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19.1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
@学霸笔记
1.一般地，我们把形如　　（ɑ≥0）的式子叫作二次根式，“　　”称为二次根号.二次根式也是代数式.
2.二次根式有意义的条件是　ɑ≥0　.
@基础分点训练
　二次根式的概念
1.若式子是二次根式，则ɑ的值不可以是（B　）
A.0　　B.－2　　C.2　　D.4
2.（2025 张掖期末）下列式子一定是二次根式的是（D　）
A.　　B.　　C.　　D.
3.下列各式中，哪些是二次根式？并指出二次根式中的被开方数.
，，，（x≥3），（x≠－3），，，（x＜0）.
解：，（x≥3），，（x＜0）是二次根式，其中被开方数依次为，x－3，（2x＋1）2，－2x.
　二次根式有意义的条件
4.（2025 连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　D　）
A.x≤1　　B.x≥1　　
C.x≤－1　　D.x≥－1
5.开放性试题若x为正整数，要使有意义，则x＝　3（答案不唯一）　.（写出1个即可）
6.（2025 广州）要使代数式有意义，则x的取值范围是　x≥－1且x≠3　.
7.变式题当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
解：由2x＋2≥0，得x≥－1.
当x≥－1时，在实数范围内有意义.
（2）；
解：由5－2x≥0，得x≤.
当x≤时，在实数范围内有意义.
（3）.
解：由x2≥0，得x2＋4恒大于零.
当x取任意实数时，在实数范围内都有意义.
　二次根式的实际应用
8.已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（B　）
A.1 dm　　B. dm
C. dm　　D.3 dm
9.若一个长方形的面积为10 cm2，它的长与宽的比为5∶1，则它的长为　5　cm，宽为　　cm.
@中档提分升训练
10.（2025 兰州校级期末）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（　A　）
A.x＞－3　　B.x≥－3　　C.x＜－3　　D.x≤－3
11.使式子＋在实数范围内有意义的整数x有（C　）
A.5个　　B.4个
C.3个　　D.2个
12.跨学科融合电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt.已知导线的电阻为2 Ω，1 s时间导线产生50 J的热量，电流I的值是（　B　）
A.2 A　　B.5 A
C.8 A　　D.10 A
13.使＝在实数范围内成立的x的取值范围是　－1≤x＜2　.
14.若y＝＋＋4，则x－y＝　1　.
15.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
解：由4－x＞0，得x＜4.
当x＜4时，在实数范围内有意义.
（2）；
解：由x＋2≥0且x－3≠0，得x≥－2且x≠3.
当x≥－2且x≠3时，在实数范围内有意义.
（3）；
解：由1－｜x｜≥0，得－1≤x≤1.
当－1≤x≤1时，在实数范围内有意义.
（4）＋.
解：由得－1≤x≤1.
当－1≤x≤1时，＋在实数范围内有意义.
@拓展素养训练
16.分类讨论思想已知ɑ，b为某个等腰三角形的两条边长，且满足等式2＋3＝b－4.求该等腰三角形的周长.
解：由得
∴ɑ＝2.
∴2＋3＝2＋3＝0.
∴b－4＝0，解得b＝4.
分情况讨论：
①当腰长为2，底边长为4时，不能构成三角形；
②当腰长为4，底边长为2时，可以构成三角形，其周长为4＋4＋2＝10.
∴该等腰三角形的周长为10.
第2课时　二次根式的性质
@学霸笔记
1.（ɑ≥0）表示ɑ的　算术平方根　，也就是说，（ɑ≥0）是一个非负数，即　≥　0（ɑ≥0）.
2.一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
＝｜ɑ｜＝
@基础分点训练
　≥0（ɑ≥0）
1.若＋｜y－2｜＝0，则xy＝　1　.
2.当x＝　2 024　时，式子2 025－有最大值，且最大值为　2 025　.
　（）2＝ɑ（ɑ≥0）的计算
3.计算（）2的结果是（B　）
A.225　　B.15　　
C.±15　　D.－15
4.计算：（1）（）2＝　0.15　；
（2）（－2）2＝　12　；
（3）2＝　　；（4）2＝　2　.
5.把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
（1）6＝　（）2　；
（2）3.4＝　（）2　；
（3）＝　2　；
（4）x＝　（）2　（x≥0）.
　＝ɑ（ɑ≥0）的计算
6.计算等于（B　）
A.±2　　B.2　　C.4　　D.
7.（2025 张掖期中）若＝－ɑ，则实数ɑ在数轴上的对应点一定在（C 　）
A.原点左侧　　B.原点右侧
C.原点及原点左侧　　D.原点及原点右侧
8.数形结合思想若实数ɑ，b在数轴上的位置如图所示，则化简＋－的结果是　0　.
9.变式题计算：
（1）；
解：原式＝0.2.　　
（2）；
解：原式＝.
（3）－；
解：原式＝－.
（4）.
解：原式＝.
@中档提分升训练
10.下列计算正确的是（　D　）
A.＝±3
B.＝x－3
C.＝－3
D.＝3－2
11.已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为　3　，最大值为　75　.
12.若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简＋的结果为　5　.
13.已知y＝－x＋5，当x分别取1，2，3，…，2 025时，所对应y值的总和是　2 037　.
14.计算：
（1）2＋－；
解：原式＝＋0.3－
＝0.3.
（2）－＋0.
解：原式＝2－－＋1
＝－.
15.注重学习过程若x＜2，化简＋，小明的解答过程如下：
解：原式＝＋（4－x）第一步
＝x－2＋4－x 第二步
＝2.第三步
（1）小明的解答从第　二　步出现错误，错误的原因是用错了性质：　＝＝－ɑ（ɑ＜0）　；
（2）写出正确的解答过程.
解：（2）∵x＜2，
∴x－2＜0，4－x＞0.
∴原式＝＋（4－x）
＝2－x＋4－x
＝6－2x.
@拓展素养训练
16.阅读理解问题阅读下列解题过程：
例：若代数式＋＝2，
求ɑ的取值范围.
解：原式＝｜2－ɑ｜＋｜ɑ－4｜，
当ɑ＜2时，原式＝（2－ɑ）＋（4－ɑ）＝6－2ɑ＝2，解得ɑ＝2（舍去）；
当2≤ɑ＜4时，原式＝（ɑ－2）＋（4－ɑ）＝2，等式恒成立；
当ɑ≥4时，原式＝（ɑ－2）＋（ɑ－4）＝2ɑ－6＝2，解得ɑ＝4；
所以ɑ的取值范围是2≤ɑ≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤ɑ≤7时，化简：＋
；
（2）若＋＝6，求ɑ的取值；
（3）请直接写出满足＋＝5的ɑ的取值范围：　1≤ɑ≤6　.
解：（1）∵3≤ɑ≤7，
∴3－ɑ≤0，ɑ－7≤0.
∴＋＝｜3－ɑ｜＋｜ɑ－7｜＝（ɑ－3）＋（7－ɑ）＝ɑ－3＋7－ɑ＝4.
（2）原式＝｜ɑ＋1｜＋｜ɑ－3｜.
当ɑ＜－1时，原式＝－（ɑ＋1）＋（3－ɑ）＝－2ɑ＋2＝6，解得ɑ＝－2；
当－1≤ɑ≤3时，原式＝（ɑ＋1）＋（3－ɑ）＝4，等式不成立；
当ɑ＞3时，原式＝（ɑ＋1）＋（ɑ－3）＝2ɑ－2＝6，解得ɑ＝4.
∴ɑ的值为－2或4.
教材回归（一）　二次根式得双重非负性及a的化简
一、（ɑ≥0）的双重非负性
当ɑ满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）由ɑ＋2≥0，得ɑ≥－2.
当ɑ≥－2时，在实数范围内有意义.
（2）由3－ɑ≥0，得ɑ≤3.
当ɑ≤3时，在实数范围内有意义.
（3）∵ɑ2≥0恒成立，∴5ɑ2≥0.
当ɑ取任意实数时，在实数范围内有意义.
（4）由2ɑ＋1≥0，得ɑ≥－.
当ɑ≥－时，在实数范围内有意义.
【针对训练】
1.若二次根式有意义，则x的取值范围是（B　）
A.x≥0　　B.x≥2
C.x≥－2　　D.x≤2
2.若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（C　）
A.x≥　　B.x≤
C.x＝　　D.x≠
3.（1）若代数式＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是　x≥－1且x≠0　；
（2）已知y＝＋－24，则＝　6　.
4.已知实数ɑ满足＋＝ɑ，求ɑ－2 0232的值.
解： 根据题意，得ɑ－2 024≥0，
解得ɑ≥2 024.
则原等式变形为（ɑ－2 023）＋＝ɑ，
∴＝2 023.
∴ɑ－2 024＝2 0232.
∴ɑ－2 0232＝2 024.
5.运算能力先化简，再求值：÷，其中实数x，y满足y＝－＋1.
解：原式＝
＝
＝.
∵y＝－＋1，
∴x－2≥0，2－x≥0.∴x＝2.
∴y＝－＋1＝1.
∴当x＝2，y＝1时，原式＝＝2.
二、的化简
化简：　
（1）；
解：（1）原式＝0.3.
（2）；
（2）原式＝.
（3）－；
（3）原式＝－π.
（4）.
（4）原式＝＝.
【针对训练】
6.化简－（）2得（C　）
A.2　　B.－4x＋4
C.x　　D.5x－2
7.已知实数ɑ在数轴上的对应点位置如图所示，则化简－的结果是（A　）
A.2ɑ－3　　B.－1
C.1　　D.3－2ɑ
8.实数ɑ，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简＋－（）2的结果为（C　）
A.2b－ɑ　　B.ɑ
C.－2b－ɑ　　D.－3ɑ
9.计算：＋.
解：原式＝｜π－3.14｜＋｜3.14－π｜
＝π－3.14＋π－3.14
＝2π－6.28.
10.推理能力有如下一组二次根式：
①；
②；
③；
④；
…
（1）求①，②，③，④的值；
解：（1）①原式＝＝3.
②原式＝＝15.
③原式＝＝35.
④原式＝＝63.
（2）仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式，并求值；
（2）第⑤个二次根式为，＝99.
（3）仿照①，②，③，④，⑤，写出第n（n为自然数，且n≥1）个二次根式，并化简.
（3）第n个二次根式为（n为自然数，且n≥1）.
化简：
　　　＝
　　　＝
　　　＝（2n－1）（2n＋1）
　　　＝4n2－1.19.1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
@学霸笔记
1.一般地，我们把形如 （ɑ≥0）的式子叫作二次根式，“　 　”称为二次根号.二次根式也是代数式.
2.二次根式有意义的条件是 .
@基础分点训练
　二次根式的概念
1.若式子是二次根式，则ɑ的值不可以是（ 　）
A.0　　B.－2　　C.2　　D.4
2.（2025 张掖期末）下列式子一定是二次根式的是（ 　）
A.　　B.　　C.　　D.
3.下列各式中，哪些是二次根式？并指出二次根式中的被开方数.
，，，（x≥3），（x≠－3），，，（x＜0）.
　二次根式有意义的条件
4.（2025 连云港）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　 　）
A.x≤1　　B.x≥1　　
C.x≤－1　　D.x≥－1
5.开放性试题若x为正整数，要使有意义，则x＝ .（写出1个即可）
6.（2025 广州）要使代数式有意义，则x的取值范围是 .
7.变式题当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
（2）；
（3）.
　二次根式的实际应用
8.已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（ 　）
A.1 dm　　B. dm
C. dm　　D.3 dm
9.若一个长方形的面积为10 cm2，它的长与宽的比为5∶1，则它的长为 cm，宽为 cm.
@中档提分升训练
10.（2025 兰州校级期末）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是（　 　）
A.x＞－3　　B.x≥－3　　C.x＜－3　　D.x≤－3
11.使式子＋在实数范围内有意义的整数x有（ 　）
A.5个　　B.4个
C.3个　　D.2个
12.跨学科融合电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt.已知导线的电阻为2 Ω，1 s时间导线产生50 J的热量，电流I的值是（　 　）
A.2 A　　B.5 A
C.8 A　　D.10 A
13.使＝在实数范围内成立的x的取值范围是 .
14.若y＝＋＋4，则x－y＝ .
15.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）＋.
@拓展素养训练
16.分类讨论思想已知ɑ，b为某个等腰三角形的两条边长，且满足等式2＋3＝b－4.求该等腰三角形的周长.
第2课时　二次根式的性质
@学霸笔记
1.（ɑ≥0）表示ɑ的 ，也就是说，（ɑ≥0）是一个非负数，即 0（ɑ≥0）.
2.一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值.
＝｜ɑ｜＝
@基础分点训练
　≥0（ɑ≥0）
1.若＋｜y－2｜＝0，则xy＝ .
2.当x＝ 时，式子2 025－有最大值，且最大值为 .
　（）2＝ɑ（ɑ≥0）的计算
3.计算（）2的结果是（ 　）
A.225　　B.15　　
C.±15　　D.－15
4.计算：（1）（）2＝ ；
（2）（－2）2＝ ；
（3）2＝ ；（4）2＝ .
5.把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
（1）6＝ ；
（2）3.4＝ ；
（3）＝ ；
（4）x＝ （x≥0）.
　＝ɑ（ɑ≥0）的计算
6.计算等于（ 　）
A.±2　　B.2　　C.4　　D.
7.（2025 张掖期中）若＝－ɑ，则实数ɑ在数轴上的对应点一定在（ 　）
A.原点左侧　　B.原点右侧
C.原点及原点左侧　　D.原点及原点右侧
8.数形结合思想若实数ɑ，b在数轴上的位置如图所示，则化简＋－的结果是 .
9.变式题计算：
（1）；
　　
（2）；
（3）－；
（4）.
@中档提分升训练
10.下列计算正确的是（　 　）
A.＝±3
B.＝x－3
C.＝－3
D.＝3－2
11.已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 ，最大值为 .
12.若某三角形的三边长分别为2，5，n，则化简＋的结果为 .
13.已知y＝－x＋5，当x分别取1，2，3，…，2 025时，所对应y值的总和是 .
14.计算：
（1）2＋－；
（2）－＋0.
15.注重学习过程若x＜2，化简＋，小明的解答过程如下：
解：原式＝＋（4－x）第一步
＝x－2＋4－x 第二步
＝2.第三步
（1）小明的解答从第 步出现错误，错误的原因是用错了性质：
2）写出正确的解答过程.
@拓展素养训练
16.阅读理解问题阅读下列解题过程：
例：若代数式＋＝2，
求ɑ的取值范围.
解：原式＝｜2－ɑ｜＋｜ɑ－4｜，
当ɑ＜2时，原式＝（2－ɑ）＋（4－ɑ）＝6－2ɑ＝2，解得ɑ＝2（舍去）；
当2≤ɑ＜4时，原式＝（ɑ－2）＋（4－ɑ）＝2，等式恒成立；
当ɑ≥4时，原式＝（ɑ－2）＋（ɑ－4）＝2ɑ－6＝2，解得ɑ＝4；
所以ɑ的取值范围是2≤ɑ≤4.
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题：
（1）当3≤ɑ≤7时，化简：＋
；
（2）若＋＝6，求ɑ的取值；
（3）请直接写出满足＋＝5的ɑ的取值范围： .
教材回归（一）　二次根式得双重非负性及a的化简
一、（ɑ≥0）的双重非负性
当ɑ满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【针对训练】
1.若二次根式有意义，则x的取值范围是（ 　）
A.x≥0　　B.x≥2
C.x≥－2　　D.x≤2
2.若＋＋1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（ 　）
A.x≥　　B.x≤
C.x＝　　D.x≠
3.（1）若代数式＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ；
（2）已知y＝＋－24，则＝ .
4.已知实数ɑ满足＋＝ɑ，求ɑ－2 0232的值.
5.运算能力先化简，再求值：÷，其中实数x，y满足y＝－＋1.
二、的化简
化简：　
（1）；
（2）；
（3）－；
（4）.
【针对训练】
6.化简－（）2得（ 　）
A.2　　B.－4x＋4
C.x　　D.5x－2
7.已知实数ɑ在数轴上的对应点位置如图所示，则化简－的结果是（ 　）
A.2ɑ－3　　B.－1
C.1　　D.3－2ɑ
8.实数ɑ，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简＋－（）2的结果为（ 　）
A.2b－ɑ　　B.ɑ
C.－2b－ɑ　　D.－3ɑ
9.计算：＋.
10.推理能力有如下一组二次根式：
①；
②；
③；
④；
…
（1）求①，②，③，④的值；
（2）仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式，并求值；
（3）仿照①，②，③，④，⑤，写出第n（n为自然数，且n≥1）个二次根式，并化简.

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