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2026年广东省中山市港口镇大南中学中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-2026的倒数是（　　）
A. -2026 B. 2026 C. D.
2.“音符是连接作曲家与听众心灵的桥梁.”下列音符图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是（　　）
A. 2a+3a=5a2 B. x3 x3=x9 C. （xy3）2=x2y6 D. b6÷b2=b3
4.已知∠A=55°，则∠A的补角是（　　）
A. 25° B. 35° C. 65° D. 125°
5.若正多边形的一个内角是160°，则该多边形的边数是（　　）
A. 6 B. 12 C. 16 D. 18
6.若关于x的方程kx2+6x-9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（　　）
A. k＜-1 B. k＞-1且k≠0 C. k＞-1 D. k＜-1且k≠0
7.一组数据：2，3，3，4，若添加一个数据3，则发生变化的统计量是（　　）
A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差
8.如图，直线AB∥CD，直线MN与AB、CD相交于点M、N，∠BMN平分线交CD于点Q.若∠1=50°，则∠2度数为（　　）
A. 50°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，且AB=4，点D、E分别是线段AC、BC的中点，则△CDE面积是（　　）
A.
B.
C. 1
D. 2
10.如图（a），在△ABC中，∠ACB=90°，CH为边AB的高，AC=3，E，F分别为边AC，BC上的动点，且EH⊥FH.设CE的长为x,△CEF的面积为y,图（b）为点E运动时y随x变化的关系图象，则AB的长度为（　　）
A. 4 B. 5 C. D. 6
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：3x2-12= ．
12.不等式组的最小整数解是 .
13.如图，为了测得某建筑物的高度AB，在C处用高为1m的测角仪CF，测得该建筑物顶端A的仰角为45°，再向建筑物方向前进40m,又测得该建筑物顶端A的仰角为60°，则该建筑物的高度AB为 （结果保留根号）.
14.如图，A、B、C、D为⊙O上的四个点，OA⊥BC，BC=6cm，∠ADB=30°，则 O的半径为______cm．
15.如图，边长分别为8，4，2的正方形拼接在一起，B、C、D三点分别是正方形的中心，则图中阴影部分的面积为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
计算：.
17.(本小题7分)
先化简，再求值：，其中.
18.(本小题7分)
如图，BD是矩形ABCD的对角线，AB=4，AD=8.
（1）请用尺规作图法，作BD的垂直平分线，垂足为G，分别交AD、BC于点E、F；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接BE、DF，求四边形BEDF的周长.
19.(本小题9分)
观察下列式子：
（1）特例：
02+1＞2×0；12+1=2×1；22+1＞2×2；32+1＞2×3；…
（-1）2+1＞2×（-1）；（-2）2+1＞2×（-2）；；…
模仿上述式子，也请类似写一个具体的式子：
（2）归纳：观察上述式子，你能总结归纳出什么结论？将你的结论用文字语言和符号语言表达出来，符号语言表达时，采用字母a.
（3）证明你的结论.
20.(本小题9分)
为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是______名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
21.(本小题9分)
学校数学兴趣小组在探究二次函数最值问题的数学活动时，发现一个有趣现象：如图，直线l：y=-x+2与抛物线交于A、B两点.点P为抛物线y=x2-4x+2上的动点，过点P且平行于y轴的直线交直线l于点E.当点P在直线y=-x+2下方时，连接AP、BP得到△APB.当△APB面积最大时，点P在什么位置？
（1）数学兴趣小组成员很快就求出点P的坐标，请你也求出点P的坐标.
（2）机智的小涛同学通过计算发现，当△APB面积最大时，点E与线段AB有特殊的位置关系，请你写出小涛的结论.
（3）爱动脑筋的小婷根据小涛的发现提出了一个大胆的猜想：本类问题中，当△APB面积取最大值时，动点P的位置和直线与抛物线的交点都有这种“特殊关系”，请说明这种“特殊关系”是什么？并证明结论.
22.(本小题13分)
综合与实践：
左步村，位于广东省中山市南朗镇东部，距南朗街道约2公里，因稻香蛙鸣的田园风光、底蕴深厚的历史人文而驰名湾区，享誉全国.走进村子就可以看到一大片开阔稻田，稻田里古朴的水车正吱吱呀呀的转着，满满的乡村田园气息扑面而来.水车是一种利用水力驱动的机械设备，用于抽水、挽绞、磨面、扇谷等工作.水车广泛应用于农村，特别是在没有电力的地方，水车成为农民的主要能源.水车主要部件包括轮轴、桨叶、轮毂、轮辐，如图1所示.水车的示意图如图2，水车（看成一个圆）的半径是2m,水面（看成直线）与圆O交于A，B两点，水车的轴心O到AB的距离OH为，水车上均匀分布若干个竹筒，且水车以每秒3°的速度逆时针转动，如果把一个竹筒看作圆上一点P，从竹筒P刚露出水面开始计时，设运动时间为t秒，（参考数据cos53°=0.6，sin53°=0.8，）回答下列问题：
（1）点P与圆O的位置关系是：______；
（2）求的长以及扇形AOB的面积；（结果保留π）
（3）当t=5时，求此时点P到直线AB的距离；
（4）若接水槽MN所在的直线是圆O的切线，且与射线AB交于点M，，当竹筒P第二次恰好在MN所在直线上时，求t的值.
23.(本小题14分)
（1）问题探究：如图1，在正方形ABCD，点E，Q分别在边BC，AB上，DQ⊥AE于点O，点G，F分别在边CD、AB上，GF⊥AE.
（1）①判断DQ与AE的数量关系：DQ ______AE；
②推断：的值为：______；（无需证明）
（2）类比探究：如图2，在矩形ABCD中，.将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC、AB上，求的值.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】B
11.【答案】3(x+2)(x-2）
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】42
16.【答案】．
17.【答案】，．
18.【答案】如图所示，EF为所求作的直线 四边形BEDF的周长是20
19.【答案】42+1＞2×4（答案不唯一） 文字语言：任意一个数的平方与1的和大于或者等于这个数的2倍；符号语言：a2+1≥2a（a为任意的实数） 见解析
20.【答案】解：（1）本次参加比赛的学生人数为18÷22.5%=80（名）；
故答案为：80；
（2）D组人数为：80-16-18-20-8=18（名），把条形统计图补充完整如图：
（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角α的度数为360°×=72°；
（4）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，
∴所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．
21.【答案】 点E为线段AB中点 当直线PE过线段AB中点时（或），S△APB最大．
证明：设抛物线解析式为：y=ax2+bx+c（a＞0），直线：l：y=kx+m（k≠0），
直线与抛物线交于A、B两点，设A（xA，yA），B（xB，yB）
∴则方程ax2+bx+c=kx+m的解为：x1=xA，x2=xB，
∵点P在抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）上，
∴设点P（x，ax2+bx+c），
∵PE∥y轴，
∴xE=xP=x，
∵点E在直线l：y=kx+m上，
∴点E（x，kx+m），
∴PE=kx+m-（ax2+bx+c）=-ax2+（k-b）x+（m-c），即PE为关于x的二次函数，
∵当PE=0时，x1=xA，x2=xB，
由二次函数对称性知，当时，PE有最大值，
∵
∴当时，S△APB有最大值，
∴，即点E为线段AB中点．
∴当直线PE过线段AB中点时（或），S△APB最大
22.【答案】点P在圆O上 ，
23.【答案】①= ②1；
；理由见解析；
．
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