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第六章 立体几何初步
6.4.2 平面与平面平行
1.掌握平面与平面平行的性质定理，并能解决有关的平行问题；
2.掌握平面与平面平行的判定定理，能利用定理证明空间平面与平面的位置关系.
问题1：如果两个平面平行，两个平面内的直线有哪些位置关系？
平行
异面
a
b
β
α
a
b
β
α
两个平面内的直线或是异面直线，或是平行直线
a
问题2：分别位于两个平面内的两条直线什么时候平行？
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共交点；
平行直线：在同一个平面内，没有公共交点
β
α
b
两个平行平面内的两条直线都经过同一平面时平行
两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行
a
练一练1：平面 α∥β，平面 γ 分别与平面 α，β 相交于直线 a，b，试证明：a∥b.
∴a∥b.
∴a α，b β，
证明：∵α∩γ＝a，β∩γ＝b，
又α∥β，
∴a与b无公共点，
β
α
γ
b
a
又 a 与 b 在同一平面 γ 内，
平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三平面相交，那么它们的交线平行.
符号表示：
作用：由面面平行得出线线平行.
β
α
λ
b
a
例 1：如图，已知 α∥β，点 M，C，F 和 N，D，E 分别是直线 AB，AD，BF 与 α 和 β 的交点.设 AM = m，BN = n，MN = p，求△END与△FMC的面积之比.
∵∠END与∠FMC的两边分别平行且方向相同,
∴∠END = ∠FMC.
解：∵α∥β，平面AND分别交α，β于MC，ND，
∴由平面与平面平行的性质定理得 MC∥ND，
同理可证 MF∥NE，
于是△END与△FMC的面积之比为
练一练 2：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
已知 α∥β，AB∥CD，且 A∈α，C∈α，B∈β，D∈β．求证：AB = CD．
证明：过平行线 AB，CD 作平面 γ，与平面 α 和 β 分别相交于 AC 和 BD．
∵α∥β，∴BD∥AC．
又 AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴ AB＝CD．
A
B
C
D
α
β
γ
问题3：结合图片，回答下列问题，说说你有什么发现.
（1）a 和 b 分别是矩形相框的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么相框和桌面平行吗？
（2）c 和 d 分别是书架相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么书架和桌面平行吗？
a
b
c
d
平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
符号表示：
关键：在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面.
作用：证明面面平行.
α
a
b
P
β
例2：已知：如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1. 求证：平面 AB1D1//平面BC1D.
证明：因为ABCD-A1B1C1D1为正方体
∴ 四边形D1C1BA为平行四边形，∴D1A∥C1B．
又 D1A 平面BC1D，C1B 平面BC1D，
同理 D1B1∥平面BC1D．
又 D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1//平面BC1D． 　
∴D1A∥平面BC1D．
练一练3：如图，点 P 在 SA 上，从点 P 处将三棱锥形木块 S-ABC 锯开，使得截面与底面 ABC 平行，怎么在侧面上画线？
解：如图，过点P在侧面SAB上作AB的平行线，交SB于点E；
再过点P在侧面SAC上作AC的平行线，交SC于点F，
连接EF，截面PEF就是所求.
下面证明平面PEF∥平面ABC.
由于PE∥AB，AB 平面ABC，PE 平面ABC，故PE∥平面ABC.
同理可证PF∥平面ABC.
又PE 平面PEF，PF 平面PEF，PE∩PF＝P，∴平面PEF∥平面ABC.
E
F
线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，平行关系的判定定理、性质定理是转化平行关系的关键，其内在联系如图所示：
面面平行
判定
定义
线线平行
线面平行
判定
性质
性质
知识框图：
平面与平面平行
判定定理
自然语言
图形语言
作用
符号语言
性质定理
自然语言
图形语言
作用
符号语言

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