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23.4　实际问题与一次函数
@基础分点训练
1.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年 卡类型 办卡 费用/元 每次游泳 收费/元
A 类 50 25
B 类 200 20
C 类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50＋25×20＝550（元），若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40～50次之间，则最省钱的方式为（　C　）
A.购买A类会员年卡
B.购买B类会员年卡
C.购买C类会员年卡
D.不购买会员年卡
2.某校实行学案式教学，需印刷若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式.除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的收费费用y（单位：元）与印刷份数x（单位：份）之间的函数关系如图所示.
（1）甲种收费方式的函数关系式是　y甲＝0.08x＋20　，乙种收费方式的函数关系式是　y乙＝0.12x　；（直接写出答案，不写过程）
（2）根据函数图象，请直接写出如何根据每次印刷份数选择省钱的收费方式；
（3）该校八年级每次需印刷800份学案，选择　甲　种印刷方式较合算.（填“甲”或“乙”，直接写出答案，不写过程）
解：（2）根据图象，得当0＜x＜500时，选择乙种方式省钱；
当x＝500时，两种方式一样；
当x＞500时，选择甲种方式省钱.
3.应用意识某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
（1）求A，B两种花卉的单价；
（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用.
解：（1）设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株.
根据题意，得解得
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株.
（2）设采购A种花卉m株，则采购B种花卉（10 000－m） 株，总费用为W元.
根据题意，得W＝3m＋5（10 000－m）＝－2m＋50 000.
∵m≤4（10 000－m），∴m≤8 000.
在W＝－2m＋50 000中，
∵－2＜0，∴W随m的增大而减小.
∴当 m＝8 000 时，W的值最小，
W最小＝－2×8 000＋50 000＝34 000.
此时10 000－m＝2 000.
答：当采购A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用最少，最少总费用为34 000元.
@中档提分升训练
4.生活应用甲、乙两家采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克40元.两家采摘园均推出了“周末”优惠方案，甲采摘园的优惠方案是游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是游客进园不需要购买门票，采摘的草莓超过10千克后，超过部分五折优惠.优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（x＞10）千克，在甲采摘园所需总费用为y1元，在乙采摘园所需总费用为y2元.
（1）求y1，y2关于x的函数解析式；
（2）当采摘多少千克草莓时，在甲、乙两采摘园所需费用相同？如果你是游客，你会如何选择采摘园？
解：（1）根据题意，得
y1＝50＋40x×0.6＝24x＋50（x＞10），
y2＝40×10＋（x－10）×40×0.5＝20x＋200（x＞10）.
即y1关于x的函数解析式是y1＝24x＋50（x＞10），y2关于x的函数解析式是y2＝20x＋200（x＞10）.
（2）当24x＋50＝20x＋200时，解得x＝37.5.
即当采摘量等于37.5千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同.
当24x＋50＞20x＋200时，解得x＞37.5.
即当采摘量超过37.5千克时，选择乙采摘园.
当24x＋50＜20x＋200时，解得x＜37.5.
即当采摘量超过10千克且少于37.5千克时，选择甲采摘园.
∴当采摘量等于37.5千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同，选择甲或乙采摘园均可；当采摘量超过37.5千克时，选择乙采摘园；当采摘量超过10千克且少于37.5千克时，选择甲采摘园.
@拓展素养训练
5.（2025 绥化）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流.某科技公司计划投入一笔资金用来购买A，B两种型号的芯片.已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1 300元.
（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元；
（2）若该公司计划购买A，B两种型号的芯片共8 000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍.当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少？最少资金是多少元？
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶.如图，y甲（km），y乙（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系.请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是　80　km/h；
②当甲、乙两车相距30 km时，直接写出x的值：　1.5或4.5或6.5　.
解：（1）设购买1颗A型芯片需要m元，购买1颗B型芯片需要n元.
根据题意，得解得
答：购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要350元，200元.
（2）设购买A型芯片ɑ颗，则购买B型芯片（8 000－ɑ）颗.
根据题意，得ɑ≥3（8 000－ɑ）.解得ɑ≥6 000.
设所需资金为W元，则W＝350ɑ＋200（8 000－ɑ）＝150ɑ＋1 600 000.
∵150＞0，∴W随ɑ的增大而增大.
∵ɑ≥6 000，∴当ɑ＝6 000时，W的值最小，
W最小＝150×6 000＋1 600 000＝2 500 000（元）.
答：当购买A型芯片6 000颗时，所需资金最少，最少资金为2 500 000元.
专题训练（十)　一次函数与方程(组)、不等式的实际应用,
　一次函数与方程（组）的结合
1.传统服饰近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
（1）该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16 800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
解：（1）设购进短款服装x件，购进长款服装y件.
根据题意，得解得
答：购进短款服装20件，购进长款服装30件.
（2）设第二次购进m件短款服装，则购进（200－m） 件长款服装.
根据题意，得80m＋90（200－m）≤16 800，
解得m≥120.
设销售利润为w元.
∴w＝（100－80）m＋（120－90）（200－m）
＝－10m＋6 000.
∵－10＜0，
∴w随m的增大而减小.
∴当m＝120时，利润w最大，w最大＝－10×120＋6 000＝4 800（元）.
∴200－m＝200－120＝80.
答：当购进120件短款服装，80件长款服装时获得最大销售利润，最大销售利润是4 800元.
2.某学校打算购买甲、乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要每本便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样.
（1）求甲、乙两种类型笔记本的单价；
（2）该学校打算购买甲、乙两种类型笔记本共100本，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用为多少元？
解：（1）设甲种类型笔记本的单价为每本x元，则乙种类型笔记本的单价为每本（x＋1）元.
根据题意，得＝，解得x＝11.
经检验，x＝11是原分式方程的解，且符合题意.
∴x＋1＝11＋1＝12.
答：甲种类型笔记本的单价为每本11元，乙种类型笔记本的单价为每本12元.
（2）设购买了甲种类型笔记本ɑ本，则购买了乙种类型笔记本（100－ɑ）本，总费用为w元.
∵购买的乙的数量不超过甲的3倍，
∴100－ɑ≤3ɑ，且ɑ≤100，
解得25≤ɑ≤100.
根据题意，得w＝11ɑ＋12（100－ɑ）＝－ɑ＋1 200.
∵－1＜0，
∴w随ɑ的增大而减小.
∴当ɑ＝100时，w有最小值，
w最小＝－1×100＋1 200＝1 100（元）.
答：购买的最低费用为1 100元.
3.有A，B两个发电厂，每焚烧1吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少发1 800度电.
（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度；
（2）A，B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值.
解：（1）设焚烧1吨垃圾，A发电厂发电ɑ度，B发电厂发电b度.
根据题意，得
解得
答：焚烧1吨垃圾，A发电厂发电300度，B发电厂发电260度.
（2）设A发电厂焚烧x吨垃圾，则B发电厂焚烧（90－x）吨垃圾，总发电量为y度.
根据题意，得
y＝300x＋260（90－x）＝40x＋23 400.
∵x≤2（90－x），
∴x≤60.
∵40＞0，
∴y随x的增大而增大.
∴当x＝60时，y有最大值，
y最大＝40×60＋23 400＝25 800（度）.
答：A厂和B厂总发电量的最大值是25 800度.
　一次函数与不等式的结合
4.某商户购进一批童装，40天销售完毕.根据所记录的数据发现，日销售量y（单位：件）与销售时间x（单位：天）之间的关系式是y＝销售单价p（单位：元/件）与销售时间x（单位：天）之间的函数关系如图所示.
（1）第15天的日销售量为　30　件；
（2）求销售单价p（单位：元/件）与销售时间x（单位：天）之间的函数解析式；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？
解：（2）根据销售单价p（单位：元/件）与销售时间x（单位：天）之间的函数图象，得
当0＜x≤20时，p＝40；
当20＜x≤40时，设p＝kx＋b（k≠0）.
将（20，40），（40，30）代入，
得
解得
∴p＝－x＋50.
∴销售单价p（单位：元/件）与销售时间x（单位：天）之间的函数解析式为p＝
（3）根据题意，得
当0＜x≤30时，2x≥48，解得24≤x≤30；
当30＜x≤40时，－6x＋240≥48，
解得30＜x≤32.
∴当24≤x≤32时，日销售量不低于48件.
∵x为正整数，
∴x的正整数值有9个.
∴“火热销售期”共有9天.23.4　实际问题与一次函数
@基础分点训练
1.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年 卡类型 办卡 费用/元 每次游泳 收费/元
A 类 50 25
B 类 200 20
C 类 400 15
例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50＋25×20＝550（元），若一年内在该游泳馆游泳的次数介于40～50次之间，则最省钱的方式为（　 　）
A.购买A类会员年卡
B.购买B类会员年卡
C.购买C类会员年卡
D.不购买会员年卡
2.某校实行学案式教学，需印刷若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式.除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的收费费用y（单位：元）与印刷份数x（单位：份）之间的函数关系如图所示.
（1）甲种收费方式的函数关系式是 ，乙种收费方式的函数关系式是 ；（直接写出答案，不写过程）
（2）根据函数图象，请直接写出如何根据每次印刷份数选择省钱的收费方式；
（3）该校八年级每次需印刷800份学案，选择 种印刷方式较合算.（填“甲”或“乙”，直接写出答案，不写过程）
3.应用意识某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元.
（1）求A，B两种花卉的单价；
（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用.
@中档提分升训练
4.生活应用甲、乙两家采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克40元.两家采摘园均推出了“周末”优惠方案，甲采摘园的优惠方案是游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是游客进园不需要购买门票，采摘的草莓超过10千克后，超过部分五折优惠.优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（x＞10）千克，在甲采摘园所需总费用为y1元，在乙采摘园所需总费用为y2元.
（1）求y1，y2关于x的函数解析式；
（2）当采摘多少千克草莓时，在甲、乙两采摘园所需费用相同？如果你是游客，你会如何选择采摘园？
@拓展素养训练
5.（2025 绥化）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流.某科技公司计划投入一笔资金用来购买A，B两种型号的芯片.已知购买1颗A型芯片和2颗B型芯片共需要750元，购买2颗A型芯片和3颗B型芯片共需要1 300元.
（1）求购买1颗A型芯片和1颗B型芯片各需要多少元；
（2）若该公司计划购买A，B两种型号的芯片共8 000颗，其中购买A型芯片的数量不少于B型芯片数量的3倍.当购买A型芯片多少颗时，所需资金最少？最少资金是多少元？
（3）该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从M地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地N，两车到达N地后均停止行驶.如图，y甲（km），y乙（km）分别是甲、乙两车离M地的距离与甲车行驶的时间x（h）之间的函数关系.请根据图象信息解答下列问题：
①甲车的速度是 km/h；
②当甲、乙两车相距30 km时，直接写出x的值： .
专题训练（十)　一次函数与方程(组)、不等式的实际应用,
　一次函数与方程（组）的结合
1.传统服饰近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表：
短款 长款
进货价（元/件） 80 90
销售价（元/件） 100 120
（1）该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数；
（2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16 800元.服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？
2.某学校打算购买甲、乙两种不同类型的笔记本.已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要每本便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样.
（1）求甲、乙两种类型笔记本的单价；
（2）该学校打算购买甲、乙两种类型笔记本共100本，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用为多少元？
3.有A，B两个发电厂，每焚烧1吨垃圾，A发电厂比B发电厂多发40度电，A焚烧20吨垃圾比B焚烧30吨垃圾少发1 800度电.
（1）求焚烧1吨垃圾，A和B各发电多少度；
（2）A，B两个发电厂共焚烧90吨的垃圾，A焚烧的垃圾不多于B焚烧的垃圾的两倍，求A厂和B厂总发电量的最大值.
　一次函数与不等式的结合
4.某商户购进一批童装，40天销售完毕.根据所记录的数据发现，日销售量y（单位：件）与销售时间x（单位：天）之间的关系式是y＝销售单价p（单位：元/件）与销售时间x（单位：天）之间的函数关系如图所示.
（1）第15天的日销售量为 件；
（2）求销售单价p（单位：元/件）与销售时间x（单位：天）之间的函数解析式；
（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期”共有多少天？

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