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第六章 立体几何初步
6.5.2 平面与平面垂直
1. 了解半平面的概念，理解二面角及平面角的概念；
2. 掌握平面与平面垂直的性质定理，并能解决有关的问题.
3. 掌握平面与平面垂直的判定定理，能利用定理证明空间平面与平面的位置关系.
情境：观察笔记本电脑的开合过程，若将电脑的屏幕和操作区域视为两个平面，该如何刻画开合过程中这两个平面所形成的“角”呢？
平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面，当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的“角度”.
二面角
一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面.
如图，棱为 AB、面为 α，β 的二面角，记作：二面角 α - AB - β，或 M - AB - N .
思考：笔记本电脑打开时，可以直观观察到两个面板构成的二面角在逐渐变大. 那么我们该如何刻画这个二面角的大小呢？
随着张口的增大，∠MAN 在逐渐增大.
当二面角 α - AB - β 确定时，∠MAN 也随之确定，故可用∠MAN 度量二面角α - AB - β .
一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角.
如图，OA⊥l，OB⊥l，故∠AOB 就是二面角 α - l - β 的平面角.
问题 1：二面角 α - l - β 的平面角∠AOB 的大小与点 O 的位置有关系吗？
无关；
二面角的大小可用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，这个二面角就是多少度；
约定：二面角 α 的大小范围是 0°≤ α ≤ 180°；
平面角是直角的二面角叫作直二面角.
思考：除了几何理论外，二面角的平面角在实际生活中有着怎样的应用呢？
二面角的平面角在实际生活中的应用
“东方红1号”轨道平面的倾斜角是 68.5°，就是说卫星轨道平面与地球赤道平面所成的二面角是 68.5°.
木工用活动角尺测量工件的两个面所成的角时，实际上就是测量这两个面所成二面角的平面角.
例1：如图，在正方体 ABCD - A B C D 中：
（1）求二面角 D - AB - D；（2）求二面角 A - AB - D .
解：（1）在正方体 ABCD - A B C D 中，AB⊥平面 AD′，
所以 AB⊥AD′，AB⊥AD.
因此，∠D′AD 为二面角 D′ - AB - D 的平面角；
在 Rt△D′AD 中，∠D′AD = 45°，所以二面角 D′ - AB - D 的大小为 45°.
（2）同理，∠A AD为二面角 A - AB - D 的平面角.
因为∠A AD = 90°，所以二面角 A - AB - D 的大小为 90°．
归纳：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直.
问题2：如果两个平面垂直，那么一个平面内的直线是否一定垂直于另一个平面？
平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
已知：α⊥β，α∩β = l，AB α，AB⊥l，B为垂足 (如图). 求证：AB⊥β．
分析：因为 AB⊥l，所以要证 AB⊥β，只需在 β 内找一条与 l 相交的直线垂直于 AB．
证明：在平面 β 内作 BC⊥l，则∠ABC 是二面角
α - l - β 的平面角.
由 α⊥β，可知 AB⊥BC.
又因为 AB⊥l，且 l ∩BC = B，所以 AB⊥β．
例2：证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内.
已知：α⊥β，P∈α，P∈a，a⊥β (如图)． 求证：a α．
证明：设 α∩β = c. 过点 P 在平面 α 内作直线 b⊥c.
根据平面与平面垂直的性质定理，有 b⊥β.
因为经过一点有且只有一条直线与平面 β 垂直，所以直线 a 与直线 b 重合，即 a α．
问题3：为什么教室的门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
因为门在转动的过程中，门轴始终与地面垂直
平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
符号表示：
例3：如图，在正方体 ABCD - A B C D 中，求证：
平面 A C CA⊥平面 B D DB .
证明：
平面
平面
平面
平面
平面 A C CA⊥平面 B D DB .
转化思路：面面垂直 → 线面垂直
知识框图：
两平面垂直
平面与平面垂直
性质定理
判定定理
二面角
二面角的平面角

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