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16.3.1 一次函数
1. 理解一次函数和正比例函数的概念，会对它们进行判断.
2. 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
什么是函数？有哪些表示方式？
如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y ，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数。
图像法、列表法、解析法
问题1：暑假里小明的爸爸带领全家去北京自驾游，汽车驶上A地的高速公路后，小明发现汽车匀速行驶的速度是95 km/h，已知A地直达北京的高速公路全程为285 km，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己距北京的路程.根据题意回答下面的问题：
(2) 设汽车在高速公路上匀速行驶的时间为t h，汽车距北京的路程为S km，如何用函数关系式来描述汽车从地方驶出后距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间之间的关系?
S = 285 - 95t.
(1) 问题1 中有哪些变量 ?
距北京的路程
行驶的时间
问题2 弹簧下端悬挂重物，弹簧会伸长，弹簧的长度 y (cm) 是所挂重物质量 x (kg)的函数，已知一根弹簧在不挂重物时长 6 cm，在一定的弹性限度内，每挂 1 kg 重物弹簧伸长 0.3 cm，求这个函数关系式.
y = 0.3x + 6
解： 因为每挂 1 kg 重物弹簧伸长 0.3 cm，
所以挂 x kg 重物时弹簧伸长______ cm.
又因为不挂重物时弹簧的长度为 6 cm ，
所以挂 x kg 重物时弹簧的长度为___________cm，
即有， .
0.3x
(0.3x + 6)
以上得到的两个函数关系式有什么共同点 ?
y = 0.3x + 6
S = 285 - 95t
① 都有两个变量；
② 都有用一次整式表示的数量关系；
③ 两个变量之间互相关联.
上述函数关系式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数.
一次函数通常可以表示为 y = kx + b 的形式 ，其中 k、b 是常数，且 k ≠ 0.
特别地，当 b = 0 时，一次函数 y = kx ( 常数 k≠0 ) 也叫做正比例函数.
例如：S = 285 - 95t、y = 0.3x + 6
1.下列式子中，表示y是x的正比例函数的个数正确的为（　　）
（1）????=?????.????????；（2）????=????????；（3）????=????????+????；（4）????????=????????．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
?
B
1.判定一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判定一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
2.写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：
y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h)之间的关系；
(2) 圆的面积 y (cm2 ) 与它的半径 x (cm) 之间的关系.
解：(1)由路程 = 速度×时间，得 y = 60x，
y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数.
(2)由圆的面积公式，得 y = πx2，
y 不是 x 的一次函数，也不是 x 的正比例函数.
一次函数
一次函数的概念
正比例函数的概念
函数关系式的确定
1.下列函数：
（1）y=3πx；（2）y=8x-6；（3）y= ???????? ；（4）y= ???????? -8x；
（5）y=5 ???????? -4x+1中，是一次函数的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
?
B
2.出租车是城市中一种便利的交通工具．不同城市收费标准有差异，某城市出租车收费按路程计算：2km内（包括2km）收费10元；超过2km每增加1km加收1.6元，则路程?????????????????时，车费????（元）与路程????(????????)之间的函数关系式是　 　．
?
????=????????+????.?????????????=????.????????+????.????
?
能力提升：3. 已知函数 y = (m - 1)x + 1 - m2.
(1) 当 m 为何值时，这个函数是一次函数?
解：(1) 由题意可得
m - 1≠0，解得 m≠1.
即 m≠1 时，这个函数是一次函数.
(2) 当 m 为何值时，这个函数是正比例函数?
(2) 由题意可得
m - 1≠0，1 - m2 = 0，解得 m = -1.
即 m = -1 时，这个函数是正比例函数.
若 y = kxn + b 是一次函数，则 k ≠ 0，且 n = 1；
当 k ≠ 0，且 b＝0 时，该函数为正比例函数．
能力提升：4. 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，每本收费 1 元，另一种是会员卡收费，卡费每月 12 元，租书每本 0.4 元，小彬经常来该店租书，若每月租书数量为x 本.
(1) 写出零星租书方式应付金额 y1 (元) 与租书数量 x (本) 之间的函数关系式；
(2) 写出会员卡租书方式应付金额 y2 (元) 与租书数量 x (本)之间的函数关系式；
(3) 小彬选择哪种租书方式更合算？为什么?
y1 = x.
y2 = 0.4x + 12.
由 x = 0.4x + 12 知，当 x＜20 时，零星租书方式合算；当 x = 20 时，两种租书方式一样；当 x＞20 时，会员卡租书方式合算.

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