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19.3　二次根式的加法与减法
第1课时　二次根式的加减
@学霸笔记
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成　最简二次根式　，再将　被开方数　相同的二次根式进行合并.
@基础分点训练
　可以合并的二次根式
1.（2025 兰州校级期中）下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（B　）
A.　　B.　　C.　　D.
2.下列各组二次根式中，可以进行合并的一组是（D　）
A.与　　B.与
C.与　　D.－与
3.若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（C　）
A.－　　B.　　C.2　　D.5
　二次根式的加减
4.计算：－＝（A　）
A.　　B.2　　C.3　　D.4
5.下列运算正确的是（D　）
A.＋＝　　B.2＋＝2
C.3－＝3　　D.3－＝2
6.计算：－＝　1　.
7.变式题计算：
（1）－＋；
解：原式＝2－3＋5
＝4.
（2）＋－；
解：原式＝＋4－3
＝.
（3）＋－；
解：原式＝2＋－
＝.
（4）｜－｜－＋（2＋3）.
解：原式＝－2＋2＋3
＝4.
@中档提分升训练
8.下列各式中，运算正确的是（A　）
A.－＝2　　B.－＝
C.2＋＝2　　D.－＝3
9.若的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值是（　C　）
A.3－3　　B.
C.1　　D.3
10.计算－的结果是　　.
11.分类讨论思想若等腰三角形的两边长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为　6＋2或4＋3　.
12.数形结合思想如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为－，设点B所表示的数为m，则｜m－1｜＋（m＋）2＝　＋3　.
13.计算：
（1）－＋2＋｜－2｜；
解：原式＝－5＋2＋（2－）
＝－3＋.
（2）－3＋10－；
解：原式＝4－3×＋10×－×4
＝4－＋2－2
＝6－3.
（3）－；
解：原式＝
＝2＋－＋
＝3＋.
（4）－.
解：原式＝－
＝－2－－4
＝－6.
14.先化简，再求值：－6＋2x，其中x＝4.
解：原式＝5－＋2
＝6.
当x＝4时，原式＝6×＝12.
15.已知≈1.732，求－＋2的近似值.（结果保留小数点后两位）
解：原式＝－3＋4
＝
≈×1.732
≈2.31.
@拓展素养训练
16.运算能力已知ɑ＋b＝－8，ɑb＝12.求＋的值.
解：∵ɑ＋b＝－8＜0，ɑb＝12＞0，
∴ɑ＜0，b＜0.
∴原式＝－－
＝－
＝－
＝－
＝
＝.
第2课时　二次根式的混合运算
@基础分点训练
　二次根式的混合运算
1.化简（＋2）的结果是（　A　）
A.2＋2　　B.2＋
C.4　　D.3
2.计算×－的结果是（　B　）
A.7　　B.6　　
C.7　　D.2
3.计算：（－3）÷＝　3　.
4.变式题计算：
（1）（2025 甘肃）－×；
解：原式＝2－
＝.
（2）－÷；
解：原式＝3－2÷2
＝3－
＝2.
（3）（＋2）（＋3）.
解：原式＝3＋3＋2＋6
＝5＋9.
　乘法公式在二次根式混合运算中的应用
5.（2025 河北）计算：（＋） （－）＝（　B　）
A.2　　B.4　　C.6　　D.8
6.已知ɑ＝＋2，b＝－2，则ɑ＋b＝　2　，ɑb＝　1　.
7.若ɑ－b＝2－1，ɑb＝，则（ɑ＋1）（b－1）的值是　－　.
8.计算：（2－）2＝　14－4　.
9.应用意识已知一个长方形的长为（2＋3） cm，宽为（2－3） cm，则该长方形的面积为　2　cm2.
10.变式题已知x＝＋1，y＝－1.求下列各式的值：
（1）x2－2xy＋y2；
解：x2－2xy＋y2＝（x－y）2.
∵x＝＋1，y＝－1，
∴x－y＝（＋1）－（－1）＝2.
原式＝22＝4.
（2）x2－y2.
解：x2－y2＝（x＋y）（x－y）.
∵x＝＋1，y＝－1，
∴x＋y＝（＋1）＋（－1）＝2，
x－y＝（＋1）－（－1）＝2.
原式＝2×2＝4.
@中档提分升训练
11.已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为（　B　）
A.10　　B.　　C.±10　　D.4
12.程序计算题按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出结果是（　C　）
A.14　　B.16
C.8＋5　　D.14＋
13.计算：（－3）2 026 （＋3）2 025＝　－3　.
14.计算：
（1）（2024 甘肃）－×；
解：原式＝3－3
＝0.
（2）（2＋7）（7－2）；
解：原式＝（7）2－（2）2
＝98－24
＝74.
（3）÷＋（1－）2＋；
解：原式＝＋1－2＋2＋2
＝4＋1－2＋2＋2
＝7.
（4）（ɑ＋b）2－（ɑ－b）2.
解：解法一：用完全平方公式计算
原式＝（ɑ2b＋2ɑb＋b2ɑ）－（ɑ2b－2ɑb＋b2ɑ）
＝4ɑb.
解法二：用平方差公式计算
原式＝［（ɑ＋b）＋（ɑ－b）］［（ɑ＋b）－（ɑ－b）］
＝2ɑ 2b
＝4ɑb.
@拓展素养训练
15.阅读理解问题先阅读，后解答：
＝＝，
＝＝＝3＋.
像上述解题过程中，与相乘、（－）与（＋）相乘，积不含有二次根式，我们可将这样的两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化.
（1）的有理化因式是　　，＋4的有理化因式是　－4　；
（2）计算：＋＋＋…＋.
解：（2）原式＝＋＋
＋…＋
＝－1＋－＋－＋…＋－
＝－1
＝45－1
＝44.19.3　二次根式的加法与减法
第1课时　二次根式的加减
@学霸笔记
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成 ，再将 相同的二次根式进行合并.
@基础分点训练
　可以合并的二次根式
1.（2025 兰州校级期中）下列二次根式中，与不是同类二次根式的是（ 　）
A.　　B.　　C.　　D.
2.下列各组二次根式中，可以进行合并的一组是（ 　）
A.与　　B.与
C.与　　D.－与
3.若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（ 　）
A.－　　B.　　C.2　　D.5
　二次根式的加减
4.计算：－＝（ 　）
A.　　B.2　　C.3　　D.4
5.下列运算正确的是（ 　）
A.＋＝　　B.2＋＝2
C.3－＝3　　D.3－＝2
6.计算：－＝ .
7.变式题计算：
（1）－＋；
（2）＋－；
（3）＋－；
（4）｜－｜－＋（2＋3）.
@中档提分升训练
8.下列各式中，运算正确的是（ 　）
A.－＝2　　B.－＝
C.2＋＝2　　D.－＝3
9.若的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值是（　 　）
A.3－3　　B.
C.1　　D.3
10.计算－的结果是 .
11.分类讨论思想若等腰三角形的两边长分别为2和3，则此等腰三角形的周长为 .
12.数形结合思想如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点B，点A表示的数为－，设点B所表示的数为m，则｜m－1｜＋（m＋）2＝ .
13.计算：
（1）－＋2＋｜－2｜；
（2）－3＋10－；
（3）－；
（4）－.
14.先化简，再求值：－6＋2x，其中x＝4.
15.已知≈1.732，求－＋2的近似值.（结果保留小数点后两位）
@拓展素养训练
16.运算能力已知ɑ＋b＝－8，ɑb＝12.求＋的值.
第2课时　二次根式的混合运算
@基础分点训练
　二次根式的混合运算
1.化简（＋2）的结果是（　 　）
A.2＋2　　B.2＋
C.4　　D.3
2.计算×－的结果是（　 　）
A.7　　B.6　　
C.7　　D.2
3.计算：（－3）÷＝ .
4.变式题计算：
（1）（2025 甘肃）－×；
（2）－÷；
（3）（＋2）（＋3）.
　乘法公式在二次根式混合运算中的应用
5.（2025 河北）计算：（＋） （－）＝（　 　）
A.2　　B.4　　C.6　　D.8
6.已知ɑ＝＋2，b＝－2，则ɑ＋b＝ ，ɑb＝ .
7.若ɑ－b＝2－1，ɑb＝，则（ɑ＋1）（b－1）的值是 .
8.计算：（2－）2＝ .
9.应用意识已知一个长方形的长为（2＋3） cm，宽为（2－3） cm，则该长方形的面积为 cm2.
10.变式题已知x＝＋1，y＝－1.求下列各式的值：
（1）x2－2xy＋y2；
（2）x2－y2.
@中档提分升训练
11.已知m＝1＋，n＝1－，则代数式的值为（　 　）
A.10　　B.　　C.±10　　D.4
12.程序计算题按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出结果是（　 　）
A.14　　B.16
C.8＋5　　D.14＋
13.计算：（－3）2 026 （＋3）2 025＝ .
14.计算：
（1）（2024 甘肃）－×；
（2）（2＋7）（7－2）；
（3）÷＋（1－）2＋；
（4）（ɑ＋b）2－（ɑ－b）2.
@拓展素养训练
15.阅读理解问题先阅读，后解答：
＝＝，
＝＝＝3＋.
像上述解题过程中，与相乘、（－）与（＋）相乘，积不含有二次根式，我们可将这样的两个式子称为互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化.
（1）的有理化因式是 ，＋4的有理化因式是 ；
（2）计算：＋＋＋…＋.

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