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16.1 第1课时 变量与函数
1.理解函数的相关概念，能识别两个变量之间是否存在函数关系，并能初步确定自变量与因变量；
2.了解函数的三种表示方法，能说出具体实例的表示形式；
3.能根据问题情境列出简单的函数解析式
如图是某地一天内的气温变化图.
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14
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24
T/℃
t/h
这张图告诉我们哪些信息？
由图可知，随时间 t (h) 的变化，气温 T (℃) 也随之变化.
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T/℃
t/h
看图回答：（1）这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别是多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.
-1℃
2℃
5℃
问题1：如图是某地一天内的气温变化图
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T/℃
t/h
看图回答：（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
5℃
-4℃
问题1：如图是某地一天内的气温变化图
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T/℃
t/h
看图回答：（3）这一天中，哪些时段的气温在逐渐升高？哪些时段的气温在逐渐降低？
温度升高
温度降低
问题1：如图是某地一天内的气温变化图
问题2：小蕾在过 14 岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表:
观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的 ? 在哪一段时间内体重增加较快 ?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}周岁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
体重/kg
7.9
12.2
15.6
18.4
20.7
23.0
25.6
28.5
31.2
34.0
37.6
41.2
44.9
随着年龄的增长，小蕾的体重也随之增长，且在 1—2 岁增加较快.
问题3：收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米 (m)和千兹 (kHz) 为单位标刻的 ，下面是一些对应的数值:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}波长 λ / m
300
500
600
1000
1500
频率 f / kHz
1000
600
500
300
200
观察上表回答：
(1)波长 l 和频率 f 数值之间有什么关系 ?
(1)λ f ＝300 000，或者
300 000
λ
f =
(2)波长 λ 越大，频率 f 就_____ .
越小
问题4：圆的面积随着半径的增大而增大，如果用 r 表示圆的半径、用 S 表示圆的面积，则 S 与 r 之间满足下列关系:
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}半径 r / m
1
1.5
2
2.6
3.2
···
圆面积 S / cm2
···
S = _______ .
利用这个关系式，试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表：
πr?
π
2.25π
4π
6.76π
10.24π
越大
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就______.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
思考 在上述4个问题中，都是一些变化的过程，出现了各种各样的数量，你认为可以怎样分类？
变量
常量
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}数值发生变化的量
数值始终不变的量
问题 1 中的时间 t 、气温 T ；
问题 2 中的周岁、体重；
问题 3 中的波长 λ 、频率 f ；
问题 4 中的圆面积 S、半径 r .
问题 3 中的300 000；
问题 4 中的π.
像这样，在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量 (variable).
在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量 (constant) .
1.指出下列事件过程中的常量与变量.
(1) 某水果店橘子的单价为 5 元／千克，买 a 千克橘子的总价为 m 元，其中常量是 ，变量是 ；
(2) 圆的周长 C 与半径 r 之间的关系式是 C ＝ 2πr，其中常量是 ，变量是 ；
(3) 三角形的一边长 5 cm，它的面积 S (cm2) 与这边上的高 h (cm) 的关系式 中，其中常量是 ，变量是 .
5
a ，m
2，π
C， r
S，h
上面各问题都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.
一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量 ，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量 ， y 是因变量.
此时也称 y 是 x 的函数.
D
2.下列各关系式中，y不是x的函数的是(　　)
A．y＝－x＋1
B．y＝2x2
C．y＝|x|
D．y＝±x
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
表示函数关系的方法通常有三种：
（1）解析法. 如 ，S = πr2，函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式.
300 000
λ
f =
（2）列表法. 如波长与频率关系表
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}波长 λ/m
300
500
600
1000
1500
频率 f/kHz
1000
600
500
300
200
（3）图象法. 如气温曲线图.
注意实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.
解析法
列表法
图象法
定义
优点
函数三种表示方法的区别
用数学式子表示函数关系的方法
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来表示函数关系的方法
用图象来表示两个变量间的函数关系的方法
准确地反映了函数随自变量变化的数量关系
具体反映了函数随自变量变化的数值对应关系
直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律
D
3.数学是逻辑与艺术相结合的学科．下列四幅图中，能表示y是x的函数的是(　　)
D
4.实验课上，小亮用同一块木板测得小车下滑时的支撑物高h与下滑时间t的关系如下表，下列结论错误的是(　　)
?
A．当h＝40时，t＝2.66
B．随着支撑物高的增加，下滑时间越来越短
C．估计当h＝80时，t一定小于2.56
D．高度每增加10 cm，时间就会减少0.24 s
支撑物高h/cm
10
20
30
40
50
…
下滑时间t/s
3.25
3.01
2.81
2.66
2.56
…
5.已知某水池现有水量????立方米，现以每分钟5立方米的速度匀速放水，设放水时间为????分钟，水池剩余水量为????立方米，写出????关于????的函数解析式（用????表示）.
????=?????????????
?
在某一变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
解析法，列表法和图象法
变量与函数
常量与变量
函数
函数的表示方法
如果在一个变化过程中，有两个变量 ，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，
称 y 是 x 的函数
A
1.汽车在匀速行驶的过程中，用s表示路程，v表示速度，t表示时间，则对于等式s＝vt，下列说法正确的是(　　)
A．s是变量
B．t是常量
C．v是变量
D．s是常量
C
2.爸爸开车到加油站加油，小华发现加油机上某一时刻的数据显示牌如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．单价、金额是变量
B．单价是自变量
C．金额是因变量
D．金额、单价是常量
B
3.生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是(　　)
A．第5天的种群数量为300个
B．前3天种群数量持续增长
C．第3天的种群数量达到最大
D．每天增加的种群数量相同
4.下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？
如果是，请指出自变量.
(1) 改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；
(2) P 是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，
它对应的实数为 y，y 随 x 的变化而变化．
解：（1）S 是 x 的函数，其中 x 是自变量.
（2）y 不是 x 的函数.
5.用一根长40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为????cm，面积为????cm?，写出????关于????的函数解析式.
????=????(?????????????)=?????????+????????????

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