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8.6.2 直线与平面垂直
空间中直线与平面有几种位置关系？



a
a
a
a
a∥
a∩ ＝A
A
复习回顾
问题1：平面几何中，直线上一点，将直线分割成两部分，每一部分都叫做？
平面上的一条直线将平面分割成两个部分，每一部分叫做半平面
问题2：将一条直线沿直线上一点折起，得到的平面图形是？
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角
将一个平面沿平面上的一条直线折起得到的空间图形就称为二面角，请动手尝试画出一个二面角的直观图
类比角的定义？如何定义二面角？
记为：二面角
简记：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
二面角的定义
面1－棱－面2
点1－棱－点2
①平卧式：
②直立式：


l
A
B


二面角的画法：
二面角 － l－
二面角 －AB－
二面角C－AB－ D
A
B
C
D
l


在现实生活中，有哪些涉及两个平面相交所成的角的情形？
这样的角有何特点，该如何表示呢？课本思考
把书打开，相邻两页书构成二面角，把门打开，门和门框所在平面构成二面角，随着打开的程度不同，可得到不同的二面角
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.
二面角的平面角必须满足：
3）角的两边都要垂直于二面
角的棱
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
二面角的平面角的范围: 0 180 .
β
∠AOB即为二面角α-l-β的平面角
线线垂直 线面垂直
n
P
m
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
线面垂直的判定定理：
符号语言：
问题1：和直线与平面垂直的定义相比，在证明直线和平面垂直方面，你觉得判定定理的优越性体现在哪里？
问题2：你觉得定义与判定定理的共同特点是什么？
线线垂直
线面垂直
无限
有限
例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.

已知：a//b，a
求证: b
a
b
证明：设m是 内的任意一条直线
m
可作定理使用
例2、如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥AC
求证：AC⊥平面SDB.
[练习1]三棱锥V-ABC中，VA=VC，AB=BC，求证：VB⊥AC.
A
B
C
V
·
D
取AC的中点D
连接VD,BD.
SD⊥AC
练习：在正方体ABCD A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BC1D.
【证明】如图，连接AC，∴AC⊥BD，
又∵BD⊥A1A，AC∩AA1＝A，
AC，A1A 平面A1AC，
∴BD⊥平面A1AC，
∵A1C 平面A1AC，∴BD⊥A1C.
同理可证BC1⊥A1C.
又∵BD∩BC1＝B，BD，BC1 平面BC1D，
∴A1C⊥平面BC1D.
过△ABC所在平面α外一点P, 作PO⊥α, 垂足为O, 连接PA, PB, PC.
(1) 若 PA=PB=PC, 则O是△ABC的 心.
(2) 若 PA=PB=PC, ∠C=90 , 则O是AB的 点.
(3) 若 PA⊥PB, PB⊥PC, PC⊥PA, 则O是△ABC的 心.
A
B
C
P
O
a
∵PO⊥α，∴∠POA=∠POB=∠POC=90 ,
又 PA=PB=PC,
∴△POA≌△POB≌△POC,
得OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心.
外
中
(3)PA⊥PB, PA⊥PC,得 PA⊥平面PBC,
∴PA⊥BC.
由PO⊥α得PO⊥BC,
得BC⊥平面POA,
∴BC⊥AO.
同理可得AB⊥CO,∴O 为△ABC的垂心.
垂
直线和平面所成角：
1) 斜线:和平面相交，但不垂直的直线叫做平面的斜线
2) 斜足:斜线和平面相交的交点
3) 斜线在平面内的射影(关键):
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线称为斜线在平面内的射影.
平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做直线和平面所成的角.
α
P
l
A
O
1.若直线垂直平面，则直线和平面所成的角为90°
2.若直线与平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角为0°
规定:
3.直线和平面所成角的取值范围为：
0°≤θ≤90°
斜线与平面所成角的范围：
求线面角的方法：
①找斜足
②找垂足
③找射影
④求夹角
例2.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B和平面A1DCB1所成的角。
解：连接BC1，B1C与BC1相交于点O，连接A1O，设正方体的棱长为a.
∴A10为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，
∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角。
在Rt△A1BO中，
所以，直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°。
∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩B1B=B1.
∴A1B1⊥平面BCC1B1，∴A1B1⊥BC1.
BC1⊥B1C ∴BC1⊥平面A1DCB1
A
D
C
B
D1
A1
B1
C1
[练习1]长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1与平面BB1C1C
所成的角为30°，则该长方体的体积为_______.
[练习2]正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值.
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
(3)E是CC1的中点，求直线AE与平面ADD1A1所成角的正弦值.
(1)
(2)
(3)
例题 在棱长为a的正四面体ABCD中，A与底面BCD的距离。
A
B
C
D
试一试
点到面的距离
长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，AD=3，AA1=4.
(1)求直线AC1与平面ADD1A1所成角的正切值；
练习
（2）求点B到平面AB1C的距离
A
D
C
B
D1
A1
B1
C1
β
α
α
β
图形表示
平面与平面垂直的定义
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
记作α⊥β
建筑工人砌墙时，如何使所砌的墙和水平面垂直？
铅垂线→直线
墙面→平面
水平面→平面
B
A
C
2.平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
α
β
a
A
简记：线面垂直，则面面垂直
符号:

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