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专题训练（二）二次根式运算中的易错点
　混淆运算律与法则
1.计算：
（1）3÷×；
解：原式＝3××
＝1.
（2）÷；
解：原式＝÷
＝÷
＝.
（3）×2－×＋÷2.
解：原式＝4×2－＋
＝8.
　计算结果未化简
2.计算：
（1）－4＋÷；
解：原式＝3－2＋
＝3－2＋2
＝3.
（2）＋－（＋）；
解：原式＝2＋－－
＝2＋－.
（3）－－＋（－2）0＋
.
解：原式＝3－－1－＋1＋－1
＝－1.
　未先化简而直接代入求值
3.已知x＝，y＝，则代数式x2－3xy＋y2的值为　95　.
4.先化简，再求值：x（－x）＋（x＋）（x－），其中x＝－.
解：原式＝x－x2＋x2－5
＝x－5.
当x＝－时，
原式＝（－）－5
＝6－2－5
＝1－2.
　未注意隐含条件
5.如果y＝＋1 013成立，则xy＝　2 026　.
6.化简：－（）2.
解：观察原式，得＝＝｜2x－1｜，（）2＝2x－3.∵2x－3≥0，
∴x≥.∴2x－1＞0.
∴原式＝｜2x－1｜－（2x－3）
＝2x－1－2x＋3
＝2.
易错点①
易错点②
易错点③
易错点④专题训练（七)　函数图象信息题
　根据实际问题判断函数图象
1.苹果熟了，从树上落下来.下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　C　）
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
2.跨学科融合新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点.用S1，S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　C　）
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
3.古代工具“漏壶”是一种中国古代计时器（如图）.在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度.下列图象适合表示y与x的对应关系的是（　A　）
A　　　　B
C　　　　D
4.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）.这个容器的形状是下图中的哪一个？匀速地向另两个容器注水时，你能画出水面高度h随时间t变化的图象（草图）吗？
解：从图象可以看出，OA段上升较快，AB段上升较慢，BC段上升最快.再观察三个容器均分别由三个粗细不等的圆柱组成，得到题中图象表示的容器的形状是图3.图3容器下面容积较大，中间容积最大，上面容积最小，符合水面高度h随时间t的变化规律.
图1对应的图象如解图1所示.
图2对应的图象如解图2所示.
解图1　　　
解图2
　根据函数图象分析实际问题
5.小明和弟弟周末去图书馆.二人先后从家出发沿同一条路匀速去往图书馆，小明用10 min到达图书馆，弟弟比他早出发2 min，但是在小明到达时弟弟还距离图书馆30 m.设小明和弟弟所走的路程分别为y1，y2，其中y1，y2与时间x之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（　A　）
①小明家与图书馆之间的距离为750 m；
②当小明出发时，弟弟已经离家120 m；
③小明每分钟比弟弟多走10 m；
④小明出发7 min后追上弟弟.
A.①②　B.①③　C.②③　D.①②④
6.跨学科融合把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）.下列结论中错误的是（　C　）
A.当P＝440 W时，I＝2 A
B.Q随I的增大而增大
C.I每增加1 A，Q的增加量相同
D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
　函数图象中的动点问题
7.如图，在△ABC中，点P是边BC上一点，点P从点B出发沿BC向点C运动，到达点C时停止.若BP＝x，图中阴影部分面积为S，则下图中可以近似地刻画出S与x之间关系的是（　C　）
A　　B
C　　D
8.如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示△PAD的面积y关于x的函数关系的图象大致是（　D　）
A　　B
C　　D
9.如图，已知 ABCD的面积为4，点P在边AB上从左向右运动（不含端点）.设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　B　）
A　　B
C　　D专题训练（三） 二次根式运算中的类比归纳思想
　规律探究型
1.观察下列各式：
S1＝＝1＋；
S2＝＝1＋；
S3＝＝1＋；
…
请利用你所发现的规律，计算：S1＋S2＋…＋S50＝ .
2.观察下列等式：
第1个等式：＝；
第2个等式：＝；
第3个等式：＝；
　　　　　　　　　…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第4个等式；
（2）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明.
　阅读理解型
3.阅读材料：
　　小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2.善于思考的小明进行了以下探索：
设ɑ＋b＝（m＋n）2（其中ɑ，b，m，n均为整数），则有ɑ＋b＝m2＋2n2＋2mn.所以ɑ＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把形如ɑ＋b的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当ɑ，b，m，n均为正整数时，若ɑ＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示ɑ，b，得ɑ＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，请找一组正整数ɑ，b，m，n填空： ＋ ＝（ ＋ ）2；
（3）若ɑ－6＝（m－n）2且ɑ，m，n均为正整数，求ɑ的值.专题训练（四)　利用勾股定理求最短路径问题
　平面上的最短路径问题
1.节约资源如图，两个村庄A，B在河CD的同侧，A，B两村到河的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km，CD＝3 km.现要在河边CD上建造一水厂，向A，B两村输送自来水.铺设水管的工程费用为每千米20 000元.请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的总费用最少，并求出铺设水管的总费用.
解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于点O，则点O即为所求水厂位置.此时铺设水管的总费用最少.
过点A′作BD的垂线，交BD的延长线于点F.
根据题意，得DF＝CA′＝AC＝1 km，A′F＝CD＝3 km，
则BF＝BD＋DF＝3＋1＝4（km）.
在Rt△BA′F中，根据勾股定理，得
BA′＝＝＝5（km）.
即水管长度为OA＋OB＝BA′＝5 km.
∴铺设水管的总费用＝20 000×5＝100 000（元）.
即铺设水管的总费用为100 000元.
　立体图形中的最短路径问题
立体图形中最短路径基本模型如下：
图例
圆柱
长方体、正方体
阶梯问题
基本 思路 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解
题型1　圆柱中的最短路径问题
2.如图，有一个圆柱形储油罐，要以A点为起点环绕油罐侧面建梯子，正好到达A点正上方的B点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是12米，高8米）　4　米.
3.如图，圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行.从点A爬到点B的最短路程约是多少厘米？（结果保留小数点后一位）
题图　　　
解：如解图，画出圆柱的侧面展开图.
解图
∵圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm，
∴AD＝6π cm，BD＝10 cm.
∴AB＝＝＝≈21.3（cm）.
答：从点A爬到点B的最短路程约是21.3 cm.
4.如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯外离杯底4 cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4 cm的点A处.
（1）求蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离；
解：（1）将圆柱形玻璃杯的示意图沿侧面展开，如解图1，过点C作CD⊥AD，垂足为D.
根据题意，得CD＝×18＝9（cm），
AD＝12－4－4＝4（cm）.
在Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AC＝＝＝（cm）.
答：蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为 cm.
（2）若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4 cm的点C处，其他条件不变，请你求出此时蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离.
　　
解图1　　　　　解图2
解：（2）将圆柱形玻璃杯的示意图沿侧面展开，如解图2，作点A关于EQ的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离.
则DQ＝A′E＝AE＝4 cm，A′D＝×18＝9（cm），
CQ＝12－4＝8（cm）.
∴CD＝CQ＋DQ＝8＋4＝12（cm）.
在Rt△A′DC中，根据勾股定理，得
A′C＝＝＝15（cm）.
答：蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为15 cm.
题型2　长方体、正方体中的最短路径问题
5.如图是一个长方体，AB＝3，BC＝5，AF＝6，要在长方体上系一根绳子连接AG，绳子与DE交于点P，则所用绳子的长度最短为（　A　）
A.10 B. C.8 D.
【解析】如图是将长方体的右侧面展开的示意图，与上表面在同一平面内，连接AG，交DE于点P，此时所用绳子的长度最短.
根据题意，得AD＝BC＝5，DC＝AB＝3，CG＝AF＝6，
∴AC＝AD＋DC＝5＋3＝8.
在Rt△ACG中，AG＝＝＝10.
6.如图，一个3×3的魔方放在桌子上，该魔方每一个小方格的边长都为1 cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2 cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的点B，最少要用　2.5　秒.
题型3　阶梯中的最短路径问题
7.如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点.A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程为　25　dm.
教材回归(三)　方程思想在勾股定理中的应用,
一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？（此题出自《九章算术》，其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺.）
解：设折断处离地面的高度为x尺，则斜边为（10－x）尺.
根据勾股定理，得x2＋32
＝（10－x）2，
解得x＝4.55.
答：折断处离地面的高度是4.55尺.
【针对训练】
　利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系
1.求下列直角三角形中未知的边长.
图1　　　　　　　　图2
解：如图1，设AC＝x（x＞0）.
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2x.
∵AB2＝AC2＋BC2，∴（2x）2＝x2＋32.
∴x＝或x＝－（负值舍去）.
∴AC＝，AB＝2.
如图2，设AC＝x.
∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴BC＝AC＝x.
∵AB2＝AC2＋BC2，∴x2＋x2＝（3）2.
∴x＝3或x＝－3（负值舍去）.
∴AC＝BC＝3.
　共高的双直角三角形中边的数量关系
　　　　
　　AB2－BD2＝
AC2－CD2　　　　
AC2－CD2＝
AB2－BD2
2.如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积.
解：如图，过点A作AD⊥BC交BC于点D.
设BD＝x，则CD＝14－x.
根据勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－（14－x）2.
∴152－x2＝132－（14－x）2，解得x＝9.
∴AD＝＝12.
∴S△ABC＝BC AD＝×14×12＝84.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高.求线段AD的长.
解：设AD＝x，则BD＝5＋x.
∵CD⊥AB，∴∠D＝90°.
∴CD2＝BC2－BD2＝AC2－AD2.
∴82－（5＋x）2＝52－x2，解得x＝.
∴线段AD的长为.
　利用图形的折叠找两边的数量关系
4.如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处.已知AB＝6，△ABF的面积是24，则CF的长为（　B　）
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（　D　）
A.　　B.2　　C.　　D.
6.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（　A　）
A.　　B.　　
C.　　D.
7.如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为　4　.
　利用勾股定理和方程思想求点的坐标
8.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求B，D，E三点的坐标.
解：∵四边形OABC是长方形，
∴BC＝AO＝10，AB＝OC＝8，∠B＝∠OCB＝90°.
∴点B的坐标为（10，8）.
根据题意，得折痕AD是四边形OAED的对称轴.
在Rt△ABE中，AE＝AO＝10.
∴BE＝＝＝6.
∴CE＝BC－BE＝4.
∴点E的坐标为（4，8）.
在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2.
∵DE＝OD，
∴（8－OD）2＋42＝OD2.
∴OD＝5.
∴点D的坐标为（0，5）.专题训练(九)　一次函数与坐标轴围成的三角形
　由一次函数的图象求三角形的面积
1.如图，点A（－3，4）在一次函数y＝－3x－5的图象上，图象与y轴的交点为点B.
（1）求直线OA的函数解析式；
（2）求△AOB的面积.
2.如图，已知直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝－x＋7，直线l1，l2分别交x轴于点B，点C，两直线相交于点A.
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积.
　由三角形的面积求一次函数的解析式
3.如图，过点A（3，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，点C，其中点B在原点O的上方，点C在原点O的下方，已知AB＝5.
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为9，求直线l2的函数解析式.
. B与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A的纵坐标，点B的横坐标如图所示.
（1）求直线AB的解析式；
（2）在直线AB上，是否存在点P，使得△AOP的面积为1？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标.
类型
3
B
2
A
B
0
C
X
类型
y
B
2
0
A
X
C
A
2
B
0
4
X专题训练（四)　利用勾股定理求最短路径问题
　平面上的最短路径问题
1.节约资源如图，两个村庄A，B在河CD的同侧，A，B两村到河的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km，CD＝3 km.现要在河边CD上建造一水厂，向A，B两村输送自来水.铺设水管的工程费用为每千米20 000元.请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设水管的总费用最少，并求出铺设水管的总费用.
　立体图形中的最短路径问题
立体图形中最短路径基本模型如下：
图例
圆柱
长方体、正方体
阶梯问题
基本 思路 将立体图形展开成平面图形→利用“两点之间，线段最短”确定最短路线→构造直角三角形→利用勾股定理求解
题型1　圆柱中的最短路径问题
2.如图，有一个圆柱形储油罐，要以A点为起点环绕油罐侧面建梯子，正好到达A点正上方的B点，则梯子最短需要（已知油罐底面周长是12米，高8米） 米.
3.如图，圆柱的底面半径为6 cm，高为10 cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行.从点A爬到点B的最短路程约是多少厘米？（结果保留小数点后一位）
题图　　　
4.如图，圆柱形玻璃杯高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯外离杯底4 cm的点C处有一些蜂蜜，此时一只蚂蚁正好也在杯外壁，离杯上沿4 cm的点A处.
（1）求蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离；
（2）若将蜂蜜的位置改为在杯内离杯底4 cm的点C处，其他条件不变，请你求出此时蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离.
　　
题型2　长方体、正方体中的最短路径问题
5.如图是一个长方体，AB＝3，BC＝5，AF＝6，要在长方体上系一根绳子连接AG，绳子与DE交于点P，则所用绳子的长度最短为（　 　）
A.10 B. C.8 D.
6.如图，一个3×3的魔方放在桌子上，该魔方每一个小方格的边长都为1 cm.假设一只蚂蚁每秒爬行2 cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的点B，最少要用 秒.
题型3　阶梯中的最短路径问题
7.如图，有一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点.A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程为 dm.
教材回归(三) 方程思想在勾股定理中的应用,
一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处.折断处离地面的高度是多少？（此题出自《九章算术》，其中的丈、尺是长度单位，1丈＝10尺.）
【针对训练】
　利用直角三角形中的特殊角揭示两边的数量关系
1.求下列直角三角形中未知的边长.
图1　　　　　　　　图2
　共高的双直角三角形中边的数量关系
　　　　
　　AB2－BD2＝
AC2－CD2　　　　
AC2－CD2＝
AB2－BD2
2.如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积.
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高.求线段AD的长.
　利用图形的折叠找两边的数量关系
4.如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处.已知AB＝6，△ABF的面积是24，则CF的长为（　 　）
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为（　 　）
A.　　B.2　　C.　　D.
6.如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3.沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（　 　）
A.　　B.　　
C.　　D.
7.如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 .
　利用勾股定理和方程思想求点的坐标
8.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求B，D，E三点的坐标.专题训练（六)中点四边形
1.如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.则下列说法：
①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.
其中正确的个数是（　 　）
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
2.如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE.若EH＝3EF，则下列结论正确的是（　 　）
A.AB＝EF　　B.AB＝2EF
C.AB＝3EF　　D.AB＝EF
3.如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则EG2＋FH2的值为（　 　）
A.64 B.18
C.36 D.48
4.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝6，BD＝8，则四边形EFGH的面积是 .
5.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？
解图1　　　　　　解图2
教材回归（五)　平行四边形及特殊的平行四边形中的折叠问题,
如果你身旁没有量角器或三角尺，又需要作如如果你身旁没有量角器或三角尺，又需要作30°的角，可以采用下面的方法（如图所示）：
（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平.
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM.同时得到了线段BN，把纸片展平.
由此得到∠ABM，∠MBN和∠NBC都是30°，请你写出证明过程.
【针对训练】
　平行四边形的折叠
1.如图，在 ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（　 　）
A.12　　B.15　　C.18　　D.21
　矩形的折叠
2.如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处.若∠DBC＝24°，则∠A′EB等于（　 　）
A.66°　　B.60°　　C.57°　　D.48°
　菱形的折叠
3.如图，将一张菱形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF＝4，EH＝3，则AB＝ .
　正方形的折叠
4.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边BC上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是（　 　）
A.3
B.4
C.5
D.6专题训练（五)　平行四边形的证明思路
　利用边的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【针对训练】
1.如图，在 ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且AE＝CG，BF＝DH.求证：四边形EFGH是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD.
∵BF＝DH，
∴AB－BF＝CD－DH，即AF＝CH.
又∵AE＝CG，
∴△AEF≌△CGH（SAS）.
∴EF＝GH.
同理，得△BGF≌△DEH.
∴FG＝HE.
∴四边形EFGH是平行四边形.
2.如图，点B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE＝BD，BE＝CD.
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四边形.
证明：（1）∵点B是AC的中点，∴AB＝BC.
在△ABE和△BCD中，
∴△ABE≌△BCD（SSS）.
（2）如图，连接DE.
根据（1），得△ABE≌△BCD.
∴∠ABE＝∠BCD.∴BE∥CD.
∵BE＝CD，∴四边形BCDE为平行四边形.
3.如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF.求证：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四边形DBCF是平行四边形.
证明：（1）∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE.
在△CEF和△AED中，
∴△CEF≌△AED（SAS）.
（2）根据（1），得△CEF≌△AED.
∴∠FCE＝∠A.
∴BA∥CF.
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DF∥BC.
∴四边形DBCF是平行四边形.
　利用角的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明.
【针对训练】
4.如图，在 ABCD中，∠ABC和∠ADC的平分线分别交边CD，AB于点F，E.求证：
（1）∠1＝∠2；
（2）四边形DEBF是平行四边形.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC.
又∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1＝∠ADC，∠2＝∠ABC.
∴∠1＝∠2.
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC，∠A＝∠C.
根据（1），得∠1＝∠2.
∴∠CDE＝∠ABF.
∵∠DEB＝∠A＋∠1，∠BFD＝∠C＋∠2，
∴∠DEB＝∠BFD.
又∵∠CDE＝∠ABF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
　利用对角线的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明.
【针对训练】
5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点.求证：BE＝DF.
证明：如图，连接BF，DE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵点E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC.
∴OE＝OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
∴BE＝DF.
6.如图，在 ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵点O是AC的中点，
∴OA＝OC.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF（ASA）.
∴OE＝OF.
同理，得OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形.专题训练（八）　求一次函数解析式的几种类型
1.上下平移：上加下减
（1）直线y＝kx＋b向上平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的解析式为y＝kx＋b＋h；
（2）直线y＝kx＋b向下平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的解析式为y＝kx＋b－h.
2.左右平移：左加右减
（1）直线y＝kx＋b向左平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的解析式为y＝k（x＋h）＋b；
（2）直线y＝kx＋b向右平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的解析式为y＝k（x－h）＋b.
3.直线y＝kx＋b关于x轴对称的直线解析式为y＝－kx－b.
4.直线y＝kx＋b关于y轴对称的直线解析式为y＝－kx＋b.
　根据两点坐标求一次函数的解析式
1.已知一次函数的图象过点（－2，0）和点（0，4），求这个一次函数的解析式.
　根据正比例关系求一次函数的解析式
2.已知y－3与4x－2成正比例，且当x＝1时，y＝5.求y与x之间的函数解析式.
　借用面积求一次函数的解析式
3.如图，已知函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8，求该函数的解析式.
　根据平移求一次函数的解析式
4.（1）将直线y＝2x＋5向上平移2个单位长度，所得直线的解析式为 ；
（2）将直线y＝2x＋5向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为 ；
（3）将直线y＝2x＋5向左平移1个单位长度，所得直线的解析式为 ；
（4）将直线y＝2x＋5向右平移1个单位长度，所得直线的解析式为 .
5.在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋1（k≠0）的图象经过点A（1，3）.
（1）求k的值；
（2）若将这个一次函数的图象向上平移2个单位长度，求平移后的函数图象与y轴的交点坐标.
6.如图，已知一条直线经过点A（0，3），点B（2，0），将这条直线向左平移，与x轴，y轴分别交于点C，点D.若DB＝DC，求直线CD的解析式.
　根据对称求一次函数的解析式
7.如图，已知一次函数y＝x＋3的图象分别与x轴，y轴交于点A，点B，点C与点A关于y轴对称.求直线BC的解析式.
8.（1）求直线y＝－2x＋4关于x轴对称的直线解析式，关于y轴对称的直线解析式；
（2）试猜想直线y＝kx＋b关于x轴对称和关于y轴对称的直线解析式.
　利用两直线互相垂直求解析式
直线l1：y1＝k1x＋b1（k1≠0）与直线l2：y2＝k2x＋b2（k2≠0）互相垂直 k1k2＝－1.
9.已知函数图象如图所示.
（1）证明：直线y＝－0.5x＋1与直线y＝2x－1互相垂直；
（2）应用：①已知直线y＝4x＋1与直线y＝kx－1互相垂直，求k的值；
②若直线l经过点A（－2，－5），且与直线y＝－x＋3互相垂直，求直线l的解析式.专题训练（五)　平行四边形的证明思路
　利用边的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的边上，则应考虑：
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
【针对训练】
1.如图，在 ABCD中，点E，F，G，H分别是边AD，AB，BC，CD上的点，且AE＝CG，BF＝DH.求证：四边形EFGH是平行四边形
2.如图，点B是AC的中点，点D，E在AC同侧，AE＝BD，BE＝CD.
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）连接DE，求证：四边形BCDE为平行四 . 图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，延长DE到点F，使得EF＝DE，连接CF.求证：
（1）△CEF≌△AED；
（2）四边形DBCF是平行四
　利用角的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的角上，则应考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”进行证明.
【针对训练】
4.如图，在 ABCD中，∠ABC和∠ADC的平分线分别交边CD，AB于点F，E.求证：
（1）∠1＝∠2；
（2）四边形DEBF是平行四边形
　利用对角线的关系判定平行四边形
解题思路：若已知条件出现在四边形的对角线上，则应考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明.
【针对训练】
5.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OA，OC的中点.求证：BE＝DF.
6.如图，在 ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形专题训练（二）二次根式运算中的易错点
　混淆运算律与法则
1.计算：
（1）3÷×；
（2）÷；
（3）×2－×＋÷2.
　计算结果未化简
2.计算：
（1）－4＋÷；
（2）＋－（＋）；
（3）－－＋（－2）0＋
.
　未先化简而直接代入求值
3.已知x＝，y＝，则代数式x2－3xy＋y2的值为 .
4.先化简，再求值：x（－x）＋（x＋）（x－），其中x＝－.
　未注意隐含条件
5.如果y＝＋1 013成立，则xy＝ .
6.化简：－（）2.专题训练（一）二次根式运算得常见题型
　二次根式的计算
题型1　利用运算法则进行计算
1.计算：
（1）÷＋×－；
（2）（2－2）×－（2＋3）÷.
题型2　利用乘法公式进行计算
2.计算：
（1）（＋1）2＋（－2）2－2（＋1）（－2）；
（2）（＋－）2－（－＋）2；
（3）＋　　.
　二次根式的化简求值
题型1　化简后求值
3.先化简，再求值：＋÷，其中x＝＋1，y＝.
题型2　利用整体思想求值
4.已知x＝1＋，y＝1－，求（x＋y）2－xy－2x－2y的值.
　利用二次根式加减运算的特征求字母的取值（范围）或式子的值
5.已知ɑ，b是正整数，且＋＝，求ɑ＋b的值.专题训练（三） 二次根式运算中的类比归纳思想
　规律探究型
1.观察下列各式：
S1＝＝1＋；
S2＝＝1＋；
S3＝＝1＋；
…
请利用你所发现的规律，计算：S1＋S2＋…＋S50＝　50　.
2.观察下列等式：
第1个等式：＝；
第2个等式：＝；
第3个等式：＝；
　　　　　　　　　…
根据上述规律，解答下面的问题：
（1）请写出第4个等式；
解：（1）∵第1个等式：＝＝＝，
第2个等式：＝＝＝，
第3个等式：＝＝＝，
∴第4个等式＝＝＝＝，即＝.
（2）请写出第n个等式（n是正整数，用含n的式子表示），并证明.
解：（2）根据（1），得第n个等式＝＝（n为正整数）.证明如下：
∵左边＝＝
＝＝，
∴左边＝右边.
∴等式成立.
　阅读理解型
3.阅读材料：
　　小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝（1＋）2.善于思考的小明进行了以下探索：
设ɑ＋b＝（m＋n）2（其中ɑ，b，m，n均为整数），则有ɑ＋b＝m2＋2n2＋2mn.所以ɑ＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把形如ɑ＋b的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当ɑ，b，m，n均为正整数时，若ɑ＋b＝（m＋n）2，用含m，n的式子分别表示ɑ，b，得ɑ＝　m2＋3n2　，b＝　2mn　；
（2）利用所探索的结论，请找一组正整数ɑ，b，m，n填空：　13　＋　4　＝（1　＋　2　）2；
（3）若ɑ－6＝（m－n）2且ɑ，m，n均为正整数，求ɑ的值.
解：（3）∵ɑ－6＝（m－n）2，
∴ɑ－6＝m2－2mn＋5n2.
∴mn＝3，m2＋5n2＝ɑ.
∵ɑ，m，n均为正整数，
∴m＝3，n＝1，ɑ＝14或m＝1，n＝3，ɑ＝46.
故满足条件的ɑ的值为14或46.专题训练（六)中点四边形
1.如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.则下列说法：
①若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形；
②若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形；
③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；
④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.
其中正确的个数是（　C　）
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
2.如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD和DA的中点，连接EF，FG，GH和HE.若EH＝3EF，则下列结论正确的是（　D　）
A.AB＝EF　　B.AB＝2EF
C.AB＝3EF　　D.AB＝EF
3.如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝8，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则EG2＋FH2的值为（　A　）
A.64 B.18
C.36 D.48
4.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，若AC＝6，BD＝8，则四边形EFGH的面积是　12　.
5.我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.
（1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？
解：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形.理由如下：
如解图1，已知任意四边形ABCD，E，F，G，H分别是各边中点，连接BD.
在△ABD中，E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD，EH＝BD.
在△BCD中，G，F分别是DC，BC的中点，
∴GF∥BD，GF＝BD.
∴EH∥GF，EH＝GF.
∴四边形EFGH为平行四边形.
解图1　　　　　　解图2
（2）任意平行四边形的中点四边形是平行四边形.理由如下：
如解图2，已知任意平行四边形ABCD，E，N，M，F分别是DA，AB，BC，DC的中点，连接AC，DB.
根据三角形中位线定理，得EF∥AC，EF＝AC，MN∥AC，MN＝AC.
∴EF∥MN，EF＝MN.
∴四边形EFMN为平行四边形.
（3）任意矩形的中点四边形为菱形.
任意菱形的中点四边形为矩形.
任意正方形的中点四边形为正方形.理由略
教材回归（五)　平行四边形及特殊的平行四边形中的折叠问题,
如果你身旁没有量角器或三角尺，又需要作如如果你身旁没有量角器或三角尺，又需要作30°的角，可以采用下面的方法（如图所示）：
（1）对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平.
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM.同时得到了线段BN，把纸片展平.
由此得到∠ABM，∠MBN和∠NBC都是30°，请你写出证明过程.
证明：∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴BE＝AB，∠BEF＝∠AEF＝90°.
∵再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到了线段BN，
∴AB＝BN.
∴BE＝BN.
∵∠BEN＝90°，
∴∠BNE＝30°.
∴∠ABN＝90°－∠BNE＝90°－30°＝60°.
∴∠NBC＝∠ABC－∠ABN＝90°－60°＝30°.
根据折叠的性质，得∠ABM＝∠MBN＝30°.
∴∠ABM＝∠MBN＝∠NBC＝30°.
【针对训练】
　平行四边形的折叠
1.如图，在 ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为（　C　）
A.12　　B.15　　C.18　　D.21
　矩形的折叠
2.如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处.若∠DBC＝24°，则∠A′EB等于（　C　）
A.66°　　B.60°　　C.57°　　D.48°
　菱形的折叠
3.如图，将一张菱形纸片ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF＝4，EH＝3，则AB＝　5　.
　正方形的折叠
4.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在边BC上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是（　B　）
A.3
B.4
C.5
D.6专题训练（八）　求一次函数解析式的几种类型
1.上下平移：上加下减
（1）直线y＝kx＋b向上平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的解析式为y＝kx＋b＋h；
（2）直线y＝kx＋b向下平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的解析式为y＝kx＋b－h.
2.左右平移：左加右减
（1）直线y＝kx＋b向左平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的解析式为y＝k（x＋h）＋b；
（2）直线y＝kx＋b向右平移h（h＞0）个单位长度，所得直线的解析式为y＝k（x－h）＋b.
3.直线y＝kx＋b关于x轴对称的直线解析式为y＝－kx－b.
4.直线y＝kx＋b关于y轴对称的直线解析式为y＝－kx＋b.
　根据两点坐标求一次函数的解析式
1.已知一次函数的图象过点（－2，0）和点（0，4），求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
将（－2，0）和（0，4）分别代入y＝kx＋b（k≠0），
得
解得
∴这个一次函数的解析式为y＝2x＋4.
　根据正比例关系求一次函数的解析式
2.已知y－3与4x－2成正比例，且当x＝1时，y＝5.求y与x之间的函数解析式.
解：根据题意，设y－3＝k（4x－2）（k≠0）.
当x＝1时，y＝5，即5－3＝（4×1－2）k，
解得k＝1.∴y－3＝4x－2，即y＝4x＋1.
∴y与x的函数解析式为y＝4x＋1.
　借用面积求一次函数的解析式
3.如图，已知函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，点A的横坐标为4，且△AOH的面积为8，求该函数的解析式.
解：∵AH⊥x轴，点A的横坐标为4，
∴OH＝4.
∵△AOH的面积为8，
∴AH OH＝8，即2AH＝8.∴AH＝4.
∵点A在第四象限，
∴点A的坐标为（4，－4）.
将A（4，－4）代入y＝kx（k≠0），得－4＝4k，
解得k＝－1.
∴该函数的解析式为y＝－x.
　根据平移求一次函数的解析式
4.（1）将直线y＝2x＋5向上平移2个单位长度，所得直线的解析式为　y＝2x＋7　；
（2）将直线y＝2x＋5向下平移2个单位长度，所得直线的解析式为　y＝2x＋3　；
（3）将直线y＝2x＋5向左平移1个单位长度，所得直线的解析式为　y＝2x＋7　；
（4）将直线y＝2x＋5向右平移1个单位长度，所得直线的解析式为　y＝2x＋3　.
5.在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋1（k≠0）的图象经过点A（1，3）.
（1）求k的值；
（2）若将这个一次函数的图象向上平移2个单位长度，求平移后的函数图象与y轴的交点坐标.
解：（1）∵一次函数y＝kx＋1（k≠0）的图象经过点A（1，3），
∴k＋1＝3，解得k＝2.
（2）由（1），知这个一次函数的解析式为y＝2x＋1.
将这个一次函数图象向上平移2个单位长度后得到的函数解析式为y＝2x＋1＋2＝2x＋3.
当x＝0时，y＝3.
∴平移后的函数图象与y轴的交点坐标为（0，3）.
6.如图，已知一条直线经过点A（0，3），点B（2，0），将这条直线向左平移，与x轴，y轴分别交于点C，点D.若DB＝DC，求直线CD的解析式.
解：设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
将A（0，3），B（2，0）分别代入y＝kx＋b（k≠0），
得解得
∴直线AB的解析式为y＝－x＋3.
∵DB＝DC，DO⊥BC，
∴OC＝OB，
∴点C的坐标为（－2，0）.
∵直线CD是由直线AB向左平移得到，
∴设平移后的直线CD的解析式为y＝－（x＋h）＋3（h＞0）.
将C（－2，0）代入，得0＝－（－2＋h）＋3，
解得h＝4.
∴直线CD的解析式为y＝－（x＋4）＋3＝－x－3.
　根据对称求一次函数的解析式
7.如图，已知一次函数y＝x＋3的图象分别与x轴，y轴交于点A，点B，点C与点A关于y轴对称.求直线BC的解析式.
解：当x＝0时，y＝3.
∴点B的坐标为（0，3）.
当y＝0时，x＋3＝0，解得x＝－6.
∴点A的坐标为（－6，0）.
∵点C与点A关于y轴对称，
∴点C的坐标为（6，0）.
设直线BC的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
将B（0，3），C（6，0）代入，
得解得
∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.
8.（1）求直线y＝－2x＋4关于x轴对称的直线解析式，关于y轴对称的直线解析式；
（2）试猜想直线y＝kx＋b关于x轴对称和关于y轴对称的直线解析式.
解：（1）直线y＝－2x＋4与x轴的交点坐标为（2，0），与y轴的交点坐标为（0，4）.
设关于x轴对称的直线解析式为y＝mx＋n（m≠0），则该直线经过点（2，0），（0，－4）.
把（2，0），（0，－4）代入，
得解得
∴关于x轴对称的直线解析式为y＝2x－4.
设关于y轴对称的直线解析式为y＝sx＋t（s≠0），则该直线经过点（－2，0），（0，4）.
把（－2，0），（0，4）代入，
得解得
∴关于y轴对称的直线解析式为y＝2x＋4.
（2）直线y＝kx＋b关于x轴对称的直线解析式为y＝－kx－b，关于y轴对称的直线解析式为y＝－kx＋b.
　利用两直线互相垂直求解析式
直线l1：y1＝k1x＋b1（k1≠0）与直线l2：y2＝k2x＋b2（k2≠0）互相垂直 k1k2＝－1.
9.已知函数图象如图所示.
（1）证明：直线y＝－0.5x＋1与直线y＝2x－1互相垂直；
（2）应用：①已知直线y＝4x＋1与直线y＝kx－1互相垂直，求k的值；
②若直线l经过点A（－2，－5），且与直线y＝－x＋3互相垂直，求直线l的解析式.
（1）证明：如图，设直线y＝－0.5x＋1，y＝2x－1与y轴分别交于点A，点B，这两条直线相交于点C.
根据题意，得解得
∴C.
如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D.
根据题意，得A（0，1），B（0，－1）.
∴AD＝1－＝，BD＝1＋＝，CD＝.
∴AC2＝AD2＋CD2＝2＋2＝，
BC2＝BD2＋CD2＝2＋2＝，
AB2＝（1＋1）2＝4.
∴AC2＋BC2＝＋＝4＝AB2.
∴∠ACB＝90°.
∴AC⊥BC，即直线y＝－0.5x＋1与直线y＝2x－1互相垂直.
（2）解：①∵直线y＝4x＋1与直线y＝kx－1互相垂直，∴4k＝－1，解得k＝－.
②∵直线l与直线y＝－x＋3互相垂直，
∴设直线l的解析式为y＝3x＋b.
∵直线l经过点A（－2，－5），
∴－5＝3×（－2）＋b，解得b＝1.
∴直线l的解析式为y＝3x＋1.专题训练（七)　函数图象信息题
　根据实际问题判断函数图象
1.苹果熟了，从树上落下来.下面可以大致刻画出苹果下落过程中（即落地前）的速度变化情况的图象是（　 　）
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
2.跨学科融合新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后，兔子很快把乌龟远远甩在后头.骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先，就躺在路边呼呼大睡起来.当它一觉醒来，发现乌龟已经超过它，于是奋力直追，最后同时到达终点.用S1，S2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程，t为赛跑时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（　 　）
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
3.古代工具“漏壶”是一种中国古代计时器（如图）.在它内部盛一定量的水，不考虑水量变化对压力的影响，水从壶底小孔均匀漏出，壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间，用x表示漏水时间，y表示壶底到水面的高度.下列图象适合表示y与x的对应关系的是（　 　）
A　　　　B
C　　　　D
4.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为一折线）.这个容器的形状是下图中的哪一个？匀速地向另两个容器注水时，你能画出水面高度h随时间t变化的图象（草图）吗？
　根据函数图象分析实际问题
5.小明和弟弟周末去图书馆.二人先后从家出发沿同一条路匀速去往图书馆，小明用10 min到达图书馆，弟弟比他早出发2 min，但是在小明到达时弟弟还距离图书馆30 m.设小明和弟弟所走的路程分别为y1，y2，其中y1，y2与时间x之间的函数关系如图所示，则下列结论正确的是（　 　）
①小明家与图书馆之间的距离为750 m；
②当小明出发时，弟弟已经离家120 m；
③小明每分钟比弟弟多走10 m；
④小明出发7 min后追上弟弟.
A.①②　B.①③　C.②③　D.①②④
6.跨学科融合把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）.下列结论中错误的是（　 　）
A.当P＝440 W时，I＝2 A
B.Q随I的增大而增大
C.I每增加1 A，Q的增加量相同
D.P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
　函数图象中的动点问题
7.如图，在△ABC中，点P是边BC上一点，点P从点B出发沿BC向点C运动，到达点C时停止.若BP＝x，图中阴影部分面积为S，则下图中可以近似地刻画出S与x之间关系的是（　 　）
A　　B
C　　D
8.如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示△PAD的面积y关于x的函数关系的图象大致是（　 　）
A　　B
C　　D
9.如图，已知 ABCD的面积为4，点P在边AB上从左向右运动（不含端点）.设△APD的面积为x，△BPC的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　 　）
A　　B
C　　D专题训练（一）二次根式运算得常见题型
　二次根式的计算
题型1　利用运算法则进行计算
1.计算：
（1）÷＋×－；
解：原式＝＋－
＝4＋－2
＝4－.
（2）（2－2）×－（2＋3）÷.
解：原式＝4－2－2－3
＝－4.
题型2　利用乘法公式进行计算
2.计算：
（1）（＋1）2＋（－2）2－2（＋1）（－2）；
解：原式＝［（＋1）－（－2）］2
＝（＋1－＋2）2
＝32
＝9.
（2）（＋－）2－（－＋）2；
解：原式＝［（＋－）＋（－＋）］ ［（＋－）－（－＋）］
＝2（2－2）
＝4－4.
（3）＋　　.
解：原式＝＋
＝＋（－）
＝＋－
＝2－.
　二次根式的化简求值
题型1　化简后求值
3.先化简，再求值：＋÷，其中x＝＋1，y＝.
解：原式＝
＝
＝.
当x＝＋1，y＝时，
原式＝＝.
题型2　利用整体思想求值
4.已知x＝1＋，y＝1－，求（x＋y）2－xy－2x－2y的值.
解：∵x＝1＋，y＝1－，
∴x＋y＝2，xy＝－2.
∴原式＝（x＋y）2－xy－2（x＋y）
＝22－（－2）－2×2
＝2.
　利用二次根式加减运算的特征求字母的取值（范围）或式子的值
5.已知ɑ，b是正整数，且＋＝，求ɑ＋b的值.
解：由＋＝，知，，是可以合并的二次根式.
∵＝＝3，
∴可设＝m，＝n，且m，n均是正整数，则m＋n＝3，
即（m＋n）＝3.∴m＋n＝3.
∴或∴或
∴ɑ＋b＝1 110.专题训练(九)　一次函数与坐标轴围成的三角形
　由一次函数的图象求三角形的面积
1.如图，点A（－3，4）在一次函数y＝－3x－5的图象上，图象与y轴的交点为点B.
（1）求直线OA的函数解析式；
（2）求△AOB的面积.
解：（1）设直线OA的函数解析式为y＝kx（k≠0）.
∵直线经过点A（－3，4），
∴－3k＝4，解得k＝－.
∴直线OA的函数解析式为y＝－x.
（2）∵点B是一次函数y＝－3x－5与y轴的交点，
∴当x＝0时，y＝－3×0－5＝－5.
∴点B的坐标为（0，－5）.
∴OB＝5.
∵点A的坐标为（－3，4），
∴点A到y轴的距离为3.
∴S△AOB＝×OB×3＝×5×3＝.
2.如图，已知直线l1：y＝2x＋1与直线l2：y＝－x＋7，直线l1，l2分别交x轴于点B，点C，两直线相交于点A.
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求△ABC的面积.
解：（1）根据题意，得
解得
∴点A的坐标为（2，5）.
在直线l1：y＝2x＋1中，
令y＝0，则2x＋1＝0，解得x＝－.
∴点B的坐标为.
在直线l2：y＝－x＋7中，
令y＝0，则－x＋7＝0，解得x＝7.
∴点C的坐标为（7，0）.
（2）由（1），得BC＝7－＝.
∵点A的坐标为（2，5），
∴点A到x轴的距离为5.
∴S△ABC＝×BC×5＝××5＝.
　由三角形的面积求一次函数的解析式
3.如图，过点A（3，0）的两条直线l1，l2分别交y轴于点B，点C，其中点B在原点O的上方，点C在原点O的下方，已知AB＝5.
（1）求点B的坐标；
（2）若△ABC的面积为9，求直线l2的函数解析式.
解：（1）∵点A的坐标为（3，0），∴OA＝3.
∵AB＝5，
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理，得BO＝＝＝4.
∵点B在原点O的上方，
∴点B的坐标为（0，4）.
（2）∵S△ABC＝S△OAB＋S△OCA＝9，
∴OA OB＋OA OC＝×3×4＋×3×OC＝9.
∴OC＝2.
∵点C在原点O的下方，
∴点C的坐标为（0，－2）.
设直线l2的函数解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
将A（3，0），C（0，－2）代入，得
解得
∴直线l2的函数解析式为y＝x－2.
4.如图，直线AB与y轴交于点A，与x轴交于点B，点A的纵坐标，点B的横坐标如图所示.
（1）求直线AB的解析式；
（2）在直线AB上，是否存在点P，使得△AOP的面积为1？如果存在，请求出所有满足条件的点P的坐标.
解：（1）根据题意，得点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0）.
设直线AB的解析式为y＝kx＋b（k≠0）.
将A（0，2），B（4，0）代入，得
解得
∴直线AB的解析式为y＝－x＋2.
（2）存在.
根据题意，得OA＝2.
设点P的坐标为（ɑ，b）.
根据题意，得
S△AOP＝OA ｜ɑ｜＝×2 ｜ɑ｜＝｜ɑ｜＝1，
解得ɑ＝1或ɑ＝－1.
当ɑ＝1时，b＝－×1＋2＝；
当ɑ＝－1时，b＝－×（－1）＋2＝.
∴点P的坐标为或.

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