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第六章 立体几何初步
6.5.1 课时1 直线与平面垂直的性质
1.理解直线与平面垂直的定义.
2.理解并掌握直线与平面垂直的性质定理，并能利用定理证明相关问题.
3.理解直线与平面所成角的概念，并能求直线和平面所成的角.
问题1：如图，天安门广场竖立的旗杆 AB 与它在地面上的影子 BC 的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆 AB 与影子 BC 所成的角度会发生改变吗？
旗杆 AB 与影子 BC 是垂直关系，所成的角度不变，都为 90°.
B
A
C
问题2：如图，将一本书打开直立在桌面上，将书脊想象成一条直线，则书脊与桌面的位置关系呈什么状态？此时书脊与每页书和桌面的交线的位置关系如何？
书脊与桌面垂直；
书脊与每页书和桌面的交线都垂直.
一般地，如果直线 l 和平面 α 内的任何一条直线都垂直，那么称直线 l 和平面 α 垂直，记作 l⊥α.
直线 l 的垂面
平面 α 的垂线
垂足
过一点有且只有一条直线与一个平面垂直；过一点有且只有一个平面与一条直线垂直.
α
P
l
问题3：如图，长方体中，各侧棱所在直线与底面 α 的位置关系如何？各侧棱之间具有什么位置关系？
各侧棱所在直线与底面 α 垂直；
各侧棱之间相互平行.
思考：若直线 a⊥α ，b⊥α，那么直线 a、b 一定平行吗？说明理由.
证明：假设 a 与 b 不平行，则过 O 作 b′∥a，b′ 与 b 不重合；
∵b∩b′ = O，故直线 b 与 b′ 确定一个平面，记为 β，
且记 α ∩ β = l，
∵a⊥α，b⊥α，∴a⊥l，b⊥l，又∵b′∥a，∴b′⊥l.
这样在平面 β 内过点 O 有两条直线 b 和 b′ 都与 l 垂直，这与“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.
∴a∥b.
a

O
已知：a⊥α ，b⊥α，b∩α = O. 证明：a∥b．
β
l
b'
b
直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
作用：利用这个定理可判定两条直线平行.
符号语言：若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
a
b

思考：两条异面直线能垂直于同一平面吗？说明理由.
例1：已知从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离. 请证明：如果一条直线平行一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离都相等.
分析：如图，直线与平面分别用 l 与 α 表示，且 l∥α.
要证明直线 l 上各点到平面 α 的距离相等，只要证明直线 l 上任意两点到平面 α 的距离相等.
而点到平面 α的距离也就是点到平面 α 垂线段的长.
α
l
证明：过直线 l 上任意两点 A，B 分别作平面 α 的垂线，垂足分别为 E，F.
∵ AE⊥α，BF⊥α，∴ AE∥BF.
设过直线 AE 和 BF 的平面为 β，则 β∩α = EF.
由 l∥α，得 l∥EF，∴四边形AEFB是平行四边形.
∴ AE = BF，即直线 l 上各点到平面 α 的距离相等.
因此，如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离.
问题4：直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同？
平面的一条斜线和它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面的夹角．
α
l
P
A
θ
斜线
斜足
投影(直线)
若直线 l 与平面 α 垂直，则称它们所成的角为 90°；
若直线 l 与平面 α 平行，或在平面 α 内，则称它们所成的角为 0°．
例2：如图，已知正方体 ABCD-A1B1C1D1.
（1）求 D1A 与底面 ABCD 所成的角；
（2）设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a，求 D1B 与底面 ABCD 所成的角的余弦值.
解：（1）∵DD1⊥底面ABCD，
∴∠D1AD是D1A与底面ABCD所成的角.
∵侧面A1ADD1是正方形，∴∠D1AD = 45°，
即 D1A 与底面 ABCD 所成的角为 45°.
∵DD1⊥底面ABCD，∴∠D1BD是D1B与底面ABCD所成的角，同时DD1⊥DB.
在Rt△D1BD中，
∴
即D1B与底面ABCD所成的角的余弦值为
（2）如图，连接BD，则BD = .
求斜线与平面所成的角的步骤：
（1）作角：作(或找)出斜线在平面上的投影，将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的锐角)，作投影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足(有时可以是两垂足)作直线.
（2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
（3）计算：通常在垂线段、斜线和投影所组成的直角三角形中计算.
知识框图：
直线与平面垂直
性质定理
直线与平面的夹角
直线到平面的距离

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