.(难点)
情境引入
上节课学了常见的多面体: 棱柱、棱锥、棱台有什么结构特点
棱柱的结构特征
两底面互相平行且全等
各侧面都是平行四边形
各侧棱互相平行且相等
棱锥的结构特征
仅有一个底面是多边形
侧面都是三角形
各侧面有且只有一个公共顶点
棱台的结构特征
上下底面是互相平行且相似的多边形
侧面都是梯形
各侧棱的延长线交于一点
导语
你到过孔子六艺城吗？在孔子六艺城中有一个地方是数学爱好者必去的，那就是“数厅”，如图，以圆柱体为基座，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观，你知道其中隐含的数学知识吗？今天我们就一起来研究吧！
知识梳理
1.圆柱的概念及结构特征
圆柱 图形及表示
定义 以 所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
相关概念 圆柱的轴： ； 圆柱的底面： 的边旋转而成的圆面； 圆柱的侧面： 的边旋转而成的曲面； 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，____ 的边
矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
平行
于轴
图中圆柱记作圆柱O′O
圆柱
2.圆锥的概念及结构特征
圆锥 图形及表示
定义 以直角三角形的 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
相关概念 圆锥的轴： 圆锥的底面： 侧面：直角三角形的 旋转而成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
一条直角边
斜边
图中圆锥记作圆锥SO
旋转轴；
垂直于轴的边旋转而成的圆面；
圆锥
3.圆台的概念及结构特征
圆台 图形及表示
定义 用 的平面去截圆锥， 之间的部分叫做圆台
相关概念 圆台的轴： 圆台的底面： 的边旋转一周所形成的圆面； 圆台的侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面； 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
平行于圆锥底面
底面与截面
垂直于轴
图中圆台记作
圆台O′O
旋转轴；
圆台
4.球的概念及结构特征
球 图形及表示
定义 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
相关概念 球心：半圆的 ； 半径：连接 和球面上任意一点的 ； 直径：连接球面上 并经过球心的_____
半圆以它的直径
圆心
球心
线段
两点
线段
图中的球记作球O
球
例1　(多选)下列选项中，正确的是
A.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C.以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一
周形成的曲面所围成的几何体是圆锥
D.用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
√
√
A中，以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台；
B中，它们的底面为圆面；
C，D正确.
反思感悟
(1)判断简单旋转体结构特征的方法
①明确由哪个平面图形旋转而成.
②明确旋转轴是哪条直线.
(2)简单旋转体的轴截面及其应用
①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量.
②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
跟踪训练1　(多选)下列说法正确的是
A.圆柱的母线与它的轴可以不平行
B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D.圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的
√
√
由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BD正确，AC错误.
现实世界中的物体表示的几何体，除柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体。
定义
一种是由简单几何体拼接而成
一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成
两种基本构成形式
例1.如图，以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴，其余
三边旋转一周形成的面围成一个几何体。说出这个几何
体的结构特征。
例3　已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径.
如图，设这两个截面圆的半径分别为r1，r2，球心到截面的距离分别为d1，d2，
球的半径为R，
即(d1－d2)(d1＋d2)＝3，
又d1－d2＝1，
即球的半径为3.
反思感悟
(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程(组)求解.
(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
跟踪训练3　如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.
设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，
可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r cm,4r cm.过轴SO作截面，
如图所示. 则△SO′A′∽△SOA， 又SA′＝3 cm.
解得l＝9，即圆台的母线长为9 cm.
课堂小结
1.知识清单：
(1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征.
(2)球的结构特征.
(3)简单组合体的结构特征.
2.方法归纳：分类讨论、转化与化归.
3.常见误区：同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.
1
2
3
4
1.(多选)下列说法中不正确的是
A.将正方形旋转不可能形成圆柱
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.通过圆台侧面上一点，有无数条母线
√
√
√
将正方形绕其一边所在直线旋转可以形成圆柱，所以A错误；
B中没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正
确，其他情况下结论不一定正确，所以B错误；
通过圆台侧面上一点，只有一条母线，所以D错误.
1
2
3
4
2.下列选项中的三角形绕直线l旋转一周，能得到如图所示几何体的是
由题意知，该几何体是组合体，上、下各一个圆锥，显然B正确.
√
1
2
3
4
3.一条排水管的截面如图.已知排水管的截面圆半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面水深CD等于
A.3 B.4 C.5 D.6
√
由题意知OD⊥AB，交AB于点C，∵AB＝16，
1
2
3
4
4.两相邻边长分别为3 cm和4 cm的矩形，以一边所在直线为轴旋转所成的圆柱的底面积为 cm2.
当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，
底面积为16π cm2；
16π或9π
当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，
底面积为9π cm2.

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