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人教2019A版必修 第二册
8.6.1 直线与直线垂直
D
预习检测
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)
A．异面　　　　　　 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
B
2.如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E、F、
G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．120°
【解析】取A1B1中点I，连接IG、IH，则EF//IG.易知IG，IH，HG相等，则△HGI为等边三角形，则IG与GH所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.
3．如图，正方体ABCD A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是 ．
60°
【解析】连接AD1，则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，
连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
∴∠CAD1＝60°，
即AC与BC1所成的角为60°.
4．如图，在四棱锥P ABCD中，PA⊥AB，底面ABCD是平行四边形，则PA与CD所成的角是 ．
90°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠PAB是PA与CD所成的角．
又∵PA⊥AB，
∴∠PAB＝90°.
空间两直线的位置关系：
(1)从公共点的数目来看可分为：
①有且只有一个公共点——两直线相交 记作：l1∩l2=A
②没有公共点
两直线平行l1//l2
两直线为异面直线
复习回顾
(2)从平面的性质来讲，可分为：
②不同在任何一个平面内——两直线为异面直线。
①在同一平面内
两直线平行l1//l2
两直线相交
观察：如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
不同
类似地，可以用“异面直线所成角”来刻画两条异面直线的位置关系.
我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．
图中的角θ即为直线a与直线b的夹角．
a
b
已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
b′
a′
空间直线所成角→平面直线所成角
（空间问题→平面问题）
O
O
异面直线所成角的定义:
思考:这个角的大小与O点的位置有关吗 即O点位置不同时, 这一角的大小是否改变
不会，等角定理
注：①异面直线a,b所成角，只与a,b的相互位置有关，而与点O位置无关；
②一般常把点O取在两异面直线中的a或b上.
如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。直线a与直线b垂直，记作a⊥b。
当两条直线a，b相互平行时，我们规定它们所成的角为00。所以空间两条直线所成角α的取值范围是
而两条异面直线所成的角度的取值范围是
例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.
(3)求直线BA′与AC所成角的大小.
解：(1)与直线AA1垂直的棱所在直线有AB, BC, CD, DA, A′B′, B′C′, C′D′, D′A′.
课本P147--例1
例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)求直线BA′与CC′所成角的大小.
(3)求直线BA′与AC所成角的大小.
课本P147--例1
解:(2)
平移法
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例1 如右图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′.
(3)求直线BA′与AC所成角的大小.
连接A′C′
∵ABCD-A′B′C′D′是正方体
∴AA′ CC′
∴四边形AA1C1C是平行四边形
∴AC∥A′C′
∴异面直线BA1与AC所成的角等于60°
∴∠BA1C1为直线BA1与AC所成的角
连接BC′,
易知△A1BC1是等边三角形
∴∠BA1C1=60°
解：
例2 如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，求证：AO1⊥BD.
证明：如图，连接B1D1
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体 ∴ BB1 DD1
∴四边形BB1D1D是平行四边形
∴B1D1//BD
∴直线AO1与B1D1所成的角即为直线AO1与BD所成的角
∴ AO1⊥BD
连接AB1，AD1，易证AB1=AD1
又O1为底面A1B1C1D1的中心
∴ O1是B1D1的中点
∴ AO1⊥B1D1
∴ AO1⊥BD
B
D
C
A1
B1
C1
D1
A
O1

课本P147--例2
小 结

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