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第二十一章 章末复行四边形的性质与判定
1.（2025 兰州校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是（　 　）
A.AB∥DC，AD∥BC
B.AB∥DC，AD＝BC
C.AO＝CO，BO＝DO
D.AB＝DC，AD＝BC
2.如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为 .
　平行线间的距离
3.如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AC⊥l2.如果AB＝5 cm，BC＝4 cm，那么平行线l1，l2之间的距离为 cm.
　三角形的中位线
4.（2025 无锡）在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.若DE＝4，则BC的长为（　 　）
A.2　　B.4　　C.6　　D.8
　直角三角形斜边上的中线
5.生活应用一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图，已知∠ACB＝90°，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝（　 　）
A.3.5 cm　　B.3 cm
C.4.5 cm　　D.6 cm
　矩形的性质与判定
6.下列图形一定为矩形的是（　 　）
A　　B　　C　　D
7.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N.若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　 　）
A.2　　B.3　　C.2　　D.3
　菱形的性质与判定
8.（2025 湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　 　）
第8题图
A.6　　B.9　　C.12　　D.18
9.（2025 巴中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AO＝4，BO＝3，DH⊥AB于点H，DH的长为 .
第9题图
10.运算能力如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE.
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积.
　正方形的性质与判定
11.（2024 兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝ .
12.推理能力如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
　特殊四边形的分类讨论思想
13.在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝9，P是菱形ABCD内一点，PB＝PD＝3，则AP的长为 .第二十一章 章末复行四边形的性质与判定
1.（2025 兰州校级期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件中不能判定这个四边形是平行四边形的是（　B　）
A.AB∥DC，AD∥BC
B.AB∥DC，AD＝BC
C.AO＝CO，BO＝DO
D.AB＝DC，AD＝BC
2.如图，在 ABCD中，O为BD的中点，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F.若AE＝10，则CF的长为　10　.
　平行线间的距离
3.如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AC⊥l2.如果AB＝5 cm，BC＝4 cm，那么平行线l1，l2之间的距离为　3　cm.
　三角形的中位线
4.（2025 无锡）在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点.若DE＝4，则BC的长为（　D　）
A.2　　B.4　　C.6　　D.8
　直角三角形斜边上的中线
5.生活应用一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸.如图，已知∠ACB＝90°，D为边AB的中点，点A，B对应的刻度为1，7，则CD＝（　B　）
A.3.5 cm　　B.3 cm
C.4.5 cm　　D.6 cm
　矩形的性质与判定
6.下列图形一定为矩形的是（　C　）
A　　B　　C　　D
7.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N.若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　A　）
A.2　　B.3　　C.2　　D.3
　菱形的性质与判定
8.（2025 湖南）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为（　C　）
第8题图
A.6　　B.9　　C.12　　D.18
9.（2025 巴中）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AO＝4，BO＝3，DH⊥AB于点H，DH的长为　　.
第9题图
10.运算能力如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，过点D作∠ADC的平分线交AB于点E，连接AC交DE于点O，AD∥CE.
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AD＝10，△ACD的周长为36，求菱形AECD的面积.
（1）证明：∵AB∥CD，AD∥CE，
∴四边形AECD是平行四边形，∠CDE＝∠AED.
∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE.
∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.
∴四边形AECD是菱形.
（2）解：根据（1），得四边形AECD是菱形.
∴OA＝OC，CD＝AD＝10，OD＝OE，AC⊥DE.
∵△ACD的周长为36，
∴AC＝36－AD－CD＝36－10－10＝16.
∴OA＝OC＝AC＝×16＝8.
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得
OD＝＝＝6.
∴DE＝2OD＝2×6＝12.
∴菱形AECD的面积＝AC DE＝×16×12＝96.
　正方形的性质与判定
11.（2024 兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD＝4，则EF＝　2　.
12.推理能力如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别以点B，C为圆心，AC，BD长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP，CP.
（1）试判断四边形BPCO的形状，并说明理由；
（2）请说明当 ABCD的对角线满足什么条件时，四边形BPCO是正方形？
解：（1）四边形BPCO为平行四边形.理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD.
根据题意，得BP＝AC，CP＝BD.
∴BP＝OC，CP＝OB.
∴四边形BPCO为平行四边形.
（2）当AC⊥BD，AC＝BD时，四边形BPCO为正方形.
∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°.
∵AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，
∴OB＝OC.
根据（1），得四边形BPCO为平行四边形.
∴四边形BPCO为正方形.
　特殊四边形的分类讨论思想
13.在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝9，P是菱形ABCD内一点，PB＝PD＝3，则AP的长为　3或6　.

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