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第六章 立体几何初步
6.6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积
1.掌握柱体、锥体、台体的侧面积公式.
2.能应用公式求柱体、锥体、台体的侧面积，熟悉柱体与锥体、台体之间的转换关系.
情境：某森林公园计划在园中修建一条游览步道，修建过程中需要使用某压路机，假设路面宽度与压路机滚筒宽度一致，修路过程中，该压路机滚筒向前滚动了 1000圈，请问该步道的长度与面积分别为多少？
（已知该压路机滚筒宽度为 2 m，滚筒直径为 1 m ）
分析：将滚筒侧面展开，得到下图；
= 2 m，r = 0.5m
问题1：该压路机滚筒向前滚动了 1000 圈，请问该步道的长度与面积分别为多少？
滚筒底面周长：C底 = 2πr = π (m)；滚筒的侧面积：S侧 = 2πrl = 2π (m2)；
已知修路过程中，滚筒向前滚动 1000 圈，所以：
滚过的长度：1000×C底 = 1000 π (m)；滚过的面积：1000×S侧 = 2000π (m2)；
所以该游览步道的长度为 1000 π (m)，面积为 2000π (m2).
问题2：结合圆柱的侧面展开图，说说圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？
思考：结合圆锥、圆台的侧面展开图，分别推导它们的侧面的面积公式？
矩形
扇形
扇环
圆柱、圆锥、圆台的侧面积：
例1：一个圆柱形的锅炉，底面直径 d = 1 m，高 h = 2.3 m. 求锅炉的表面积 (精确到 0.1 m2 ).
因此锅炉的表面积约为 8.8 m2.
解：S表 = S侧 + 2S底 = πdh + 2π
= π×1×2.3 + 2π×0.25 = 2.8π ≈ 8.8 (m2)，
注意：计算锅炉表面积时不能忘记两个底面的面积.
圆柱、圆柱、圆台的表面积公式：
圆柱的表面积公式：S圆柱表 = 2πr2 + 2πrl；
圆锥的表面积公式：S圆锥表 = πr2 + πrl = πr(r + l);
圆柱的表面积公式：S圆台表 = πr12 + πr22 + π(r1 + r2)l
= π(r12 + r22 + r1l + r2l).
例2：圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留 π)
解：如图，设圆台上底面周长为 c cm.
∵圆环的圆心角是 180°，∴ c = π·SA.
又∵ c = 2π×10 = 20π (cm)，∴ SA = 20 cm.
同理 SB = 40 cm，∴ AB = SB - SA = 20 (cm)，
S圆台侧 = π·(r1＋r2)·AB = π(10＋20)×20 = 600π (cm2)，
因此，圆台的侧面积为 600π cm2.
问题3：直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面沿着一条侧棱展开，得到什么图形？如何计算其侧面积？
棱柱、棱锥、棱台的侧面积：
连接 A1O1 并延长交 B1C1 于点 D1，连接 AO 并延长交 BC 于点 D，
过点 D1 作 AD 的垂线，垂直为点 E，连接 D1D.
例3：一个正三棱台的上、下底面边长分别为 3 cm 和 6 cm，高是 cm. 求这个正三棱台的侧面积.
解：如图，点O1，O分别是上、下底面的中心，则O1O = cm.
∴ S正三棱台侧 =
因此，三棱台的侧面积为 cm2.
在Rt△D1ED中，D1E = O1O = cm，
根据今天所学，回顾：柱体、锥体、台体的侧面积公式.
圆柱、圆锥、圆台的侧面积：
棱柱、棱锥、棱台的侧面积：

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