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第六章 立体几何初步
6.3.2 刻画空间点、线、面位置关系的公理
1. 理解并掌握关于平面的四个基本事实及推论和等角定理，并能解决有关问题；
2. 理解异面直线的概念，掌握空间中两条直线的位置关系，会求异面直线所成的角.
情境：生活中经常看到用三角架支撑照相机、自行车脚撑等，请问为什么它们可以稳定的支撑物体？
由于三个支点在同一个平面上且不共线，保证了三角支架的稳定性
上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：
A
C
B
简记为：不共线的三点确定一个平面.
符号语言：A，B，C 三点不共线 存在唯一的平面 α 使 A，B，C ∈α.
作用：确定一个平面的依据！
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.
唯一性
存在性
问题1：如果直线 l 与平面 α 有一个公共点 P，直线 l 是否在平面 α 内？如果直线 l 与平面 α 有两个公共点呢？
α
l
A
B
在实际生活中，握笔写字时，笔尖一点落在纸上，但整只笔并不在纸上；如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上，由此可以得出一个点确定不了平面。
上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：
符号语言：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l α.
作用：判定直线在平面内的依据.
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
问题2：利用基本事实1 和基本事实 2，再结合“两点确定一条直线”，还能得到哪些确定一个平面的方法？
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面.
α
a
A
B
C
α
α
b
a
b
a
P
推论3：两条平行直线确定一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
问题3：如图，把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点B？为什么？
B
假设三角尺所在的无限延展的平面，穿越了课桌面，可以想象，两个平面相交于一条直线。
B
α
上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：
符号语言：P∈α，P∈β α ∩ β = l，且 P∈l.
作用：判定直线在平面内的依据.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
问题4：观察长方体 ABCD-A1B1C1D1，已知 AB∥CD，CD∥C1D1，则 AB 与C1D1 有何位置关系？
AB∥C1D1
基本事实4：平行于同一直线的两条直线互相平行.
（空间平行线的传递性）
思考：观察结合基本事实4，说说空间中的两条直线间存在哪些位置关系？
异面直线：不同在任何一平面内（不共面）的两条直线. 为了表示异面直线 a，b 不共面的特点，画图时，通常用一个或两个平面衬托.
空间两条直线 (不重合) 的位置关系 共面直线 异面直线
相交直线 平行直线
在同一平面内，
有且只有一个公共点.
在同一平面内，
没有公共点.
不同在任何一个平面内，没有公共点.
问题5：观在平面上，角的边是射线，射线是有方向的. 那么在平面内，两条射线平行时，它们的方向可能存在哪些情形？
情形1：两个角的两条边分别平行，并且方向相同 (如图(1))；
情形2：两个角的两条边分别平行，并且方向相反 (如图(2))；
情形3：两个角的两条边分别平行，其中一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反 (如图(3)).
结论：对于平面上的两个角，如果两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等或互补.
思考：上述结论在空间仍然成立吗
等角定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
平面夹角：平面内两条直线相交成 4 个角，其中不大于 90°的角称为它们的夹角.（夹角刻画了一条直线相对于另一条直线的位置关系）
异面直线的夹角：如图，已知两条异面直线 a，b，过空间任一点 O 作直线a'∥a，b'∥b，这时 a'，b' 共面，我们把 a' 与 b' 所成的不大于 90°的角称为异面直线 a，b 所成的角 (或夹角).
若两条异面直线 a，b 所成的角是直角，
则称这两条直线互相垂直，记作：a⊥b.
例1：如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a.
（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线 BC1 是异面直线？
（2）求异面直线 AA1 与 BC 所成的角；
（3）求异面直线 BC1 与 AC 所成的角.
（2）∵AD∥BC，∴∠A1AD 即为异面直线 AA1 与 BC 所成的角.
显然∠A1AD＝90°，故异面直线AA1与BC所成的角为90°.
解：（1）正方体共有 12 条棱，与 BC1 相交的棱有 6 条，与 BC1 平行的棱不存在，因此余下的 6 条棱所在的直线分别与直线 BC1 是异面直线，它们是 A1A，A1B1，A1D1，DA，DC，DD1.
（3）求异面直线BC1与AC所成的角.
故∠BC1A1就是异面直线BC1与AC所成的角.
∵A1B，BC1与A1C1都是该正方体的面对角线，
∴A1B＝BC1＝A1C1，△A1BC1是等边三角形，
从而∠BC1A1＝60°，即异面直线BC1与AC所成的角为60°.
（3）如图，连接A1C1，A1B.
∵ ，
∴四边形AA1C1C是平行四边形，AC∥A1C1，
求异面直线所成角的一般步骤：
（1）移：选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条得到相交直线.
（2）证：证明所作的角或其补角是异面直线所成的角.
（3）找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之.
（4）取：因为异面直线所成角 θ 的取值范围是 0 < θ ≤ 90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角.
根据今天所学，
画出知识框图.
空间点、线、面
位置关系的公理
推论 1
推论 1
推论 3
基本事实 2
基本事实 1
基本事实3
基本事实 4
平行线的传递性
异面直线
异面直线的概念
异面直线的夹角
等角定理

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