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第六章 立体几何初步
6.6.3 球的表面积和体积
1.理解球的有关概念.
2.掌握球的表面积和体积公式并能解决与球有关的组合体的相关计算问题.
情境：从一枚晶莹剔透的玻璃弹珠，到绿茵场上跃动腾挪的足球，再到我们脚下这颗孕育万物的地球，都可以看成是一个球体. 我们知道球也是旋转体，那么它是由什么平面图形旋转得到的呢？
球：是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.
问题1：一条直线与圆相交，在圆内的部分是弦. 现在把直线换成平面，圆换成球，即用一个平面去截球，截面是什么？
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；
球面被不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆.
球的截面的性质：
（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；
（2）截面半径 r 与球的半径 R 和球心到截面的距离 d 的关系：
问题2：过球外一点作球的切线，这点和切点之间的线段长称为这点到球的切线长，过球外一点 P，可以作球的无数条切线. 那么所有切线的切线长相等吗？所有切点组成什么图形？
解：设过点 P 的直线与球 O 相切于点 A，则平面 POA 与球面的交线是球的大圆 (如图)，
由直线与圆相切的性质可得OA⊥AP，∴
∵ 点 P 到球心 O 的距离 PO 为定值，∴ AP 是定值，
∴ 过球外一点的所有切线的切线长都相等，所有切点组成一个圆.
P
A
O
R
球的表面积:
设球的半径为 R，它的表面积只与半径 R 有关，是以 R 为自变量的函数.
如果球的半径为 R，那么它的表面积是 S球 = 4πR2.
·
例1：某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是 0.3 m，圆柱高 0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要 0.5 kg 涂料，那么给 1000 个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π 取 3.14 )
解：一个浮标的表面积为：
2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 = 0.8478 (m2)，
所以给 1000 个这样的浮标涂防水漆约需涂料：
0.8478×0.5×1000 = 423.9 (kg).
问题3：如何利用球的表面积公式求出球的体积.
将球 O 的表面分成 n 个小网格，连接球心 O 和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成 n 个“小锥体”．
n 越大，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径 R．
设 O-ABCD 是其中一个“小锥体”，则它的体积是
由于球的体积是这 n 个“小锥体”的体积之和，而这 n 个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．
即
V球
V球
S球R
因此球的体积
例2：一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为 3 cm，瓶里所装的水深为 8 cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到 8.5 cm. 求钢球的半径.
解得 R = 1.5，
解：如图，设钢球半径为 R cm，
根据题意，得
所以钢球的半径为1.5cm.
练一练：圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比.
解：设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，则：
V球 ：V圆柱
V圆柱
V球
根据今天所学，回答下列问题：
（1）球的截面有哪些性质？
（2）球的表面积和体积公式是什么？

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