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四川德阳市广汉市2025-2026学年度下期九年级第一次模拟考试数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.﹣2026的相反数是（）
A. ﹣2026 B. 2026 C. D.
2.下列每个选项中，几何体的主视图和左视图可能不相同的是（）
A. B. C. D.
3.某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯、绿灯、黄灯．小亮爸爸由南往北开车到达该路口，下面说法正确的是（ ）．
A. 小亮爸爸遇到红灯是必然事件
B. 小亮爸爸遇到红灯的概率是
C. 小亮爸爸遇到黄灯是不可能事件
D. 小亮爸爸遇到绿灯的概率大于他遇到红灯的概率
4.小红同学从作业本上撕下一条上、下边线分别为，的纸条，为了判断线段，是否平行，她采取了以下四种不同的折叠方式，折痕均为，通过测量相关角度来判断，则不一定能判断线段的是（ ）
A. 如图1，展开后测得 B. 如图2，测得
C. 如图3，展开后测得 D. 如图4，展开后测得
5.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
6.若点P（1-2a,a）在第二象限，那么a的取值范围是（　　）.
A. B. C. a＞0 D.
7.已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示，是矩形的对角线的中点，为的中点．若，，则的周长为（ ）
A. 10 B. C. D. 14
9.如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D，E分别为⊙O上的动点（不与点A，点B，点C重合），且DE=BC，F为DE的中点，分别连结OF，AF，若AB=3，BC=4，则AF的最大值为（　　）
A. 3
B. 4
C. 4.5
D. 5
10.如图，分别为正六边形各边上的动点（不与顶点重合），且六边形也是正六边形，它们的中心都是点，连接交于点．当时，给出下面四个结论：
①；
②的最小值为；
③；
④的最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解： ．
12.初二年级评选“三好文明寝室”，对寝室的清洁、纪律和学习氛围三个方面打分.某宿舍三项得分分别是80分、90分、85分，若按2：2：1的比例计算总评分，则该寝室的总评分为 分.
13.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，DE⊥BC于点E.除Rt△ABC自身外，图中与Rt△ABC相似的三角形的个数是 .
14.在图1所示的三角形数阵中，在图所示的三角形数阵中．按照这样的规则，若在图3所示的三角形数阵中，则 ．
15.在平行四边形中，，，，点，分别在边，上运动，且，以为边作等边，且使点在四边形的内部或边上．当的面积最大时，的长为 ．
三、解答题：本题共7小题，共105分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题15分)
计算、化简求值：
(1) ；
(2) ，其中．
17.(本小题15分)
百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级：（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息，甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表
设备 平均数 中位数 众数
甲 86 a
乙 86 b 87
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 上述图表中 ， ．
(2) 计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中D组对应的圆心角；
(3) （简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评，请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择的概率．
18.(本小题15分)
已知、两点是一次函数和反比例函数的图象的两个交点．
(1) 求一次函数和反比例函数的解析式：
(2) 求的面积．
(3) 观察图象，直接写出不等式的解集．
19.(本小题15分)
小明买了一个风筝进行试放，如图，牵风筝线的手到地面的距离为，假设牵风筝线的手的位置高度不变的情况下，测得人站立的位置与风筝的水平距离为，手与风筝之间的距离为，已知点、、、在同一平面内．
(1) 求风筝离地面的垂直高度；
(2) 在余线剩的情况下，如图，若想要让风筝的离地高度再上升至处，请判断小明能否成功，并说明理由．
20.(本小题15分)
材料一：为庆祝建国76周年，某纪念币加工厂生产了A，B两款国庆纪念币，已知生产A款纪念币20枚，B款纪念币10枚，需成本（含材料、人工、机器损耗等，下同）1000元；生产A款纪念币50枚，B款纪念币80枚，需成本3600元．
材料二：该纪念币加工厂每天生产A，B两款纪念币共1000枚，并且当天生产的纪念币都能销售完．
材料三：该纪念币加工厂在网上销售这两款纪念币，规定A款纪念币的售价为元/枚，B款纪念币的售价为A款纪念币售价的一半，且A款纪念币每天的销量y（枚）与售价x（元/枚）满足关系式，用w表示该加工厂每天销售两款纪念币的总利润（单位：元）．
(1) 求A，B两款纪念币成本分别为多少元/枚？
(2) 求w关于x的函数表达式，并求当A款纪念币售价x为多少时，总利润w最大，求出此时总利润w的最大值
21.(本小题15分)
如图，内接正方形与交于点是的劣弧上的任意一点，连接，，延长至，使．
(1) 的度数为 ；
(2) 求证：直线是的切线；
(3) 当，时，求线段的长度．
22.(本小题15分)
如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接．
(1) 求该抛物线的解析式；
(2) 在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】85
13.【答案】4
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
，
当时，
可得：原式．

17.【答案】【小题1】


【小题2】
解：根据（1）可知，乙款C组人数为人，则D组人数为人，
则其对应圆心角：；
【小题3】
解：画树状图列出所有可能的结果为：
共有种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择的结果数为种，
故两人中至少有一人选择的概率为．

18.【答案】【小题1】
解：因为反比例函数的图象过点，
所以．解得．
反比例函数的解析式为．
因为反比例函数的图象过点，
所以．解得．
点的坐标为．
因为一次函数的图象过点，，
所以，解得，
一次函数的解析式为．
【小题2】
解：当时，，
所以点的坐标为．
．
【小题3】
解：将不等式变形，得，
根据函数图象可知或．

19.【答案】【小题1】
解：作交于点，
由题意得，
四边形是矩形，
，，
中，，
，
故风筝离地面的垂直高度为；
【小题2】
解：假设风筝的离地高度能再上升至处，
此时，
，
中，，
，
，
即，
故在余线剩的情况下，风筝的离地高度能再上升至处．

20.【答案】【小题1】
解：设A款纪念币成本为a元/枚，B款纪念币成本价为b元/枚，
由题意得，
解得，
答：A款纪念币成本为40元/枚，B款纪念币成本为20元/枚；
【小题2】
解：
，
，
抛物线开口向下，当时，w随x的增大而增大，
，
当时，w有最大值，最大值为（元）．
答：当A款纪念币售价x为70元/枚时，总利润w的最大值为18900元．

21.【答案】【小题1】
【小题2】
证明：在正方形中，，
．
，
，
，
．
是的半径，
是的切线．
【小题3】
解：如图，延长至，使，连接，则．
四边形是正方形，
．
四边形是圆内接四边形，
．
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
设，则．
为的直径，
，
在Rt中，，
即，解得，
，
等腰中，，
是的劣弧上的任意一点，
，
．

22.【答案】【小题1】
解：抛物线过点、，
，解得，
该抛物线的解析式为；
【小题2】
解：存在点Q，使得与的面积相等，
，
顶点，
当时，，则，
设直线的解析式为，
过点，，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，则，
，
与的面积相等，
，
如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F，
设，则，
，
，
，即，
或，
解得或2或或，
，
舍去，
当时，；
当时，；
当时，；
或或．

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