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22.2　函数的表示
第1课时　函数图象的意义及其画法
@学霸笔记
1.由函数的解析式画其函数图象的一般步骤是：
①　列表　；②　描点　；③　连线　.
2.一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对　对应值　分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的　图象　.
@基础分点训练
　函数图象的画法
1.在平面直角坐标系中，画出函数y＝2x的图象.
解：列表如下：
x … －1 0 1 …
y … －2 0 2 …
描点、连线，画出函数y＝2x的图象如图所示.
　函数图象的意义
2.下列图象中，不能表示y是x的函数的是（　C　）
　 　　　　
A　　　　B　　C　　D
3.依依放学后以一定速度匀速步行回家，她在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与步行时间之间的关系的是（　C　）
A　　B
C　　D
4.变式题如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.从图象中可知这天的温差是　11　℃.
5.生活应用宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义.运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（单位：小时），两车之间的距离为y（单位：千米），如图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：
（1）西宁与西安相距　1 260　千米，两车出发后　3　小时相遇；
（2）普通列车到达终点共需　14　小时，它的速度是　90　千米/小时；
（3）求动车的速度.
解：（3）∵两车出发后3小时相遇，
∴两车速度和为1 260÷3＝420（千米/小时）.
∴420－90＝330（千米/小时）.
答：动车的速度为330千米/小时.
@中档提分升训练
6.（2025 成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正确的是（　C　）
A.小明家到体育馆的距离为2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C.小明家到书店的距离为1 km
D.小明从书店到家步行的时间为40 min
7.将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：min）的函数图象大致是（　B　）
A　　B
C　　D
8.生活应用荡秋千时，秋千离地面的高度h（单位：m）与摆动时间t（单位：s）之间的关系如图所示.
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数；
（2）结合图象回答：
①当t＝0.7 s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
解：（1）由图象，知对于每一个摆动时间t，h都有唯一确定的值与其对应.
∴变量h是关于t的函数.
（2）①由图象，知当t＝0.7 s时，h＝0.5 m.
它的实际意义是秋千摆动0.7 s时，秋千离地面的高度是0.5 m.
②由图象，知秋千摆动第一个来回需2.8 s.
第2课时　函数的三种表示方法
@基础分点训练
　解析式法
1.正方形的边长为4，若边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（　C　）
A.y＝x2＋16　　B.y＝（x＋4）2
C.y＝x2＋8x　　D.y＝16－4x2
2.一辆轿车油箱中存油50升，轿车行驶时平均每小时耗油8升，则这辆轿车的油箱中剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式是　Q＝－8t＋50（0≤t≤6.25）　.
3.校园里栽下一棵高度为1.8米的小树，以后平均每年长高0.3米，则n年后这棵树的高度L与年数n之间的函数解析式为　L＝0.3n＋1.8　.
　列表法
4.某人购进一批大庙香水梨到市场上零售，已知卖出香水梨的质量x与售价y的关系如下表：
质量x/千克 1 2 3 4 5
售价y/元 20 40 60 80 100
写出用x表示y的解析式：　y＝20x　.
5.小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值.
所挂物体质量x/kɡ 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 30 32 34 36 38 40
（1）上表所反映的变化过程中，　所挂物体质量　是自变量，　弹簧的长度　是自变量的函数；
（2）直接写出y与x之间的函数解析式；
（3）当弹簧长度为130 cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂物体的质量.
解：（2）由表格，知当所挂物体质量为1 kɡ时，弹簧长32 cm；当不挂物体时，弹簧长30 cm.
∴y与x之间的函数解析式为y＝2x＋30（x≥0）.
（3）当弹簧的长度为130 cm（在弹簧承受范围内）时，则有130＝2x＋30，解得x＝50.
答：所挂物体的质量为50 kɡ.
　图象法
6.周末，小明在黄河湿地公园匀速骑行游玩，沿直线骑行前进了800米，停车欣赏了一下迷人的风景，又原路返回了600米，再前进了1 000米，在这个过程中，他离起点的距离s与时间t的关系示意图是（　C　）
A　　B
C　　D
7.如图，货车匀速通过隧道，隧道长大于货车长，从货车进入隧道开始，货车在隧道内的长度y与行驶的时间x之间的关系用图象描述大致是（　A　）
A　　B
C　　D
@中档提分升训练
8.跨学科融合我国首辆火星车正式被命名为“祝融号”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K（单位：W/m K）与温度T（单位：℃）的关系如表，下列选项描述不正确的是（　C　）
温度T（℃） 100 150 200 250
导热率K（W/m K） 0.15 0.2 0.25 0.3
A.在这个变化过程中，自变量是温度，自变量的函数是导热率
B.在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高
C.当温度为350℃时，该材料导热率为0.35 W/m K
D.温度每升高10℃，该材料导热率增加0.01 W/m K
9.在一块长30 m，宽20 m的长方形地面上修建一个正方形花坛.设正方形的边长为x m，除去正方形花坛后，长方形地面的剩余面积为y m2.
（1）用函数解析式表示y与x的关系，并写出自变量的取值范围；
（2）用表格表示y与x的关系；（填写下表）
x 5 10 15 20
y 575 500 375 200
（3）用图象表示y与x的关系.（在图中画出函数的图象）
解：（1）根据题意，得y与x之间的函数解析式为y＝20×30－x2＝600－x2.
∵x是正方形的边长，
∴自变量x的取值范围是0＜x≤20.
（3）y与x的关系用图象表示如图所示.
10.跨学科融合声音在空气中传播的速度（简称“声速”）v（单位：m/s）和气温T（单位：℃）之间有下表中的关系：
T（℃） 0 5 10 15 20
v（m/s） 331 334 337 340 343
（1）上表反映了　气温与声速　之间的关系，其中　气温　是自变量，　声速　是气温的函数；
（2）随着T的增大，v将发生怎样的变化？
（3）根据表中数据的变化，你发现了什么规律？试写出v与T之间的函数解析式；（不需要写自变量的取值范围）
（4）根据你发现的规律，回答：在气温为30℃的某个夏夜，小明在看到闪电6 s后听到雷声，那么发生打雷的地方距小明大约有多远？（光传播的时间可忽略不计）
解：（2）随着T的增大，v也逐渐增大.
（3）∵气温为0℃时，声速为331 m/s，气温每升高5℃，声速增大3 m/s.
∴v与T之间的函数解析式为v＝331＋T.
（4）∵气温为30℃时的声速为331＋×30＝349（m/s），
∴349×6＝2 094（m）.
答：发生打雷的地方距小明大约有2 094 m.
教材回归(六)　利面数的图象解决实际问率
已知刘伟家、体育场、文具店在同一直线上.下面的图象反映的过程是：刘伟从家跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后散步走回家.图中x表示时间，y表示刘伟离家的距离.
根据图象回答下列问题：
（1）体育场离刘伟家多远？刘伟从家到体育场用了多少时间？
（2）体育场离文具店多远？
（3）刘伟在文具店停留了多少时间？
（4）刘伟从文具店回家的平均速度是多少？
解：（1）体育场离刘伟家2.5 km，刘伟从家到体育场用了15 min.
（2）体育场离文具店2.5－1.5＝1（km）.
（3）刘伟在文具店停留了65－45＝20（min）.
（4）刘伟从文具店回家的平均速度是
1.5÷（100－65）＝（km/min）.
【针对训练】
1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温会随时间的变化而发生较大的变化，如图所示，下列说法错误的是（　C　）
A.一天中，8时到24时骆驼体温的变化范围是37℃到40℃
B.点A表示的是12时骆驼的体温是39℃
C.0时到16时骆驼的体温一直上升
D.骆驼第一天12时体温与次日12时和20时的体温相同
2.已知A，B两地相距400 km，某人驾车从A地到B地，途中加油一次.已知油箱中剩余油量y（单位：L）与行驶路程x（单位：km）之间的关系如图所示，假设汽车每100 km耗油量保持不变，以下说法错误的是（　B　）
A.出发时油箱中有20 L油
B.途中加油30 L
C.该汽车每100 km耗油7.5 L
D.汽车到达B地时油箱中还剩油15 L
3.周末，小明骑共享单车从家里出发去博物馆参观，途中突然发现钥匙不见了，于是原路返回，在刚才等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往博物馆.设小明从家里出发到博物馆所用的时间为x（单位：分钟），离家的距离为y（单位：米），且x与y的关系如图所示.
请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）图中的自变量是　x　，　y　是　x　的函数；
（2）小明等待红绿灯花了　2　分钟；
（3）小明家离博物馆　1 500　米；
（4）小明在　12～13分钟　时间段的骑行速度最快，最快速度是　240　米/分钟.22.2　函数的表示
第1课时　函数图象的意义及其画法
@学霸笔记
1.由函数的解析式画其函数图象的一般步骤是：
① ；② ；③ .
2.一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对 分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 .
@基础分点训练
　函数图象的画法
1.在平面直角坐标系中，画出函数y＝2x的图象.
　函数图象的意义
2.下列图象中，不能表示y是x的函数的是（　 　）
　 　　　　
A　　　　B　　C　　D
3.依依放学后以一定速度匀速步行回家，她在路上遇到了同学钟钟，两人停下来聊了一会儿，然后依依提高了速度继续匀速步行回家，下列图象能表示依依放学回家的行程中，所剩路程与步行时间之间的关系的是（　 　）
A　　B
C　　D
4.变式题如图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化.从图象中可知这天的温差是 ℃.
5.生活应用宝兰客专是首条贯通丝绸之路经济带的高铁线，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”国家和地区的经贸合作，人文交流具有十分重要的意义.运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（单位：小时），两车之间的距离为y（单位：千米），如图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象，解答下列问题：
（1）西宁与西安相距 千米，两车出发后 小时相遇；
（2）普通列车到达终点共需 小时，它的速度是 千米/小时；
（3）求动车的速度.
@中档提分升训练
6.（2025 成都）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系.下列说法正确的是（　 　）
A.小明家到体育馆的距离为2 km
B.小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C.小明家到书店的距离为1 km
D.小明从书店到家步行的时间为40 min
7.将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：min）的函数图象大致是（　 　）
A　　B
C　　D
8.生活应用荡秋千时，秋千离地面的高度h（单位：m）与摆动时间t（单位：s）之间的关系如图所示.
（1）根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数；
（2）结合图象回答：
①当t＝0.7 s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；
②秋千摆动第一个来回需多少时间？
第2课时　函数的三种表示方法
@基础分点训练
　解析式法
1.正方形的边长为4，若边长增加x，面积增加y，则y关于x的函数解析式为（　 　）
A.y＝x2＋16　　B.y＝（x＋4）2
C.y＝x2＋8x　　D.y＝16－4x2
2.一辆轿车油箱中存油50升，轿车行驶时平均每小时耗油8升，则这辆轿车的油箱中剩余油量Q（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式是 .
3.校园里栽下一棵高度为1.8米的小树，以后平均每年长高0.3米，则n年后这棵树的高度L与年数n之间的函数解析式为 .
　列表法
4.某人购进一批大庙香水梨到市场上零售，已知卖出香水梨的质量x与售价y的关系如下表：
质量x/千克 1 2 3 4 5
售价y/元 20 40 60 80 100
写出用x表示y的解析式： .
5.小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值.
所挂物体质量x/kɡ 0 1 2 3 4 5
弹簧的长度y/cm 30 32 34 36 38 40
（1）上表所反映的变化过程中， 是自变量， 是自变量的函数；
（2）直接写出y与x之间的函数解析式；
（3）当弹簧长度为130 cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂物体的质量.
　图象法
6.周末，小明在黄河湿地公园匀速骑行游玩，沿直线骑行前进了800米，停车欣赏了一下迷人的风景，又原路返回了600米，再前进了1 000米，在这个过程中，他离起点的距离s与时间t的关系示意图是（　 　）
A　　B
C　　D
7.如图，货车匀速通过隧道，隧道长大于货车长，从货车进入隧道开始，货车在隧道内的长度y与行驶的时间x之间的关系用图象描述大致是（　 　）
A　　B
C　　D
@中档提分升训练
8.跨学科融合我国首辆火星车正式被命名为“祝融号”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率K（单位：W/m K）与温度T（单位：℃）的关系如表，下列选项描述不正确的是（　 　）
温度T（℃） 100 150 200 250
导热率K（W/m K） 0.15 0.2 0.25 0.3
A.在这个变化过程中，自变量是温度，自变量的函数是导热率
B.在一定温度范围内，温度越高，该材料导热率越高
C.当温度为350℃时，该材料导热率为0.35 W/m K
D.温度每升高10℃，该材料导热率增加0.01 W/m K
9.在一块长30 m，宽20 m的长方形地面上修建一个正方形花坛.设正方形的边长为x m，除去正方形花坛后，长方形地面的剩余面积为y m2.
（1）用函数解析式表示y与x的关系，并写出自变量的取值范围；
（2）用表格表示y与x的关系；（填写下表）
x 5 10 15 20
y
（3）用图象表示y与x的关系.（在图中画出函数的图象）
10.跨学科融合声音在空气中传播的速度（简称“声速”）v（单位：m/s）和气温T（单位：℃）之间有下表中的关系：
T（℃） 0 5 10 15 20
v（m/s） 331 334 337 340 343
（1）上表反映了 之间的关系，其中 是自变量， 是气温的函数；
（2）随着T的增大，v将发生怎样的变化？
（3）根据表中数据的变化，你发现了什么规律？试写出v与T之间的函数解析式；（不需要写自变量的取值范围）
（4）根据你发现的规律，回答：在气温为30℃的某个夏夜，小明在看到闪电6 s后听到雷声，那么发生打雷的地方距小明大约有多远？（光传播的时间可忽略不计）
教材回归(六)　利面数的图象解决实际问率
已知刘伟家、体育场、文具店在同一直线上.下面的图象反映的过程是：刘伟从家跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后又走到文具店去买笔，然后散步走回家.图中x表示时间，y表示刘伟离家的距离.
根据图象回答下列问题：
（1）体育场离刘伟家多远？刘伟从家到体育场用了多少时间？
（2）体育场离文具店多远？
（3）刘伟在文具店停留了多少时间？
（4）刘伟从文具店回家的平均速度是多少？
【针对训练】
1.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温会随时间的变化而发生较大的变化，如图所示，下列说法错误的是（　 　）
A.一天中，8时到24时骆驼体温的变化范围是37℃到40℃
B.点A表示的是12时骆驼的体温是39℃
C.0时到16时骆驼的体温一直上升
D.骆驼第一天12时体温与次日12时和20时的体温相同
2.已知A，B两地相距400 km，某人驾车从A地到B地，途中加油一次.已知油箱中剩余油量y（单位：L）与行驶路程x（单位：km）之间的关系如图所示，假设汽车每100 km耗油量保持不变，以下说法错误的是（　 　）
A.出发时油箱中有20 L油
B.途中加油30 L
C.该汽车每100 km耗油7.5 L
D.汽车到达B地时油箱中还剩油15 L
3.周末，小明骑共享单车从家里出发去博物馆参观，途中突然发现钥匙不见了，于是原路返回，在刚才等红绿灯的路口找到了钥匙，便继续前往博物馆.设小明从家里出发到博物馆所用的时间为x（单位：分钟），离家的距离为y（单位：米），且x与y的关系如图所示.
请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）图中的自变量是 ， 是 的函数；
（2）小明等待红绿灯花了 分钟；
（3）小明家离博物馆 米；
（4）小明在 时间段的骑行速度最快，最快速度是 米/分钟.

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