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19.2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
@学霸笔记
1.二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，可将被开方数相乘后再开方.
＝ （ɑ≥0，b≥0）.
2.积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
＝ （ɑ≥0，b≥0）.
@基础分点训练
　二次根式的乘法
1.（2025 兰州）计算：×＝（ 　）
A.6　　B.　　C.　　D.1
2.下列各式中，与的乘积为有理数的是（ 　）
A.　　B.　　C.2　　D.
3.计算：
（1）×；
（2）×.
　积的算术平方根
4.将化简后的结果是（ 　）
A.2　　B.　　C.2　　D.4
5.化简二次根式的结果是（ 　）
A.－2　　B.2　　C.±2　　D.
6.使等式＝ 成立的条件是 .
7.化简：
（1）；
（2）（x≥0，y≥0，z≥0）.
　二次根式乘法的综合计算
8.变式题如果一个三角形的一边长是2，这条边上的高是，那么这个三角形的面积是（ 　）
A.5　　B.10　　C.5　　D.10
9.计算：
（1）6×3；
（2）5 .
@中档提分升训练
10.对于任意实数ɑ，下列各式中一定成立的是（ 　）
A.＝
B.＝ɑ＋6
C.＝－4
D.＝5ɑ2
11.将－2根号外面的数移到根号里面，其结果为 .
12.若点（x，y）在第四象限，则化简的结果是 .
13.计算：
（1）××；
（2）5 2.
14.跨学科融合交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数.在某次交通事故调查中，测得d＝20 m，f＝0.6，该路段限速60 km/h，则该汽车超速了吗？请说明理由.（参考数据：≈1.4，≈1.7）
@拓展素养训练
15.阅读理解问题观察下列各式及其验证过程：
2＝，
验证：2＝＝＝＝；
3＝，
验证：3＝＝＝＝.
（1）按照上述两个等式验证过程的基本思路，请你猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，将这个规律用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示出来，并验证.
2 　 次 学 记
1.二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根.
＝ （ɑ≥0，b＞0）.
2.商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
＝ （ɑ≥0，b＞0）.
3.最简二次根式必须满足的两个条件：
（1）被开方数不含 ；
（2）被开方数中不含 的因数或因式.
@基础分点训练
　二次根式的除法法则
1.计算÷的结果正确的是（ 　）
A.　　B.　　C.　　D.5
2.下列各式中，计算正确的是（ 　）
A.＝9　　B.＝
C.÷＝4　　D.÷＝3
3.变式题计算：
（1）÷；
（2）÷；
（3）÷.
　商的算术平方根的性质
4.下列各式中，正确的是（ 　）
A.＝　　B.＝
C.＝　　D.＝
5.计算：＝ .
6.化简：
（1）；
（2）；
（3）（b＞0）.
　最简二次根式
7.（2025 湖南）化简＝ .
8.把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）；
（2）；
（3）（x＞0）.
@中档提分升训练
9.若＝成立，则x的取值范围为（ 　）
A.x≥0　　B.x≥0或x＜1
C.x＜1　　D.0≤x＜1
10.计算÷3×的结果正确的是（ 　）
A.1　　B.　　C.5　　D.9
11.变式题已知≈1.732，则2≈ ，≈ .（结果保留小数点后三位）
12.若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是 .（写出一个符合条件的即可）
13.计算：
（1）×；
（2）÷÷；
（3）÷×.
14.应用意识一个长方形的长为3，面积为30，要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形.求该正方形的面积.
@拓展素养训练
15.已知＝，且x为奇数.
求（x－6） 的值.19.2　二次根式的乘法与除法
第1课时　二次根式的乘法
@学霸笔记
1.二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，可将被开方数相乘后再开方.
＝　　（ɑ≥0，b≥0）.
2.积的算术平方根的性质：积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
＝　 　（ɑ≥0，b≥0）.
@基础分点训练
　二次根式的乘法
1.（2025 兰州）计算：×＝（B　）
A.6　　B.　　C.　　D.1
2.下列各式中，与的乘积为有理数的是（C　）
A.　　B.　　C.2　　D.
3.计算：
（1）×；
解：原式＝.
（2）×.
解：原式＝.
　积的算术平方根
4.将化简后的结果是（C　）
A.2　　B.　　C.2　　D.4
5.化简二次根式的结果是（B　）
A.－2　　B.2　　C.±2　　D.
6.使等式＝ 成立的条件是　x≥1　.
7.化简：
（1）；
解：原式＝×
＝5×3＝15.
（2）（x≥0，y≥0，z≥0）.
解：原式＝
＝2 y
＝2y
＝2yz.
　二次根式乘法的综合计算
8.变式题如果一个三角形的一边长是2，这条边上的高是，那么这个三角形的面积是（A　）
A.5　　B.10　　C.5　　D.10
9.计算：
（1）6×3；
解：原式＝6×3
＝18
＝18×5
＝90.
（2）5 .
解：原式＝5
＝5
＝10x.
@中档提分升训练
10.对于任意实数ɑ，下列各式中一定成立的是（D　）
A.＝
B.＝ɑ＋6
C.＝－4
D.＝5ɑ2
11.将－2根号外面的数移到根号里面，其结果为　－　.
12.若点（x，y）在第四象限，则化简的结果是　－xy　.
13.计算：
（1）××；
解：原式＝
＝
＝4.
（2）5 2.
解：原式＝10
＝10x.
14.跨学科融合交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v＝16，其中v表示车速（单位：km/h），d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：m），f表示摩擦因数.在某次交通事故调查中，测得d＝20 m，f＝0.6，该路段限速60 km/h，则该汽车超速了吗？请说明理由.（参考数据：≈1.4，≈1.7）
解：该汽车没有超速.理由如下：
根据题意，得v＝16＝16×2＝32≈32×1.7＝54.4（km/h）.
∵54.4＜60，
∴该汽车没有超速.
@拓展素养训练
15.阅读理解问题观察下列各式及其验证过程：
2＝，
验证：2＝＝＝＝；
3＝，
验证：3＝＝＝＝.
（1）按照上述两个等式验证过程的基本思路，请你猜想4的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，将这个规律用含n（n为自然数，且n≥2）的等式表示出来，并验证.
解：（1）4＝.
验证： 4＝＝＝＝　.
（2）n＝.（n为自然数，且n≥2）
验证：n＝＝＝
＝.
第2课时　二次根式的除法
@学霸笔记
1.二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根.
＝　　（ɑ≥0，b＞0）.
2.商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
＝　　（ɑ≥0，b＞0）.
3.最简二次根式必须满足的两个条件：
（1）被开方数不含　分母　；
（2）被开方数中不含　能开得尽方　的因数或因式.
@基础分点训练
　二次根式的除法法则
1.计算÷的结果正确的是（C　）
A.　　B.　　C.　　D.5
2.下列各式中，计算正确的是（B　）
A.＝9　　B.＝
C.÷＝4　　D.÷＝3
3.变式题计算：
（1）÷；
解：原式＝＝＝＝2.
（2）÷；
解：原式＝＝＝＝.
（3）÷.
解：原式＝÷＝＝＝.
　商的算术平方根的性质
4.下列各式中，正确的是（D　）
A.＝　　B.＝
C.＝　　D.＝
5.计算：＝　　.
6.化简：
（1）；
解：原式＝＝.
（2）；
解：原式＝＝＝.
（3）（b＞0）.
解：原式＝＝.
　最简二次根式
7.（2025 湖南）化简＝　2　.
8.把下列二次根式化成最简二次根式：
（1）；
解：原式＝＝.
（2）；
解：原式＝＝＝＝.
（3）（x＞0）.
解：原式＝＝＝.
@中档提分升训练
9.若＝成立，则x的取值范围为（D　）
A.x≥0　　B.x≥0或x＜1
C.x＜1　　D.0≤x＜1
10.计算÷3×的结果正确的是（A　）
A.1　　B.　　C.5　　D.9
11.变式题已知≈1.732，则2≈　1.155　，≈　5.196　.（结果保留小数点后三位）
12.若计算×m的结果为正整数，则无理数m的值可以是　（答案不唯一）　.（写出一个符合条件的即可）
13.计算：
（1）×；
解：原式＝＝＝.
（2）÷÷；
解：原式＝＝＝.
（3）÷×.
解：原式＝＝＝
＝.
14.应用意识一个长方形的长为3，面积为30，要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形.求该正方形的面积.
解：∵长方形的长为3，面积为30，
∴长方形的宽＝30÷3＝2.
∴在这个长方形中分割出的面积最大的正方形的边长为2.
∴该正方形的面积＝（2）2＝60.
即该正方形的面积是60.
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15.已知＝，且x为奇数.
求（x－6） 的值.
解：∵＝，
∴x－6≥0，9－x＞0，解得6≤x＜9.
∵x为奇数，∴x＝7.
∴原式＝（x－6）
＝（x－6）
＝（7－6）
＝2.

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