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21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩形第　1课时　矩形的性质
@学霸笔记
1.矩形的定义：有一个角是直角的 叫作矩形，矩形也就是长方形.
2.矩形的性质：矩形的对边 ；矩形的四个角都是 ；矩形的对角线 .
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .
@基础分点训练
　矩形的定义与性质
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　 　）
A.AB＝AD　　B.AC⊥BD
C.AC＝BD　　D.∠ACB＝∠ACD
2.（2024 甘肃）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（　 　）
A.6　　B.5　　C.4　　D.3
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（　 　）
A.6　　B.7　　C.8　　D.9
　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4.应用意识某生态公园的人工湖周边修葺了3条湖畔小径.如图，小径BC，AC恰好互相垂直，小径AB的中点M刚好在湖与小径相交处.若测得BC的长为0.8 km，AC的长为0.6 km，则C，M两点间的距离为（　 　）
A.0.5 km　　B.0.6 km
C.0.8 km　　D.1 km
5.已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示.若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是 km.
6.（2025 福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8 m，则DE的长为 m.
@中档提分升训练
7.（2025 绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积是（　 　）
A.25　　B.25　　C.25　　D.50
8.（2025 兰州）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（　 　）
A.95°　　B.100°　　C.110°　　D.145°
9.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为 .
10.如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF.求证：AF＝DE.
展 1 形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠DOC＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积.
21.3.1　矩形第　第2课时　矩形的判定
@基础分点训练
　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　 　）
A.AB∥CD　　B.AD＝BC
C.∠A＝∠B　　D.∠A＝∠D
2.（2025 北京节选）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.求证：四边形DFCG是矩形.
　对角线相等的平行四边形是矩形
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是（　 　）
A.AB＝CD　　B.AC＝BD
C.AC⊥BD　　D.AB⊥BD
4.如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形.
　有三个角是直角的四边形是矩形
5.下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　 　）
A.AC＝BD
B.AC⊥BD
C.∠A＝∠C＝∠D＝90°
D.∠ABC＝90°
6.（2024 兰州节选）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.求证：四边形ADCE是矩形.
@中档提分升训练
7.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（　 　）
A.OA＝OC，OB＝OD
B.AB＝BC，AO＝CO
C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
D.OA＝OB＝OC＝OD
8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 .
9.开放性试题如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4中，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是 ；（填序号）
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
@拓展素养训练
10.推理能力如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
（1）求证：△OEC为等腰三角形；
（2）连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩形，并说明理由.
题图　　
解图
21.3.2　菱形　第1课时　菱形的性质
@学霸笔记
1.菱形的定义：有一组 相等的平行四边形叫作菱形.
2.菱形的性质：菱形的四条边都 ；菱形的两条对角线互相 ，且每一条对角线 ；菱形是轴对称图形，它的 就是它的对称轴.
3.菱形的面积等于底乘 .
4.菱形的面积等于两条对角线 .
@基础分点训练
　菱形的定义与性质
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　 　）
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是（　 　）
A.30°　　B.25°　　C.20°　　D.15°
3.（2024 临夏州）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（　 　）
A.（－4，2）　　B.（－，4）
C.（－2，4）　　D.（－4，）
4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为 .
5.推理能力如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且CE＝CF.求证：∠BAE＝∠DAF.
积 云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是 .
@中档提分升训练
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB于点E，且交CD于点F，则EF的长为（　 　）
A.4.8　　B.2　　C.5　　D.6
8.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（　 　）
A.25°　　B.30°　　C.35°　　D.40°
9.（2025 青海）如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为 .
10.运算能力如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点.
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积.
@拓展素养训练
11.数形结合思想如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点.若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为 .
第2课时　菱形的判定
@基础分点训练
　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.下列选项中能使 ABCD成为菱形的是（　 　）
A.AB＝CD　　B.AB＝BC
C.∠BAD＝90°　　D.AC＝BD
2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，AE∥BC，CE∥AD.求证：四边形ADCE是菱形.
　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　 　）
A.∠ABC＝90°　　B.AC⊥BD
C.AB＝CD　　D.AB∥CD
4.（2025 长春）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证： ABCD是菱形.
　四条边相等的四边形是菱形
5.开放性试题如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC的中点，当△ABC满足 时，四边形AEDF是菱形.（只填一个）
6.如图，AC＝8，分别以点A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和点D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.
判断四边形ABCD的形状，并说明理由.
@中档提分升训练
7.开放性试题如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件 ，使平行四边形ABCD为菱形.
8.运算能力如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长.
@拓展素养训练
9.推理能力如图，∠ACB＝60°，点P为∠ACB平分线上的一点，PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E.点M是线段CP上的一个动点（不与点C，P重合），连接DM，EM.
（1）求证：DM＝EM；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由.
21.3.3　正方形
@学霸笔记
1.定义：一组 ，并且有一个角是 的 叫作正方形.
2.性质：正方形的四个角都是 ，四条边都 ，对角线互相 且 ，并且每一条对角线平分一组 .
3.正方形的判定：
（1）一组 ，并且有一个角是 的平行四边形是正方形.
（2）一组 的矩形是正方形.
（3）对角线 的矩形是正方形.
（4）有一个角是 的菱形是正方形.
（5）对角线 的菱形是正方形.
@基础分点训练
　正方形的定义与性质
1.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为（　 　）
A.3　　B.12　　C.18　　D.36
2.变式题如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠CBE的度数为（　 　）
A.15°　　B.75°　　C.20°　　D.12.5°
　正方形的判定
3.（2025 乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组合是 .（只需填一种组合即可）
4.如图，点D是Rt△ABC斜边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且BF＝CE.求证：四边形AEDF是正方形.
@中档提分升训练
5.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，点T为AF的中点，则CT的长是（　 　）
A.　　B.4　　C.　　D.
6.几何直观如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 .
7.运算能力如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积.
@拓展素养训练
8.推理能力如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且AE＝CE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形.21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩形第　1课时　矩形的性质
@学霸笔记
1.矩形的定义：有一个角是直角的　平行四边形　叫作矩形，矩形也就是长方形.
2.矩形的性质：矩形的对边　平行且相等　；矩形的四个角都是　直角　；矩形的对角线　互相平分且相等　.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的　一半　.
@基础分点训练
　矩形的定义与性质
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（　C　）
A.AB＝AD　　B.AC⊥BD
C.AC＝BD　　D.∠ACB＝∠ACD
2.（2024 甘肃）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为（　C　）
A.6　　B.5　　C.4　　D.3
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，则△AEF的周长为（　D　）
A.6　　B.7　　C.8　　D.9
　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4.应用意识某生态公园的人工湖周边修葺了3条湖畔小径.如图，小径BC，AC恰好互相垂直，小径AB的中点M刚好在湖与小径相交处.若测得BC的长为0.8 km，AC的长为0.6 km，则C，M两点间的距离为（　A　）
A.0.5 km　　B.0.6 km
C.0.8 km　　D.1 km
5.已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示.若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是　　km.
6.（2025 福建）某房梁如图所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8 m，则DE的长为　4　m.
@中档提分升训练
7.（2025 绥化）一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为60°，则这个矩形的面积是（　B　）
A.25　　B.25　　C.25　　D.50
8.（2025 兰州）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（　C　）
A.95°　　B.100°　　C.110°　　D.145°
9.如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的中点，AB＝8，AD＝DE＝10，则BF的长为　2　.
10.如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE＝CF.求证：AF＝DE.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.
∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS）.∴AF＝DE.
@拓展素养训练
11.推理能力如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.
（1）求证：DB＝DE；
（2）若∠DOC＝120°，DE＝2，求矩形ABCD的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝DB.
∵DE∥AC，
∴四边形ACED为平行四边形.
∴AC＝DE.
∵AC＝DB，∴DB＝DE.
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，OA＝AC，OD＝BD，
AC＝BD.
∴OA＝OD.∴∠ODA＝∠OAD.
∵∠DOC是△AOD的一个外角，
∴∠DOC＝∠ODA＋∠OAD＝120°.
∴∠ODA＝60°.∴∠DBA＝90°－60°＝30°.
∵DB＝DE＝2，
∴AD＝DB＝×2＝1.
在Rt△ABD中，根据勾股定理，得
AB＝＝＝.
∴S矩形ABCD＝AD AB＝1×＝.
21.3.1　矩形第　第2课时　矩形的判定
@基础分点训练
　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　C　）
A.AB∥CD　　B.AD＝BC
C.∠A＝∠B　　D.∠A＝∠D
2.（2025 北京节选）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.求证：四边形DFCG是矩形.
证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.∴DE∥BC.
∵DG＝FC，∴四边形DFCG是平行四边形.
又∵DF⊥BC，∴∠DFC＝90°.
∴平行四边形DFCG是矩形.
　对角线相等的平行四边形是矩形
3.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件可以是（　B　）
A.AB＝CD　　B.AC＝BD
C.AC⊥BD　　D.AB⊥BD
4.如图，点O是矩形ABCD的对角线的交点，点E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD.
∵AE＝BF＝CG＝DH，
∴OE＝OF＝OG＝OH.
∴四边形EFGH是平行四边形.
又∵OE＋OG＝OF＋OH，即EG＝FH，
∴四边形EFGH是矩形.
　有三个角是直角的四边形是矩形
5.下列条件中，能判定四边形ABCD是矩形的是（　C　）
A.AC＝BD
B.AC⊥BD
C.∠A＝∠C＝∠D＝90°
D.∠ABC＝90°
6.（2024 兰州节选）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥AC.求证：四边形ADCE是矩形.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC＝∠ADB＝90°.
∵CE∥AD，∴∠ECD＝∠ADB＝90°.
∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°.
∴∠ADC＝∠ECD＝∠EAD＝90°.
∴四边形ADCE是矩形.
@中档提分升训练
7.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它是矩形的条件是（　D　）
A.OA＝OC，OB＝OD
B.AB＝BC，AO＝CO
C.OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD
D.OA＝OB＝OC＝OD
8.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为 　3　.
9.开放性试题如图，点M在 ABCD的边AD上，BM＝CM，请从以下三个选项①∠1＝∠2；②AM＝DM；③∠3＝∠4中，选择一个合适的选项作为已知条件，使 ABCD为矩形.
（1）你添加的条件是　①或②　；（填序号）
（2）添加条件后，请证明 ABCD为矩形.
解：（2）选择①∠1＝∠2.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.∴∠A＋∠D＝180°.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌DCM（SAS）.∴∠A＝∠D.
又∵∠A＋∠D＝180°，∴∠A＝∠D＝90°.
∴ ABCD为矩形.
选择②AM＝DM.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC.∴∠A＋∠D＝180°.
在△ABM和△DCM中，
∴△ABM≌△DCM（SSS）.
∴∠A＝∠D＝90°.∴ ABCD为矩形.
@拓展素养训练
10.推理能力如图，在△ABC中，AB＝AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O.
（1）求证：△OEC为等腰三角形；
（2）连接AE，DC，AD，当点E在什么位置时，四边形AECD是矩形，并说明理由.
题图　　
解图
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.
∵△ABC平移得到△DEF，
∴∠B＝∠DEC.∴∠ACB＝∠DEC.
∴OE＝OC.∴△OEC为等腰三角形.
（2）解：当点E为BC的中点时，四边形AECD是矩形.理由如下：
如解图，∵AB＝AC，E为BC的中点，
∴AE⊥BC，BE＝EC.
∴∠AEC＝90°.
∵△ABC平移得到△DEF，
∴BE∥AD，BE＝AD＝CF.
∴AD∥EC，AD＝EC.
∴四边形AECD是平行四边形.
又∵∠AEC＝90°，
∴四边形AECD是矩形.
21.3.2　菱形　第1课时　菱形的性质
@学霸笔记
1.菱形的定义：有一组　邻边　相等的平行四边形叫作菱形.
2.菱形的性质：菱形的四条边都　相等　；菱形的两条对角线互相　垂直平分　，且每一条对角线　平分一组对角　；菱形是轴对称图形，它的　对角线所在的直线　就是它的对称轴.
3.菱形的面积等于底乘　高　.
4.菱形的面积等于两条对角线　乘积的一半　.
@基础分点训练
　菱形的定义与性质
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（　D　）
A.对角线互相平分
B.对角线相等
C.对角线互相垂直且相等
D.对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角
2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝120°，则∠1的度数是（　A　）
A.30°　　B.25°　　C.20°　　D.15°
3.（2024 临夏州）如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（　C　）
A.（－4，2）　　B.（－，4）
C.（－2，4）　　D.（－4，）
4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为　52　.
5.推理能力如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且CE＝CF.求证：∠BAE＝∠DAF.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝AD＝BC＝CD.
∵CE＝CF，
∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）.
∴∠BAE＝∠DAF.
　菱形的面积
6.（2025 云南）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝5，则菱形ABCD的面积是　15　.
@中档提分升训练
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB于点E，且交CD于点F，则EF的长为（　A　）
A.4.8　　B.2　　C.5　　D.6
8.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（　A　）
A.25°　　B.30°　　C.35°　　D.40°
9.（2025 青海）如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为　12　.
10.运算能力如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点.
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD.
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AE＝AD，AF＝AB.∴AE＝AF.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）.
（2）解：如图，连接BD.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°.
∴△ABD是等边三角形.
∵点E是边AD的中点，∴BE⊥AD.
∴∠ABE＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∴AB＝2AE.
在Rt△ABE中，根据勾股定理，得
AE2＋BE2＝AB2，即AE2＋（）2＝（2AE）2，
解得AE＝1.
∴AB＝2AE＝2×1＝2.∴AD＝AB＝2.
∴S菱形ABCD＝AD BE＝2×＝2.
@拓展素养训练
11.数形结合思想如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点.若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为　2　.
第2课时　菱形的判定
@基础分点训练
　有一组邻边相等的平行四边形是菱形
1.下列选项中能使 ABCD成为菱形的是（　B　）
A.AB＝CD　　B.AB＝BC
C.∠BAD＝90°　　D.AC＝BD
2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点，AE∥BC，CE∥AD.求证：四边形ADCE是菱形.
证明：∵AE∥BC，CE∥AD，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，
∴AD＝BC＝CD.∴平行四边形ADCE是菱形.
　对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（　B　）
A.∠ABC＝90°　　B.AC⊥BD
C.AB＝CD　　D.AB∥CD
4.（2025 长春）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3.求证： ABCD是菱形.
证明：∵AB＝5，OA＝4，OB＝3，
∴AB2＝OA2＋OB2.
∴∠AOB＝90°.
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形.
　四条边相等的四边形是菱形
5.开放性试题如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AB，AC的中点，当△ABC满足　AB＝AC或∠B＝∠C或BD＝CD（答案不唯一）　时，四边形AEDF是菱形.（只填一个）
6.如图，AC＝8，分别以点A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和点D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.
判断四边形ABCD的形状，并说明理由.
解：四边形ABCD为菱形.理由如下：
根据题意，得AB＝AD＝CB＝CD＝5.
∴四边形ABCD为菱形.
@中档提分升训练
7.开放性试题如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件　AC⊥BD（答案不唯一）　，使平行四边形ABCD为菱形.
8.运算能力如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F.
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长.
（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形.
∵DE∥BC，
∴∠EDB＝∠DBF.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC.
∴∠ABD＝∠EDB.
∴BE＝DE.
∴四边形BEDF是菱形.
（2）解：如图，过点D作DH⊥BC于点H.
∵DF∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC＝60°.
∵DH⊥BC，
∴∠DHF＝90°.
∴∠FDH＝90°－∠DFC＝90°－60°＝30°.
∴FH＝DF.
∴DH＝＝＝DF.
∵∠C＝45°，DH⊥BC，
∴∠HDC＝∠C＝45°.∴DH＝HC.
∴DC＝DH＝ ×DF＝6，解得DF＝2.
∴菱形BEDF的边长为2.
@拓展素养训练
9.推理能力如图，∠ACB＝60°，点P为∠ACB平分线上的一点，PD⊥AC于点D，PE⊥BC于点E.点M是线段CP上的一个动点（不与点C，P重合），连接DM，EM.
（1）求证：DM＝EM；
（2）当点M运动到线段CP的什么位置时，四边形PDME为菱形，请说明理由.
（1）证明：∵点P为∠ACB平分线上的一点，PD⊥AC，PE⊥BC，
∴PD＝PE，∠DCM＝∠ECM.
在Rt△DCP和Rt△ECP中，
∴Rt△DCP≌Rt△ECP（HL）.∴CD＝CE.
在△DCM和△ECM中，
∴△DCM≌△ECM（SAS）.∴DM＝EM.
（2）解：当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形.理由如下：
∵点P为∠ACB平分线上一点，
∴∠DCP＝∠ACB＝×60°＝30°.
∴PC＝2PD，∠CPD＝90°－∠DCP＝90°－30°＝60°.
∵PD＝PE，DM＝EM，
∴当DM＝PD时，PD＝PE＝DM＝EM，则四边形PDME为菱形.
此时，△PDM为等边三角形.∴PD＝PM.
又∵PC＝2PD，∴CM＝PM.
∴当点M运动到线段CP的中点时，四边形PDME为菱形.
21.3.3　正方形
@学霸笔记
1.定义：一组　邻边相等　，并且有一个角是　直角　的　平行四边形　叫作正方形.
2.性质：正方形的四个角都是　直角　，四条边都　相等　，对角线互相　垂直平分　且　相等　，并且每一条对角线平分一组　对角　.
3.正方形的判定：
（1）一组　邻边相等　，并且有一个角是　直角　的平行四边形是正方形.
（2）一组　邻边相等　的矩形是正方形.
（3）对角线　互相垂直　的矩形是正方形.
（4）有一个角是　直角　的菱形是正方形.
（5）对角线　相等　的菱形是正方形.
@基础分点训练
　正方形的定义与性质
1.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为（　C　）
A.3　　B.12　　C.18　　D.36
2.变式题如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠CBE的度数为（　B　）
A.15°　　B.75°　　C.20°　　D.12.5°
　正方形的判定
3.（2025 乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°.则正确的组合是　①②或①③（答案不唯一）　.（只需填一种组合即可）
4.如图，点D是Rt△ABC斜边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且BF＝CE.求证：四边形AEDF是正方形.
证明：∵∠A＝90°，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠A＝∠DFA＝∠DFB＝∠DEC＝∠DEA＝90°.∴四边形AEDF是矩形.
∵点D是Rt△ABC斜边BC的中点，
∴BD＝CD.
又∵BF＝CE，∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL）.
∴DF＝DE.∴四边形AEDF是正方形.
@中档提分升训练
5.如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点G在CD上，AB＝5，CE＝2，点T为AF的中点，则CT的长是（　D　）
A.　　B.4　　C.　　D.
6.几何直观如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于原点O.若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是　（－2，－1）　.
7.运算能力如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB＝3，BE＝2，求四边形AECF的面积.
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°.
又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）.
（2）解：如图，连接AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO.
∵BE＝DF，
∴BO－BE＝DO－DF，即OE＝OF.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形.
∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝3.
∴AC＝BD＝＝＝6.
∵BE＝DF＝2，
∴EF＝BD－BE－DF＝6－2－2＝2.
∴S四边形AECF＝AC EF＝×6×2＝6.
@拓展素养训练
8.推理能力如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且AE＝CE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形.
证明：（1）在△ADE和△CDE中，
∴△ADE≌△CDE（SSS）.∴∠ADE＝∠CDE.
∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADE.
∴∠CDE＝∠CBD.∴CD＝BC.
∵AD＝CD，∴AD＝BC.
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形.
（2）∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE.
∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，
∴∠CBE＝180°×＝45°.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠CBE＝45°.
∴∠ABC＝∠ABE＋∠CBE＝45°＋45°＝90°.
∴四边形ABCD是正方形.

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